矩阵论课程论文

西安理工大学

研究生课程论文报告

课程名称： 矩 阵 论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用 完成日期： 2015 年 10 月 25 日 学 科： 电力电子与电力传动 学 号： 姓 名：

成 绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵

求解中的应用

摘 要

控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解x(t)、y(t)来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。

关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.

1.问题提出

线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。

线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。

线性定常系统齐次状态方程为

 xtAxt 1-1

其中，x是n维状态向量；A为nn系数矩阵。设初始时刻t00，系统的初始状态xt0x0。仿照标量微分方程求解的方法求方程1-1的解。

设方程1-1的解为t的向量幂级数形式，即

x(t)=b0b1tb2t2b3t3bktk 1-2

式中，bii0,1,2,为n维向量。

式1-2代入方程1-1得

b12b2t3b3t2kbktk1Ab0b1b2t2b3t3bktk 1-3

既然式1-2是方程1-1的解，则式1-3对任意的t都成立。因此，式1-3的等式两边t的同次幂项的系数应相等，有

b1Ab021b21AbAb1022!31b31 1-4 3Ab23!Ab0k1bk1kAbk1k!Ab0Ⅰ.当t0时，由式1-2可得到

b0x0 1-5

将式1-4和式1-5代入式1-2，得到齐次状态方程的解

22kk11xtIAt21-6 !Atk!Atx0 上边右边括号内的级数是nn矩阵指数函数，记成eAt，即

22kk11eAtIAt2AtAt 1-7 !k!所以式1-6可写成

xteAtx0 1-8

Ⅱ.如果初始时刻t00，初始状态为xt0，则齐次状态方程的解为

xteAtt0x0 1-9

由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t的状态xt，可视为系统的初始状态xt0通过矩阵指数函数eAtt0的转移而得到的。因此，矩阵指数函数eAtt0又称为状态转移矩阵。

从上面的分析看，求状态方程的解xt，关键是求矩阵指数eAt。

2.问题求解

2.1 矩阵指数的基本性质

在介绍求矩阵指数eAt的方法之前，先介绍eAt的一些主要性质和几个特殊的指数函数：

Aktk（1）e，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的

k!dAtk0At（2）eAe

dtAt（3）eAt1t2eAt1eAt2 （4）eAt1eAt

（5）若ABBA，则eAteBteABt； 若ABBA，则eAteBteABt

（6）若P为非奇异矩阵，A通过非奇异变换成对角阵，即AP1AP,则有 eAtPepAPP1 (7) 若A为对角阵

10e1t12，则eAtA0n01.根据e的定义直接计算

Ate2t0 ent2.2状态转移矩阵t的几种计算方法

22nn11teAtIAt2!Atn!At

2.拉普拉斯变换法

对于线性定常系统的齐次状态方程

tAxt x两边求拉普拉斯变换，得

sXsx0Axs，

即sIAXsx0， 有XssIAx0

1因此，xteAtL1sIAx0

1若初始时刻t00，初始状态为x0，则对上式进行拉普拉斯变换，得

1 teAtLsIA L13.非奇异线性变换

（1）矩阵A经线性变换化为对角线矩阵求e

当矩阵A的n个特征值互异或者虽有重根但是仍有n个独立的特征向量时，经过线性变换，将A化为对角形矩阵，即

At0121 PAP0n 此时，系统的状态转移矩阵

221eAtIt2!t000111122t1t22!0n0n1022111t20!1t 2211tt22!222101nt2!nte1te2t0nte02 由于AP1P

所以矩阵A的状态转移矩阵

teAteP1Pt121IP1Pt2PPt!2121P1PP1Pt2!PPtP1PP1PtP1221P1It2tP!212!2t2P

P1etP（2）矩阵A经线性变换化为约当形矩阵J求e

当矩阵A的n个特征值均相同，且为1时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J

At011111 PAPJ1011t1tJt则e01tn1n1!1tn2tn2!e1

t1 所以，系统的状态转移矩阵为teAtP1eJtP 4. 应用凯莱-哈密顿定理

首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：即矩阵Ann矩阵A满足自身的特征方程，的特征多项式是A的零化多项式。

detIAnan1n1an2n2a1a00

即n-an1n1-an2n2--a1-a0 根据凯莱-哈密顿定理，有

AAnan1An1an2An2a1Aa0I0

于是

An-an1An1-an2An2--a1A-a0I

上式表明，An是An-1，An-2，…A，I的线性组合。 显然有An1AAn-an1An-an2An1--a1A2-a0A

（a2n1-an2）An-1(an1an2an2)An2(an1a1a0)Aan1a0I 则An1依次类推，可得An-1,An-2，…均是An-1，An-2，…A，I的线性组合。

Ate那么，就化成一个A的最高幂次为n1的n项幂级数的形式，即

22nn11（t）eAtIAt2!Atn!Ata0tIa1tAan1tAn1

(1)A的特征值i(i1,2,,n)互异

应用凯莱-哈密顿定理，i和A均是特征多项式的零根。因此，

eita0ta1tian1tie1t112te12那么，nte1nn1i1,2,,n

121n1a0t222n1a1tn2n1atnn11n12n1nn1-1

a0t11at12于是，1atn11n(2)A的特征值均相同

1222n2e1t2te nte设A的特征值为1，待定系数ait的计算公式如下

00a0tat1an3t00atn201an1t110312011213112131n21n11n1n2n312!n1n211!1n1-1n11t1ne1!t1n21tn2!te121t 2!te1t1e1t1!t1e(3)A的n个特征值有重特征值和互异特征值

当A的n个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数ait可以根据

12综合得出，然后求出状态转移矩阵t。

3.举例计算

01已知A，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵t。 -2-3解：

1 定义法

根据定义计算

22kk11teAtIAt2!Atk!At1101210023t2!23t012731t2t3 t3t26t27372532t3tt13ttt3222ete2tete2tt2tet2e2t2e2e2 拉普拉斯变换法

s312112ss1s2s11sIAs1s2222s3s1s2 那么，

11s1s2 12s1s2eLAt1sIA12ete2tt2t2e2eete2t t2te2e3 化矩阵为对角线标准型

由I-A120得特征根1-1，2-2

1111P12-1-2adjP22-1 P -1-1P1P1AP2 所以，

ePeAt10t021et1P12012t021e2t112eet2t2e2etet2e2teet2t

4 应用凯莱-哈密顿定理

已知特征根1-1，2-2，两两相异，则有

a0t11e1t11et21et2ete2tat12t122t112tt2teeee2e1eAta0tIa1tA112eet2t10t2t01ee1023

2ete2tt2t2e2eete2tet2e2t 可见，四种算法的计算结果是一样的。

4.应用小结

本文在给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解时，用到的矩阵论知识主要有矩阵的特征多项式，特征值，特征向量，矩阵逆，矩阵乘法，幂级数等一些基础知识。其次，在给出求解状态转移矩阵的四种方法中，其中利用线性变换将矩阵A化成对角线形，约当形；应用凯莱-哈密顿定理，再根据矩阵指数函数的性质对矩阵函数eAt进行求解，从而计算出状态转移矩阵t。通过这些矩阵论知识的应用，使得复杂的线性定常系统状态转移矩阵的求解变得方便了许多，对解决本专业问题有很大的意义。

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