生物的指数增长模型
=rxx(0)=x0
dxdt其解为
x(t)=x0ert
生物的阻滞增长模型(Logistic模型)
=rx(1−x(0)=x0
dxdtxxm)
其中xm为自然资源和环境条件所能容纳的最大生物数量。模型的解为
x(t)=
xmm−rt1+(xx0−1)e
1
1.1
Volterra食饵-捕食者模型
假设
(1)假设食饵和捕食者数量都足够大，因此可以近似地将它们看成是时刻t的
可微函数；
(2)假设食饵的食物资源丰富，从而当食饵独立生存时以指数规律增长；(3)捕食者的存在使食饵的增长率减小，减小的程度与捕食者数量成正比；(4)捕食者离开食饵无法生存，而食饵的存在为捕食者提供了食物，使得食
饵的死亡率降低，降低的程度与食饵数量成正比。
1.2记号
(1)设食饵和捕食者在时刻t的数量分别为x(t),y(t);(2)食饵独立生存时以指数规律增长时的增长率记为r；(3)捕食者独立存在时的死亡率记为d;
(4)捕食者的存在使食饵的增长率减小，减小的程度与捕食者数量成正比，
比例系数记为a,其反映了捕食者掠取食饵的能力；
1
(5)食饵的存在为捕食者提供了食物，使得食饵的死亡率降低，降低的程度与食饵数量成正比，比例系数记为b,其反映了食饵对捕食者的供养的能力；
(6)食饵和捕食者的初始数量分别为x0,y0
1.3模型的建立
由上面的假设可得食饵-捕食者模型为
x(t)=rx−axyy(t)=−dy+bxyx(0)=x0,y(0)=y0
(1)(2)(3)
1.4
1.4.1
模型的求解与分析
数值解
为求模型的数值解和相轨线y(x)，设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2,用Matlab软件编制程序如下：
functionxdot=funshier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=diag([r-a*x(2),-d+b*x(1)])*x;ts=0:0.1:15;x0=[25,2];
[t,x]=ode45(@funshier,ts,x0);[t,x]
plot(t,x),grid,
gtext(’\\fontsize{12}x(t)’),gtext(’\\fontsize{12}y(t)’),pause,
plot(x(:,1),x(:,2)),grid,xlabel(’x’),ylabel(’y’),
可得x(t),y(t)及相轨线y(t)如下：
可以猜测，x(t),y(t)是周期函数，与此相应地，相轨线y(t)是封闭曲线，从数值解所似地定出周期为10.7,x的最大、最小值分别为99.3和2.0,y的最大、最小值分别为28.4和2.0,并用数值积分容易算出x(t),y(t)在一个周期的平均值为x¯=25,y¯=10。
2
100903025807020x(t)6050401015y30205y(t)100001020304005101550x60708090100图1:数值解x(t),y(t)的图形
1.4.2
平衡点及相轨线
图2:相轨线y(t)的图形
易见方程(1),(2)的两个平衡点为
dr
P(,),Q(0,0)ba
由于A=,所以对于Q,p=−rd<0,Q不稳定,对于P,p=0,q>0,其处于临界状态，不能直接判断其是否稳定。下面用分析相轨线的方法解决这个问题。
从方程(1),(2)消去dt后得
dxx(r−ay)=dyy(−d+bx)
r−ay−ax
bx−d+bx
利用分离变量法可解得
−bx0)(yre−ay0)。其中c=(xd0e0
(xde−bx)(yre−ay)=c
为了从理论上证明相轨线是封闭曲线，记f(x)=xde−bx,g(y)=yre−ay.对于f(x),
f(x)=xd−1e−bx(d−bx)
,所以f(x)的最大值点为x0=db,最大值为fm=f(x0).根据对称性，g(x)的最大r
值点为y0=a,最大值为gm=f(y0)。因此x0,y0恰好为平衡点P。f(x),g(x)的图形
见。
下面对于给定的c值考察相轨线f(x)g(y)=c的形状。当c=fmgm时，x=x0,y=y0,相轨线为平衡点P。
3
f mg g p mq O x1 x0 x2 O y1 y0 y 2图3:f(x)的图形图4:g(x)的图形
0 当c由最大值fmgm变小时，相轨线是一族从P点向外扩展的封闭曲线。为确定相轨线的方向，考察相平面上被x=x0,y=y0两条直线分成的四个区域内x(t),y(t)的正负号，这此正负号由模型方程很容易确定（见图7），这就决定了相轨线是逆时针方向运动的。 相轨线是封闭曲线等价于x(t),y(t)是周期函数（图8），记周期为T,其分为4段（见图8），它们恰好与图7中的4个区域内的4段轨线相对应。结合图7、图8可见，x(t),y(t)的周期变化存在相位差，x(t)领先于y(t),如x(t)先于y(t)达到最大值。 4 30100902580702060x(t)15x’(t)<0y’(t)<0 x’(t)<0y’(t)>0 5040y10x’(t)>0y’(t)<0 5x’(t)>0y’(t)>0 30y(t)20100001020304050x607080901000T1 T2 T3 5T4 1015图7:相轨线的方向图8:x(t),y(t)的相位差 在数值解中我们看到，x(t),y(t)一周期的平均值分别为x¯=25,y¯=10,其与平衡点刚好相等。那么，这是否具有一般性呢？ 将方程(2)可变为 1y(t) +d)x(t)=( by 1x¯= T 0T 因此 x(t)dt= 1d(lnt+dt)|T=0Tbra 同理， y¯= 所以，x(t),y(t)的平均值正是平衡点，也就是相轨线的中心点P。 1.5模型的结果分析 上述结果表明，捕食者的数量(用一周期的平均值x¯代表)与食饵增长率r成正 比，与它掠取食物的能力a成反比；食饵的数量(用一周期的平均值y¯代表)与捕食者的死亡率d成正比，与它供养捕食者的能力b成反比。换言之，在弱肉强食情况下，降低食饵的增长率，可使捕食者减少，降低捕食者的掠取能力却会使之增加；捕食者的死亡率上升导致食饵增加，食饵供养捕食者的能力增强会使食饵减少。 1.6进一步的分析：杀虫剂的影响 下面利用上面的模型分析杀虫剂的影响。自然界中不少农作物的害虫都有它的天敌――益虫，益虫是捕食者，害虫为食饵，这就构成了一个食饵――捕食者系统。如果一种杀虫剂既杀死害虫又杀死益虫，那么可以引入表示杀虫剂效力的 5 参数e,它使得害虫的增长率从r下降为r−e,而益虫的死亡率从d上升为d+e,此时害虫、益虫在一个周期内的平均值变为 x¯1= d+er−e >x¯,y¯1= 小，与使用者的愿望正好相反。 1.7模型的进一步改进 如果在Volterra模型中加入考虑阻滞作用的Logistic项，我们可以将模型改为 xy−σ1)N1N2 xy y(t)=r2y(−1+σ2−) N1N2 x(0)=x0,y(0)=y0x(t)=r1x(1− 或 xy−σ1)N1N2 x y(t)=r2y(−1+σ2) N1 x(0)=x0,y(0)=y0x(t)=r1x(1− 作业 1.设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=20,y0=4,画图，周期，x,y的最值。2.改变参量，考察其对周期，x,y的最值的影响。 3.如果在食饵方程(1)中增加自身阻滞作用的Logistic项，方程(2)不变，讨论 平衡点及稳定性，解释其意义。 6 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容