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年
封
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所 密
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第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
题 号 一 二 三 四 五 六 总分
满 分 25 15 15 15 15 15 100 得 分
注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.
得 分
一、（本题共5小题，每小题各5分，共25分）计算下列
各题（要求写出重要步骤）.
评阅人
(1) 设xn
n=(1+a)⋅(1+a2)\"(1+a2)，其中|a|<1，求limn→∞
xn.
x2
(2) 求 lim−x
⎛xe
⎜⎝
1+1⎞→∞
x⎟⎠.
(3) 设s>0，求In=
∫
+∞
0
e−sxxndx(n=1,2,\").
(4) 设函数f ( t )有二阶连续导数，r=x+y，g(x,y)=f⎛⎜⎜⎜1⎞⎝⎟r⎟⎟⎠，求∂2g2
22∂x2+∂g∂y2
. (5) 求直线l⎧x−y=0x−2y−1z−3
1:⎨⎩z=0
与直线l2:4=−2=
−1的距离.
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得 分 评阅人
二、（本题共15分）设函数f(x)在(−∞,+∞)上具有二阶导数，并且f′′(x)>0,limf′(x)=α>0，limf′(x)=β<0，且存在一
x→+∞
x→−∞
点x0，使得f(x0)<0. 证明：方程f(x)=0在(−∞,+∞)恰有两个实根.
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得 分 三、（本题共15分）设函数y=f(x)由参数方程
评阅人
⎧ ⎨
x=2t+t2(t>−1)所确定. 且d2y3
⎩
y=ψ(t)dx2=4(1+t)，其中ψ(t)具有 二阶导数，曲线y=ψ(t)与y= ∫t2
e−u2
du+
3
1
2e
在t=1处相切. 求函数ψ(t).
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得 分 评阅人
四、（本题共15分）设an>0，Sn=∑ak，证明：
k=1
n
(1) 当α>1时，级数∑
an
收敛； αn=1Sn
an
发散. αSn=1n
+∞
+∞
(2) 当α≤1，且Sn→∞（n→∞）时，级数∑
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.
得 分 五、（本题共15分）设l是过原点、方向为(α,β,γ) 评阅人
（其中α2+β2+γ2=1）的直线，均匀椭球
x2y2a2b2+z2
+c2
≤1（其中0 < c < b < a ，密度为1）绕l旋转. (1) 求其转动惯量；
(2) 求其转动惯量关于方向(α,β,γ)的最大值和最小值.
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得 分 评阅人
（本题共15分）设函数ϕ(x)具有连续的导数，在围六、
绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分
v∫
C
2xydx+ϕ(x)dy
的值为常数. 42
x+y
(1) 设L为正向闭曲线(x−2)2+y2=1. 证明: (2) 求函数ϕ(x)；
v∫
L
2xydx+ϕ(x)dy
=0；
x4+y2
(3) 设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求∫v
C
2xydx+ϕ(x)dy
. 42
x+y
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