抽象代数复习题及答案

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)

1. 设Q是有理数集，规定f(x)= x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（ B ）

A. x22x1

B. x23 C. x24x5

D. x2x3

2. 设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的 （ A ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

3. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个

5. 剩余类环Z10的子环有( B )。

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G是有限群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a8的阶为( B ) A． 2 B. 3 C. 6 D. 9

7．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) A. (ab)1b1a1 B. b的阶不一定整除G的阶

C. G的单位元不唯一 D. G中消去律不成立

8. 设G是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G的商群不是循环群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群

9. 设集合 A={a,b,c}, 以下AA的子集为等价关系的是( C )

A. R1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

10. 设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的 （ B ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

11. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环Z8中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

13. 设（R，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。

A. R的零元惟一 B. 若xa0，则xa

C. 对aR，a的负元不惟一 D. 若abac，则bc 14. 设G是群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a32的阶为( B )

C )。B )。

A． 2 B. 3 C. 6 D. 9

15．设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A )

A. |a||G| B. |b| = ∞ C. G的单位元不唯一 D. 方程axb在G中无解

16. 设G是交换群，则以下结论正确的是( B ) ．．

A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群 D. G的任何子群都是循环群

17. 设A={1，-1, i，-i}，B = {1, -1},

A. 满射而非单射

: A→B, aa2, a∈A，则是从A到B的( A )。

D. 既非单射也非满射

aB. 单射而非满射 C. 一一映射

18.设A=R（实数域）， B=R（正实数集）， :a→10， a∈A，则 是从A到B的( C )。

A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射

19.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x

20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )

A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 C. 构成一个群 D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z8的子群有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 23. 下列含有零因子的环是 （ B ）

A. 高斯整数环Z[i] B.数域P上的n阶全矩阵环 C. 偶数环 2Z D. 剩余类环Z5 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）

A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R的理想一定是子环 25．设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（ A ） A． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个

26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A到集合B的满射的个数为 ( D )。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

27. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A的分类的是 ( C )

A. P1 = { {a, b},{a, c}} B. P2 = {{a},{b, c},{b,a}} C. P3 = {{a},{b,c}} D. P4 = {{a,b},{b,c},{c}}

a0a,bZ28. 设R = ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。 0bA. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环

C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环

29. 设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3的子群的个数是( D )。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

30. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。

A. 0 B. 1 C. i D. i

31.. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是 ( B )。

A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群

32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。

A. 1 B. 2 C. 6 D. 7

33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A到集合B的映射有( D )。

A. 1 B. 6 C. 18 D. 27

34. 设G,为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（ D ）

A.0和x； B.1和0； C.k和x2k； D.k和(x2k)}

2135. 设a,b,c和x都是群G中的元素，且xabxc,acxxac，那么x（ A ）

A.bca； B.ca； C.abc； D.bca。 36. 下列正确的命题是（ A ）

A.欧氏环一定是唯一分解环； B.主理想环必是欧氏环； C.唯一分解环必是主理想环； D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H|6，那么G的阶G（ B ） A.6； B.24； C.10； D.12。 38. 设G是有限群，则以下结论正确的是（ A ） ．． A. G的子群的阶整除G的阶 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群

39．设f:G1G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f的同态核是G1的正规子群； B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群； C.G1的子群的象是G2的子群； D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。 40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）

A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. 半群一定有一个右单位元 C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元

1111111二、填空题(每空3分)

1. 设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 （ n ）个.

2. n次对称群Sn的阶是（ n！ ）. 3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.

m)　4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（ p1　　　个.

5.除环的理想共有（ 2 ）个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是（ ［4］ ）. 7.在 i+3, , e-3中，（ i3 ）是有理数域Q上的代数元.

8. 2在有理数域Q上的极小多项式是（ x2 ）.

）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}.） 9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则AB=（{(a,110. 设R是交换环，则主理想(a)=（ Ra{rama| rR,mZ}.） 11．设(5431), 则(1345).

12 . 设F是9阶有限域，则F的特征是（ 3 ）. 13．设1(351),2(2154)是两个循环置换，则21（（1） 342）14 . 设F是125阶有限整环，则F的特征是 （ 5 ）.

15. 设集合A含有3个元素，则AA的元素共有（ 9 ）个.

16. 设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群，其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是（ 2 ）.

12

217.设a、b是群G的两个元，则 (ab)1

=（ ba）.

1118. 环Z10的可逆元是（ [1],[3],[7],[9]）.

19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 20．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则fn11fa(a)。

21.设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为（m整除n）。 22．设(31425)是一个5-循环置换，那么((52413)).。 23．有限群G的阶是素数p，则G是（ 循环 ）群。

24．若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 （{有限和xayiii|xi,yiR}）。

25．群(Z12,)的子群有（ 6 ）个。

26．由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（ 群G的变换群 ）同构。

27．设A、B分别是m、n个元组成的集合，则|AB|=（ mn ）。 28．设A={a,b,c}，则可定义A的（ 5 ）个不同的等价关系。A的分类

M={{a,c},{b}}确定的等价关系是R({(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)}）。 29. 设G是6阶循环群，则G的生成元有（ 2 ）个。 30. 非零复数乘群C*中由-i生成的子群是（ {i,i,1,1} ）。 31. 剩余类环Z7的零因子个数等于（ 0 ）。 32. 素数阶有限群G的子群个数等于（ 2 ）。

33. 剩余类环Z6的子环S={［0］,［3］},则S的单位元是（ [3] ）。 34．群:G~~G，e是G的单位元，则(e)是（G的单位元 ）。 35. 复数域的特征是（ 0 ）.

36. 在剩余类环(Z12,,)中， [6][7]=（ [6] ）. 37. 在3-次对称群S3中 ， 元素(123)的阶为：（ 3 ）.

38. 设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环， 则环同态f:ZZm,n[n]的同态核为（ mZ{mr|rZ} ） 39.

32在有理数域上的极小多项式为（ x32 ）

40. 无限循环群一定和（ 整数加群(Z,) ）同构.

三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“”，每小题3分)

1. 设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。（  ）

2. 群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。（ √ ）

3. 设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。 f: G→G是一个映射，且f(x) =7, xG. 则f是G到G的同态映射。（  ）

4. 一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（  ）

5. 设G是群，则群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。（ √ ） 6. 设G是n阶有限循环群，则G同构于模n剩余类加群 Zn。 （ √ ） 7. 设:GG是群同态，则将G的单位元不一定映射为G的单位元。（  ）

x8. 设R是环，A，B是R的任意两个理想，则AB也是环R的理想。（ √ ） 9. 域的特征可以为任何自然数. （  ）

10. 群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群. （√ ） 11. 4次交错群A4在4次对称群S4中的指数为4. （  ） 12. 复数域是实数域的单代数扩张。 （ √ ） 13. 除环一定是域. （  ） 14.3-次对称群S3的中心是(1). （ √ ） 15. 整数环的商域是有理数域. （ √ ） 16. 无限循环群和整数加群同构. （ √ ）

217. 多项式 x3在有理数域上可约。 （  ）

18. 在特征为p的域F中始终有(ab)ab,a,bF. （ √ ）

ppp19. 高斯整数环Z[i]是唯一分解环. （ √ ） 20．有限集合到有限集合的单射不一定是满射。 （  ） 21. 有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。 （ √ ）

22. 设:G1G2是群G1到群G2的同态， 则同态核Ker()是G1的正规子群. （ √ ） 23.素数阶群不一定是循环群。 （  ） 24.设(Z,,)为整数环，p为素数， 则(pZ,,)是(Z,,)的极大理想。 （ √ ） 四、证明题

1. 设Q为有理数域，设T{ab2|a,bQ}， 则T按数的乘法和加法构成一个域.（6分）

证明： T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且

0ab2T,(ab2)1T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法

和加法构成一个域.。

2. 设E是F的扩域，且（E：F）=1，则E=F. （6分）

证明：用反证法：若EF， 则存在xE,xF， 这样(E:F)2， 矛盾！ 3. 证明：交换群的商群是交换群.（8分）

证明：设G为交换群， 且HG，则 G任意aH,bHGHG关于正规子群H的商群，且对

H,有,

(aH)(bH)(ab)H(ba)H(bH)(aH)

故GH是交换群.

4. 设A{1,1,i,i},B{1,1}，“·”是数的乘法，证明：（A，·）～（B，·）。（这里“～”表示（A，·）与（B，·）是

满同态）（8分）

证明：构造映射：f:AB,11,11,i1,i1，则容易验证f 是(A,)到（B,)的同态映射.

5. 证明：设G=a0022R,）的子半群.（6分） ， 则关于矩阵乘法构成（G|aR0证明：对任意的成（R22a0b0a0b0ab0,G,00000000G， 故由子半群的判定知，G关于矩阵乘法构00,）的子半群，得证.

16. 设a是群G的任一元素，若a的阶|a|=2，求证： aa.（6分）

1证明：由题设我们知道：ae, 对这个式子的两边同时乘以a得

2a1a2a1e,(a1a)aa1

利用群G中逆元和单位元的性质，即得，aa.

17. 设ε=

13i31,,2，证明：有如下的群同构：，即1=1，G=（Z3，）≌（G，·），这里σ（[0]）=1，

22σ（[1]）=ε，σ（[2]）=。（8分） 证明：容易验证下述映射

：Z3G,[0]1,[1],[2]2

是双射，且保持运算， 即：

([i][j])([i])([j]),[i],[j]Z3.

由同构映射的定义，即得（Z3，）≌（G，·）. 8. 设G是R2

×2

中所有可逆矩阵组成的集合，

（i）. 证明G关于矩阵的乘法成群。（6分） (ii). 10  的阶是多少？（4分） 0-1 11 的阶是多少？（4分） 0 1(iii). (iv). 证明G不是交换群.（6分）

解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零， 而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积， 由此A,BG,A1G,ABG, 故G关于矩阵的乘法成群.

(ii). 注意到此时群G的单位元是：1100 ，经过简单计算，我们可知 的阶是3. 001-1 11 (iii). 0 的阶是. 1(iv). 通过简单计算，得01111101， 故G是非交换群。 10010110解答题：

1. 设Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的所有不同的自同构映射。（8 分）

解：对任意xQ， 定义fx:QQ,aax,对aQ, 则集合{fx|xQ,但x0}为(Q,)的所有自同构

映射. ２

．

设

G

=

A1,A2,,A8，其中

A1=

1 01 01 0,A,A23, 0 10 -10 11 0i 0i 0i 0i 0A4=A = ,A,A,A780 -150 i60 -i0 -i0 i列出G的乘法（矩阵乘法）运算表。

解：运算表如下：

· A 1 A 1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A A A A A A A A 36587142 A3 A4 A2 A8 A7 A6 A6 A5 A4 A5 A6 A4 A3 A2 A1 A7 A8 A5 A6 A5 A6 A7 A8 A6 A8 A7 A2 A1 A3 A4 A5 A7 A8 A1 A2 A4 A3 A8 A6 A5 A3 A4 A2 A1 A7 A5 A6 A4 A3 A1 A2 A7 A8 ３．（１）写出３－次对称群S3的所有元素；（４分） （２） 求出S3中所有元素的阶；（６分） （３）求出S3中所有元素的逆元.（６分）

解：

12(１)S3的全部元素为：01 223 21331231，1 3 21231231342，，2 3 1，3 21 3123，5． 3 1 2（２）各元素的阶为：|1||2||4|2,|3||5|3,|0|1.

（３） 0， 1， 2 ，3，4，5的逆元分别为：0，1，2，5，4，3． ４．找出Z12中的所有零因子．（６分）

解：[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]为所有的零因子．

５． 在有理数域的扩域Q（32）中，求1+32的逆。（１０分）

解：由于32在Q上的最小多项式是p(x)= x3-2，因此由定理4.3.3，得到

Q(32){a0a132a224a0,a1,a2Q}

由于1+32在Q(32)的逆元仍然是Q(32)中的元素，故可设1+32在Q(32)的逆元为a0a132a234,则

（1+32）（a0a132a234）=1

3将p(32)= (32)-2=0代于上式，并经过简单计算，得到

(132)1 =

13114 32 333６． 设H{[0],[3],[6],[9]}≤Z12，写出Z12关于H陪集分解式。（８分）

解：Z12关于H的陪集分解式为

Z12=0 3 6 9 1 4 7 102 5 8 11

７． 列出整数模6剩余类环 Z6中元素的加法和乘法运算表.（１２分）

解：Z6= {[0] [1] [2] [3] [4] [5]}

Z6中元素的加法和乘法运算表如下:

+ [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4]  [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] ８． 写出Z4中每个元所含整数。（８分）

解 [0]{4q|qZ},[1]{4q1|qZ},[2]{4q2|qZ},[3]{4q3|qZ}

９．在S3中，计算(1 2)(2 3)与(2 3)(1 2)。（６分）

解： (1 2)(2 3) = (1 2 3)， (2 3)(1 2) = (1 3 2)。

１０．求出S3的所有正规子群。（１０分）

解： S3的所有正规子群为：H1{(1)},H2A3{(1),(123),(132)},H3S3．

1,2，写出A的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。１１．设A=（１２分）

解：所有双变换为：f:11,22,g:12,21， 则G{f,g}， 其运算表如下：

· f g １２．求模8的剩余类环Z8的所有子环。（８分）

f f g g g f 解：Z8的所有子环为：Z8；{[0]}；{[0],[4]}；{[0]，[2]，[4]，[6]}．