专题三：三角函数与三角变换(附参考答案)

1.高考要求解读

1.1考纲要求：

1.1.1三角函数 1.任意角、弧度制

（1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能进行弧度与角度的互化。 2.三角函数

（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出

1.2.2考点分析 考点一：基本概念

考查任意角的概念、弧度制、三角函数的概念、三角函数的符号等。直角三角形中锐角的三角函数定义在与空间几何结合的问题中频繁考查，应予以重视任意角三角函数的定义的应用。其中三角函数的符号是考查重点。

考点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式

考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明。其中，同角三角函数的基本关系式和三角函数式的求值问题是考查的重点。

考点三：考查三角函数的图像和性质

考查三角函数图像的画法、性质，性质主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数在0,2的单调性、最大值和最小值、零点、最小正周期等。

考点四：函数yAsin(x)(A0,0)的图像和性质。

考查函数yAsin(x)(A0,0)的定义域、值域（最值）、单调性、周期性、对称性等性质等，

2,的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出

ysinx,ycosx,ytanx的图像，了解三角函数的周期性。

（3）正确理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点

是三角函数考查的热点。另外对函数yAsin(x)(A0,0)的图像伸缩、平移变换的考查也是

等），理解正切函数在,内的单调性。 22sinxtanx. cosx（4）理解同角三角函数的基本关系式：

sin2xcos2x1,（5）了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数yAsin(x)的图像，了解参数A,,对函数图像变化的影响。

（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 1.1.2三角恒等变换

1.两角和与差的三角函数公式

（1）会用向量的数量出两角差的余弦公式。

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系。 2.简单的三角恒等变换

能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

热点。

考点五：考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的运用。 考点六：考查简单的三角恒等变换。

主要考查综合运用同学们在以前学习的三角公式，进行一些简单的三角恒等变换，解决化简、求值、证明等问题。

考点七：考查三角函数和三角恒等变换的综合应用。

本考点是一个考查重点，主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式，进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质。

2要点知识分析

要点知识复习

2.1任意角的三角函数 ①任意角的三角函数定义

已知角终边上任意一点P的坐标为(x,y)，则rx2y2，其中r为点P到原点的距离.

1.2考点解读

1.2.1考情分析

三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个选择题（或填空题）和一个解答题，其中选择题（填空题）一般多为基础题，解答题为中档题。解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的教会问题。近年宁夏高考题，命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。高考中三角函数所占分值大约在10~14分之间。

1

sinyxy;cos;tan rrxsinxtanx. cosx②同角三角函数基本关系式

sin2xcos2x1,③诱导公式

第一组：关于;2的诱导公式 sin22sincoscos2cossin2cos112sintan22tan(tan1) 21tan22222

sin(2k)sinsin()sinsin()sin

cos(2k)coscos()coscos()cossin(2)sinsin(2)sin

cos(2)coscos(2)cos记忆方法:函数名不变，符号看象限

二倍角的余弦公式正用有升幂的作用；逆用有降幂的作用。在三角变换中要根据具体情境灵活应用。变形公式：cos1cos21cos2;sin2 223的诱导公式 第二组：关于,223、典型例题

例1（本小题满分12分）已知cos(Ⅰ)求tan2的值. （Ⅱ）求.

本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

sin()cos233sin()cossin()cos22

33cos()sincos()sincos()sincos()sin2222sin()cos2113,cos(),且0<<<,

2714记忆方法：函数名变为余函数名，符号看象限

2.2函数图像和性质

①函数ysinx、ycosx、ytanx的图像和性质。

②函数yAsin(x)(A0,0)的图像和性质。“五点法”可画出正弦函数、余弦函数的简图，还可利用此法求参数A,,的值。在复习函数yAsin(x)(A0,0)的图像时，要掌握由

ysinx的图像经过平移、伸缩等一系列变换得到函数yAsin(x)(A0,0)的图像的变换步

骤。求平移的量时，若x的系数不为1，需把x的系数先提出来，提完后在括号中x加或减的那个量才是平移的量。 2.3三角变换

①两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

12sin(2x)4， 变式训练：（北京卷）已知函数f(x)cosx

（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）设是第四象限的角，且tan4，求f()的值 3sin()sincoscossincos()coscossinsin

tantantan()(tantan1)1tantan)(1tantan) 变形公式:tantantan()(1tantan) tantantan(两角和与差的正切公式的变形公式是考查的重点。

②二倍角公式

2

例2（江苏卷）cot20cos103sin10tan702cos40＝

【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满

．

例4.（本小题满分12分）

0≤)的 如图，函数y2cos(x)(xR，≤π足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练：3．sin15cos75cos15sin105等于（ ）

Ａ．0

Ｂ．12

Ｃ．32 Ｄ．1

例3. 已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间π3π8，4上的最小值和最大值．

本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数yAsin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

变式训练：已知函数f(x)12sin2xπππ82sinx8cosx8．求： （I）函数f(x)的最小正周期； （II）函数f(x)的单调增区间．

2图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为2． （1）求和的值；

（2）已知点Aπ2，0，

点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)y 是PA3 P 的中点，当y32xπ0，02，π时，求x0的值．

O x

变式训练：(重庆卷)设函数f(x)=3cos2x+sinxcosx +a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为6. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间53,6上的最小值为3，求a的值.

3

一、选择题（本小题共10个小题，每小题5分） 1.（全国Ⅰ文）是第四象限角，cosＡ．

5 13Ｂ．5 13

12，sin（ ） 1355Ｃ． Ｄ．

12122. （全国Ⅱ）函数ysinx的一个单调增区间是（ ） A．，

例5. 设函数f(x)ab,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图

象经过点,2，

4B．，

3C．，

D．3，2 3. （江西文）函数y5tan(2x1)的最小正周期为（ ） Ａ．

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

变式训练：已知0π 4 Ｂ．

π 2

Ｃ．π

Ｄ．2π

4. （福建文）函数ysin2xπ的图象（ ） 3π对称 4π对称 3Ａ．关于点，0对称

π

3π4



Ｂ．关于直线xＣ．关于点，0对称

Ｄ．关于直线x1，为f(x)cos2x的最小正周期，a，tan,145. （福建文）sin15cos75cos15sin105等于（ ） Ａ．0

2cos2sin2()的值． bcos,2，且abm．求

cossin本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．

Ｂ．

1 2Ｃ．3 2Ｄ．1

6.（宁夏，海南）若

cos22，则cossin的值为（ ） π2sin4Ｂ．Ａ．7 2

1 2 Ｃ．

1 2 Ｄ．

7 27. （宁夏，海南）已知命题p:xR，sinx≤1，则（ ） Ａ．p:xR，sinx≥1 Ｃ．p:xR，sinx1

Ｂ．p:xR，sinx≥1 Ｄ．p:xR，sinx1

随堂练习

4

ππ8．（宁夏，海南）函数ysin2x在区间，π的简图是（ ）

32y

1  3

Ａ．

 O  62

1 y

1

Ｃ．

  O 62

y 1  x

   O 6Ｂ． 32 x 11π对称； 122π②图象C关于点，0对称；

3π5π③函数f(x)在区间，内是增函数；

1212π④由y3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．

31314.（浙江）已知sincos，且≤≤，则cos2的值是

524①图象C关于直线x15.（全国II）若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝ 三、解答题（本题共有5个小题）

1 y  6Ｄ． 16.（安徽卷）已知

310,tancot 431 （Ⅰ）求tan的值；

 35sin2 328sin2cos211cos228的值。

x  2O  （Ⅱ）求

x 

1 1 ycosx的图象（ ） 9．（山东文）要得到函数ysinx的图象，只需将函数2sin2个单位 C．向左平移个单位

A．向右平移

个单位 D．向左平移个单位

B．向右平移

10.（浙江）若函数f(x)2sin(x)，xR（其中0，则（ ）

）的最小正周期是，且f(0)32，1A．，

26C．2，

61B．，

23D．2，

317.（广东卷）已知函数f(x)sinxsin(x(I)求f(x)的最小正周期； (II)求f(x)的最大值和最小值； (III)若f()

5

2),xR.

二、填空题（本题共有5个小题）

11.（上海春）函数y(sinxcosx)2的最小正周期为 .

3，求sin2的值. 41312.（江苏卷）若cos(),cos()，.则tantan .

55π13.（安徽文）函数f(x)3sin2x的图象为C，如下结论中正确的是 （写出所有正确结

3论的编号）． ．．

18.（湖南）（本小题满分12分） 已知函数f(x)cos2xπ112，g(x)12sin2x． （I）设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间．

19、已知函数f(x)2sin2π4x3cos2x，xππ4，2． （I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)m2在xππ4，2上恒成立，求实数m的取值范围．

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 20．（重庆）本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）

设f(x)6cos2x3sin2x． （Ⅰ）求f(x)的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在2,2的单调递减区间 （Ⅲ）若锐角满足f()323，求tan45的值．

专题训练

一、选择题 1.已知cos35，且角在第一象限，那么2是（ ） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

2.若是第三象限的角，且cos(750)13，则tan(150)的值为（ ） A、233 B、24 C、322 D、24

3.在0,2内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）

A、4,54 B、4,2 C、54,743 D、4,4

4.将函数ysin(6x4)的图像上个点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8个单位，得到的函数

的一个对称中心是（ ）

A、2,0 B、4,0 C、9,0 D、16,0 5.已知函数y2sin(x)为偶函数0，其图像与直线y2某两个交点的横坐标分别为x1,x2，若x2x1的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是（ ） A、2,4 B、4,4 C、0,32 D、4,4 6.已知sin3sin25，且2,，那么cos2的值等于（ ） A、34 B、3332 C、4 D、2

7.函数fxsinxcosxsinx的最小正周期是（ ）

A、4 B、2 C、 D、2

6

8.若定义R在上的函数fx满足fA、fx2sinxf(x)，且fxf(x)，则f(x)可以是（ ） 31x B、fx2sin3x 31C、fx2cosx D、fx2cos3x

315是函数ysin(2x)843的一条对称轴；③ycosx,xR在第四象限是增函数；④函数ysinx是偶函数。其中正确结

2nn16.有以下4个结论：①若sinxcosx1，那么sinxcosx1；②x论的序号是

三、解答题（本大题共6小题，第17-21题每小题12分，第22题14分，共计74分） 17、已知函数f(x)asinxcosx2cos2x1的图像经过点(（1）求实数a的值

（2）若x0,，且f(x)1，求x的值

3sin700（ ） 9.202cos10A、

8,0)。

123 B、 C、2 D、 22210.将函数y3sin(x)的图像F按向量则的一个可能取值是（ ） A、



,3平移得到图像F/，若F/的一条对称轴是直线x，

43

551111 B、 C、 D、 1212121211.在同一个平面直角坐标系中，函数ycos（ ）

1x3（x0,2）的图像和直线y的交点个数是

222

18、设0,A、0 B、1 C、2 D、4 12.已知cos74)的值是（ ） 3，则sin(sin66532，函数f(x)sin(x)，且f()

444A、22443 B、3 C、 D、 5555（1）求的值 （2）若x0,二、填空题

13.若函数ycosx，求f(x)的最大值及相应x的值 20的最小正周期为，则=

56

14.已知P(tan,cos)在第三象限，则角的终边在第 象限 15.函数f(x)3sinxsin(2x)的最大值是

7

19、已知函数f(x)absin2xccos2x的图像经过点A(0,1)，B((4,1))，且当x0,4时，f(x)取得最大值221 （1）求f(x)解析式 （2）求函数f(x)的单调区间

20、已知函数f(x)3sinxcosxcos2x12(0,xR)的最小正周期为2 （1）求f(23)的值，并写出函数f(x)的图像的对称中心的坐标 （2）当x3,2时，求函数f(x)的单调递减区间

21、设函数f(x)pq，其中向量p(sinx,cosxsinx)，q(2cosx,cosxsinx),xR （1）求f(3)的值及函数f(x)的最大值

（2）求函数f(x)的单调递增区间

22、函数f(x)2sinxcos(x3)3cos2xsin(x2)sinx

（1）求函数f(x)的周期和最大值

（2）若将函数f(x)按向量a平移得到函数g(x)，而且当x3时，g(x)取得最大值3，求a和g(x)

8

参考答案

典型例题

例1：解：(1)cos17且0<2 sin437;tan43tan28347(2)coscos()coscos()sinsin()1202,3变式：（1）f(x)的定义域为xx2k,kZ(2)f(x)2(cosxsinx)

tanx4343,cosx5,sinx5f(x)145例2.解：原式=tan700cos1003sin100tan7002cos40003sin100)tan7002cos4002sin400sin700(cos10cos7002cos40022sin200cos200cos200sin2002cos4004变式：D

例（3.1）f(x)2sin(2x4)T(2)38x402x454令t2x4,则0t54 f(t)2sint当t2时，y2;当t5max4时，ymin1即当x=38时,y3max=2;当x=4时,ymin1

变式：（1）T=(2)f(x)的单调递增区间为 -4k,k（kZ）例4.（1）y=2cos(x+)的图像与y轴的交点x,为(0,3)2cos=3,且02.6又y/2sin(x6).且f/(0)=-2=2综上：=2，=6（2）设P(x,2cos(2x1+6)),A(2,0)x1x0222cos(2x1)y062cos(2x16)32x03x20

4或3x1kx16k变式：解：（1）f(x)=sin(x+3)+32af(x)的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

1x32,1x69

(2)由（1）可知f(x)=sin(x+)+332af(x)在53,6上为增函数，在6，6上为减函数当x=5 6时，f(x)取得最小值sin(563)32a3a312例5.解：（1）f(x)=abmsin2xcos2xm又yf(x)的图像经过点（4，2）

msin(24)+cos(24)+m=2m=1(2)由（1）可知f(x)=sin2x+cos2x+1=2sin(2x4)1

当x=-38+k时,f(x)min12变式：为f(x)cos(2x8)的最小正周期=，abtan(4)cos2m化简，得12（cos2+sin2+1）=(m+2)(cos-sin)又2cos2sin2()2(m2)(coscossinsin)cossin2m4随堂练习

一、选择题

1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D

二、填空题

11. 12.1 13.①②③ 14.72 15.22cos225x 三、解答题

16.解：tancot103

tan1tan103,tan354sin6cos2(2)解：原式=283cos4sin34tan2sin(2cos22)tan3

原式52617.解：（1）（fx）=2sin(x4)

T2(2)x42k,y2;x3max42k,ymin2 (3)f()334,2sin(4)4sin(334)42,sincos4

sin2(sincos)2171618.解：f(x)1212cos(2x6).由y=sinx的对称轴为x=k,得2x6kx1122k.令k0,x12为f(x)的一条对称轴.g(-312)=4

(2)h(x)132cos(2x6)2h(x)的单调增区间为5

12k,12k(kZ)10

19.解：(1)f(x)2sin(2x)135xk,ymax3;xk,ymin11212

1cos2(x)3,f()24411cos(2).sin222218.解：（1）f(x)=又0(2)f(x)m2.即2mf(x)2m在，上恒成立4.022

.424x22.62x33且f(x)在554，12上为增函数，在12，2上为减函数m+2>32-m<2m1专题训练

一、 选择题

1．B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题

13．10 14.二 15.2 16.①③④ 三、解答题

17.解：f(x)12asin2xcos2x，且过点(8,0)12asin(28)cos(28)0 a2(2)由（1）可知f(x)=2sin(2x4)f(x)1且x0,.2x44或34

x4或2 12.C

26.12(2)2x6766令t2x6,则f(t)112cost2f(t)在6，上单调递增，在7

，6上单调递减当t=时,y1.即x5max12,ymax119.解：（1）f(x)的图像过点A(0,1),B(4,1)ac1;ab1x0,4时,f(x)取得最大值221

且f(x)c2b2sin(2x)a.c2b222;a1bc2.f(x)12sin2x2cos2x(2)f(x)22sin(2x4)1f(x)的单调递增区间为-38k,8k；单调递减区间为8k,58k20.解：（1）f(x)=sin(2x-6)且T=22.即f(x)=sin(4x-6)f(23)=-1令4x-16k.x244k(kZ)

f(x)的对称中心为（124+4k,0） 11.C

11

(2)f(x)的单调递减区间为53，12

21.解：（1）f(x)=2sin(2x314).f(3)2x8k,ymax2

(2)f(x)的单调递增区间为38k,8k（kZ）22.解：（1）f(x)=2sin(2x-3).T=当x=512k时,f(x)max22）a(

122k,1)g(x)2sin(2x6)112

（