第十七讲 周期问题初步
前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第 X 讲 后续知识点：X 年级第 X 讲；XX 模块第 X 讲
我们一起去 探险吧！！！
我知道有个地
儿叫狄安娜神
！
去哪里呢？ 庙！
听说神庙里的 每根柱子上都 刻着字母．
谁能找到第
100 根柱子上
那他就能得到
的字母．
无尽的财宝！！
墨莫
萱萱
墨莫卡莉娅 卡莉娅 萱萱
快跑去数 啊！！！快快！！
数……数， 我数！
墨莫
萱萱
卡莉娅 墨莫
萱萱
原来每一列的 柱子上刻的是 一样的字母！
a b c d e f g 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
萱萱
15 16 17…… ……
小朋友们，你们能快速找出第 100 根柱子上的图案吗？
把里面的人物换成相应红字标明的人物．
我们生活中有很多周期现象：潮起潮落、黑夜白天的交替、春夏秋冬的循环等等．一天
24 个小时就是一个周期，因为一天过后，我们会重新计时；一周七天是一个周期，因为一周
过后，我们又会从周一开始……
观察以下图片，你发现了什么？
（1）
……
（2） （3）
……
……
……
它们的共 同点是什 么呢？
（4）
（5）134512134512134512134512……
像这样的一些数、图像和事物，按照周而复始的规律循环出现，这种特殊的规律问题称为
周期问题．
例题 1
如图所示：10 幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出 第 4 幅图，再画出第 10 幅图．
……
第 1 幅
第 2 幅 第 3 幅 第 4 幅 第 10 幅
【提示】先找到小笑脸的旋转规律,它是按照顺时针还是逆时针旋转的？
练习 1
如图所示：16 幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第 4 幅图， 再画出第 16 幅图．
……
第 1 幅 第 2 幅 第 3 幅 第 4 幅
第 16 幅
在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要找到周期的长度，再用总数除以周期
长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．
注意在有余数的除法中，余数要比除数小．
例题 2
下面图形排列是有规律的，那么你知道第 33 个图形是什么？前 33 个图形中有几 个“○”？
……
【提示】找一找规律，发现 4 个图形为一个周期．
练习 2
下面图形排列是有规律的，那么你知道前面 24 个图形中共有多少个“○”吗？
……
例题 3
有一列数按这样的方式排列：2、3、4、2、3、4、2、3、4……那么第 20 个数是 几呢？这 20 个数的和又是多少呢？
【提示】几个数是一个周期？一个周期的和是多少？
练习 3
有一列数按这样的方式排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4……第 18 个数是几呢？
这 18 个数的和又是多少呢？
例题 4
图图肚子饿了，便对妈妈说：“我要吃红烧肉红烧肉红烧肉……”请问图图说的 第 29 个字是什么？前 29 个字中有几个“红”？
【提示】对于开头比较特殊的周期问题，我们可以先把特殊部分去掉．
练习 4
有一列数按这样的方式排列：3、9、4、3、2、1、4、3、2、1……请问第 39 个数字是什么？ 前 39 个数字的和是多少？
例题 5
如下表所示，表格中每行文字都是循环出现的：第一行是“猫和老鼠”4 个汉字 不断重复，第二行是“熊出没” 3 个汉字不断重复．那么第 36 列从上到下依次是 哪两个汉字？
猫 和 老 鼠 猫 和 老 鼠 猫 和 老 鼠 …
熊 出 没 熊 出 没 熊 出 没 熊 出 没 …
【提示】多重周期问题，我们要分别去看它们的周期．
例题 6
求 2×2×……×2（2008 个 2 相乘）+ 3×3×……×3（2009 个 3 相乘）的个位数字．
【提示】一个 2 相乘末尾是 2，2×2 的末尾是 4，2×2×2 的末尾是 8……以此类推找规律．
课堂内外
生活中的周期
生活中有许多的事物不断地周而复始．比如，地球 365 天左右绕太阳公转一周，同时每
24 小时自转一次；钟表每天嘀嗒嘀嗒地走个不停，时针每 12 小时转一周，分针每 60 分钟转
一周，秒针每 60 秒转一周；人类一个星期接着一个星期地学习、工作；春夏秋冬年年复、春
播秋种年年重、候鸟每年南迁北徙……这些都是周期现象．
数学中也有这样的现象：任意选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用
大数减去小数．用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步，必得 6174．
如：9963－3699=6264
6642－2466=4176
7641－1467=6174
作业
1. 如图所示，9 幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第 4 幅图，再画
出第 9 幅图．
……
第 1 幅
第 2 幅 第 3 幅 第 4 幅 第 9 幅
2. 找出下面图形排列的规律，根据规律算出前面 30 个图形中共有几个○？
……
3. 有一列数按这样的方式排列：2、4、6、8、2、4、6、8、2、4、6、8……那么第 15 个数是几？前 15
个数的和是几？
4. 有一组有规律的文字：我有大头下雨不愁下雨不愁下雨不愁……那么第 19 个字是几？前 19 个字中有
几个“雨”？
5. 如下表所示：表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“天道酬勤” 4个汉字不断重复，第二行是
“革命尚未成功”6 个汉字不断重复．那么第 30 列从上到下的两个汉字依次是什么？
天
道 命
酬 尚
勤 未
天 成
道 功
酬 革
勤 命
天 尚
道 未
酬 成
勤 功
… …
革
第十七讲 周期问题初步
1.
例题 1
答案：如图所示
第 4 幅
第 10 幅
详解：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照逆时针的旋转．
先找规律，发现第 5 幅图和第 1 幅图是一样的，那么就是 4 幅图为一个周期．再看 10 幅图里有几个周期：
10 4 2L L 2 ，所以第 10 幅图就是第 3 个周期的第 2 个，也就是第 2 幅图．
2.
例题 2 答案：
；9
详解：这道题的图形按照“
”依次不断的重复出现，以 4 个图形为一个周期．先算出
33 个图形里有几个周期：33 4 8L L 1 ，商 8 表示 33 个图形里有 8 个周期，余 1 表示第 9 个周期的第 1 个图形，
即“ ”．
一个周期里有一个“
”，那么 8 个周期就是 1 8 8 ，第 9 个周期还有一个图形，也是“ ”，所以应该是 8 1 9
（个）．
3. 例题 3 答案：3；59
详解：数列以“2、3、4”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要出 20 个数里有几个周期： 20 3 6L L 2 ， 所以第 20 个数是第 7 个周期里的第 2 个数，即“3”．
再算出每个周期和是 2 3 4 9 ， 个数里有 6 个周期，即 6 个 9，加上 2 与 3，所以 20 个数的和是 6 9 2 3 59 ． 20
4. 例题 4 答案：烧；9
详解：本题是一个以“我要吃”为头的周期，如果去掉“我要吃”就是一个普通周期．以“红烧肉”三个字为一 个周期，不断重复出现．先算出 29 个字里有几个周期： (29 3) 3 8L L 2 ，所以第 29 个字是第 9 个周期的第 2 个字，即“烧”．
一个周期里有一个“红”，29 个字里有 8 个周期，加上“红”与“烧”．所以有 18 1 9 （个）“红”．
5. 例题 5
答案：鼠，没
详解：第一行是以“猫和老鼠”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出 36 个数里有几个周期：36 4 9 ，
所以第 36 个字是“鼠”．
第二行是以“熊出没”三个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出 36 个数里有几个周期： 36 3 12 ，所以 第 36 个字是“没”．
那么第 36 列从上到下依次是：鼠、没．
6. 例题 6 答案：9
详解：本题需要要先找规律．
第一步： 2 2 L L 2 （2008 个 2 相乘）
1 个 2 个位为 2； 2 2 4 ，个位为 4； 2 2 2 8 ，个位为 8； 2 2 2 2 16 ，个位为 6； 2 2 2 2 2 32 ， 个位为 2； 2 2 2 2 2 2 64 ，个位为 4……我们发现这个算式的个位是有规律的，以“2、4、8、6”四个数 为一个周期，重复出现的．先要算出 2008 个数里有几个周期： 2008 4 502 ，所以第 2008 个数是“6”． 第二步： 3 3L L 3 （2009 个 3 相乘）
一个 3 个位为 3； 3 3 9 ，个位为 9； 3 3 3 的结果个位为 7； 3 3 3 3 的结果个位为 1； 3 3 3 3 3 的结 果个位为 3； 3 3 3 3 3 3 的结果个位为 9……，我们发现这个算式的个位是有规律的，以“3、9、7、1”四个 数为一个周期，重复出现的．先要算出 2009 个数里有几个周期： 2009 4 502L L 1 ，所以第 2009 个数是第 503 的周期里的第 1 个数，即“3”．
那么 2×2×……×2（2008 个 2 相乘） 3 3L L 3 （2009 个 3 相乘）的个位数字是 6 3 9 ．
7. 练习 1
答案：如图所示
第 4 幅
第 16 幅
简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图都是按照顺时针的旋转．
通过找规律，发现第 5 幅图和第 1 幅图是一样的，那么就是 4 个为一个周期．那么就要先看 16 图形里有几个周期：
16 4 4 ，那么第 16 个这个周期的最后一个．
8. 练习 2 答案：18
简答：这道题的图形按照“
”依次不断的重复出现，以 4 个图形为一个周期．先算出
24 个图形里有几个周期． 24 4 6 ，商 6 表示 24 个图形里有 6 个周期．而一个周期里有 3 个
，那么 6 个周
期就是 16 3 18 个 ．
9. 练习 3 答案：2；43
简答：数列以“1、 、 、 ”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出 18 个数里有几个周期：18 4 4L L 2 ， 2 3 4 所以第 18 个数是第 5 个周期里的第 2 个数，即“2”．
再算出每个周期和是 1 2 3 4 10 ，18 个数里有 4 个周期，即 4 个 10，加上 1 与 2，所以 18 个数的和是
4 10 1 2 43 ．
10. 练习 4
答案：4；106
简答：本题是一个以“ 3、9”为头的周期，如果去掉“ 3、9”就是一个普通周期．以“ 4、3、2、1”四个数为一 个周期，不断重复出现．先算出 39 个数里有几个周期：(39 2) 4 9L L 1 ，所以第 39 个数是第 10 个周期的第 1 个数，即“4”．
再算出每个周期四个数的和是 4 3 2 1 10 ，39 个数里有 9 个 10，加上 4，还要加上开头的 3 和 9，所以前 39 个数的和是 9 10 4 3 9 106 ．
11. 作业 1
答案：如下图所示：
第 4 幅 第 9 幅
简答：通过前三幅图的规律，可知每幅图中的“笑脸”自身是按照逆时针旋转，“爱心”自身是按照顺时针旋转，
因此可以画出第 4 幅图．找规律发现 4 幅图为一个周期，因为 9 4 2L L 1，所以第 9 幅图和第 1 幅图是相同的．
12. 作业 2
答案：18
简答：经观察，图形排列规律是从第一个开始，5 个图形为一个周期，则 30 5 6 （周），所以前面 30 个图形中 共有 6 3 18 （个）“○”．
13. 作业 3
答案：6；72
简答：数列以“2、 、 、 ”四个数为一个周期，不断的重复出现．先要算出 15 个数里有几个周期： 15 4 3L L 3 ， 4 6 8 所以第 15 个数是第 4 个周期里的第 3 个数，即“6”．
再算出每个周期和是 2 4 6 8 20 ，15 个数里有 3 个周期，即 3 个 20，加上 2、4 和 6，所以 15 个数的和是
3 20 2 4 6 72 ．
14. 作业 4
答案：不；3
简答：本题是一个以“我、有、大、头”为头的周期，如果去掉“我、有、大、头”就是一个普通周期．以“下、 雨、不、愁”四个字为一个周期，不断重复出现．先算出 19 个字里有几个周期： (19 4) 4 3L L 3 ，所以第 19 个字是第 4 个周期的第 3 个字，即“不”．
再根据每个周期中有 1 个“雨”，余下的 3 个字中有 1 个“雨”。 3 1 4 （个），即前 19 个字中有 4 个“雨”．
15. 作业 5
答案：道，功
， 简答：第一行是 4 个汉字不断重复，30 4 7L L 2 所以第 30 个汉字是“道”；第二行是 6 个汉字不断重复，30 6 5 （周），所以第 30 个汉字是“功”．
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