微分中值定理的证明与应用

B09030124 孙吉斌

一 中值定理及证明：

1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:

定理 ( Fermat ) 设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有 f(x0)0罗尔中值定理：若函数f满足如下条件：

（i）f在闭区间[a，b]上连续；（ii）f在开区间（a，b）内可导；（iii）

f(a)f(b)，

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0。

证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。

(ii)若m ＜ M，则因 f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f的极值点，由条件(ii) f在点ξ处可导，故由费马定理推知f()=0.

注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。

xx,|x|1例如： F(x)0,2x1

1,1x2易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 F()0

注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例

如：

421xsin,x0xf(x)在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然

0,x0324xsinf(x)0,x01x12x2sin1xcosx在（-1，1）内存在无限多个 cn =

1(nz) 2n使得f(cn)=0。

2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[a,b]上连续；ii）ƒ在开区间(a,b)内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

f()f(b)f(a)

ba证明此定理要构造辅助函数 F(x)，使得F(x)满足罗尔定理的条件（i）-(iii) 且

f(b)f(a)f(b)f(a)，从而推得F(x)f(x)f(a)(xa),x[a,b]

babaf(b)f(a)证明：作辅助函数F(x)f(x)f(a)(xa)

ba显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存

在点

f(b)f(a)f(b)f(a)ξ(a，b)，使得F()f() 0 即 f()babaF(x)f(x)注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)f(b)时的特例

注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线yf(x)上至少存在一点P(,f())，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数F(x)，正是曲线 yf(x) 与直线

f(b)f(a)事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标(xa)之差，

ba系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。

注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。

注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： AB,yf(a)f(b)f(a)f()(ba),(a,b) f(b)f(a)f[a(ba)](ba),(0,1) f(ah)f(a)f(ah)h,(0,1)

注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此，因为：f在（a,b）可导可以推出ƒ在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数f(x)在（a，b）可导且f(x)在a右连续在b左连续”这

样，两个条件互相，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论

推论1 函数f(x)在区间I上可导且f(x)0,  f(x)为I上的常值函数. 证明： 任取两点 x1,x2I（设x1x2），在区间 [x1,x2] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ（x1,x2）I，使得f(x2)f(x1)f()(x2x1)0

推论2 函数f(x)和g(x)在区间I上可导且

f(x)g(x),  f(x)g(x)c,

xI.

推论3（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U（x0）内连续，在U°（x0）内可导，且极限limf(x)存在，则f在点x0可导，且f(x0)limf(x)

xx0xx0证明：分别按左右导数来证明上式成立

（1） 任取xu0(x0)，f(x)在[xo,x]上满足拉格朗日中值定理条件，则存

在

ξ(xo,x)，使得

f(x)f(x0)xx0时随之有f()由于x0＜ξ＜x，因此当xx0ξ→x0，对上式两边取极限，使得

f(x0)limxx0f(x)f(x0)limf()f(x00) xx0xx0xx0（2）同理可得f(x0)f(x00)因为limf(x)=k存在，所以

(x0)f(x0)k即f(x0)k f(x00)=f(x00)=k，从而f注1°由推论3可知：在区间I上的导函数f(x)在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。 注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。

推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数f在闭区间[a,b]上可导, 且

f(a)f(b)0,

 (a,b),  f()0. ( 证 )

二 应用举例:

1可微函数单调性判别法：

1.1 一阶函数与单调性的关系：

(1) 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗(或↘) 在(a,b)内

f(x)0 ( 或0 ).

证 ) )

证f(x)0.



(2) 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗↗( 或↘↘)  ⅰ> 对x(a,b), 有f(x)0 ( 或0); ⅱ> 在(a,b)内任子区间上

f(x)0.

2 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 2.1 可微极值点的必要条件: Fermat定理

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.

2.2 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.

(充分条件Ⅰ) 设函数f(x)在点x0连续, 在邻域(x0 , x0)和( x0 , x0 )内可导. 则

ⅰ> 在(x0 , x0)内f(x)0, 在( x0 , x0 )内f(x)0时,  x0为

f(x)的一个极小值点;

ⅱ> 在(x0 , x0)内f(x)0, 在( x0 , x0 )内f(x)0时, x0为

f(x)的一个极大值点;

ⅲ> 若f(x)在上述两个区间内同号, 则x0不是极值点. (充分条件Ⅱ) 设点x0为函数f(x)的驻点且f(x0)存在.则 ⅰ> 当f(x0)0时, x0为f(x)的一个极大值点; ⅱ> 当f(x0)0时, x0为f(x)的一个极小值点.

证法一 f(x0)limf(x)f(x0)f(x)lim. xx0xxxx00xx0当f(x0)0时, 在点x0的某空心邻域内

f(x)0,  f(x)与xx0异号,…… xx0证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.

(充分条件Ⅲ ) 设f(x0)f(x0)f(n1)(x0)0,而f(n)(x0)0.则 ⅰ> n为奇数时, x0不是极值点;

ⅱ> n为偶数时, x0是极值点. 且f(n)(x0)0对应极小; f(n)(x0)0对应极大.

2.3 利用单调性证明不等式:

原理1: 若f↗, 则对, 有不等式f()f(). 例4 证明: 对任意实数a和b, 成立不等式

b |a|.

1|ab|1|a|1 b 证 取f(x)x1, (x0). f(x)0, 在[ 0 ,  )内f(x)↗↗. 1x(1x)2 ab 于是, 由 |ab|  |a||b|, 就有 f( |ab| )f( |a||b| ), 即

|ab||a||b||a||b||a||b|.

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|不等式原理: 设函数f(x)在区间[a ,  )上连续,在区间( a ,  )内可导, 且f(x)0; 又 f(a)0. 则 xa时, f(x)0. (不等式原理的其他形式.)

2.4.1 凸性的定义及判定：

（1）凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 设函数f(x)在区间[a,b]上连续. 若对x1,x2[a,b], 恒有

xx2f(x1)f(x2) f1, 22xx2f(x1)f(x2)或f1. 22

则称曲线yf(x)在区间[a,b]上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当x1x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线yf(x)在区间[a,b]上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为

上凸和下凸.

(2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.

2.4.2 利用二阶导数判断曲线的凸向:

设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内 ⑴ f(x)0,  f (x)在(a,b)内严格上凸; ⑵ f(x)0,  f (x)在(a,b)内严格下凸.

该判别法也俗称为“雨水法则”.

证法一 ( 用Taylor公式 ) 对x1,x2(a,b), 设x0点

x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

x1x2, 把f(x)在2 f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(1)(x1x0)2, 2f(2)(x2x0)2. 2 f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)其中1和2在x1与x2之间. 注意到 x1x0(x2x0), 就有 f(x1)f(x2)2f(x0)1f(1)(x1x0)2f(2)(x2x0)2, 于是 2 若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即f(x)严格上凸.

若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即f(x)严格下凸.

证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若f(x)0, 则有f(x)↗↗, 不妨设

x1x2,并设x0x1x2 ,分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用Lagrange中值定2理, 有

1(x1,x0),  f(x0)f(x1)f(1)(x0x1), 2(x0,x2),  f(x2)f(x0)f(2)(x2x0).

有x11x02x2,  f(1)f(2), 又由 x0x1x2x00， f(1)(x0x1)xx2 f(x1)f(x2)2f(x0)2f1， f(x)严格下凸.

2可类证f(x)0的情况.

凸区间的分离: f(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间. 2.4.3 曲线的拐点: 拐点的定义.

例8 确定函数f(x)xex的上凸、下凸区间和拐点. 解 f的定义域为(  ,  ),

f(x)ex(12x2), f(x)2x(2x23)ex. 令f(x)0, 解得 x13 , x20 , x323. 2222在区间(  , 为

3333 ) , (  , 0 ) , ( 0 , ) , ( ,  )内f的符号依次222233333232 ,  ,  , ， . 拐点为: 2 , 2e , ( 0 , 0 ) ,  2 , 2e.

倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷. .

3 函数的最值: 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且仅有有限个可疑点

x1,x2,,xn. 则

maxf(x)=max{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),,f(xn) };

x[a,b]{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),,f(xn) }. minf(x)minx[a,b] 函数最值的几个特例:

ⅰ> 单调函数的最值:

ⅱ> 如果函数f(x)在区间[a,b]上可导且仅有一个驻点, 则当x0为极大值点时, x0亦为最大值点; 当x0为极小值点时, x0亦为最小值点.

ⅲ> 若函数f(x)在R内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.

ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.

3.1 最值应用问题:

例17 A、B两村距输电线（直线）分别为1km 和1.5km,CD长3km.. 现 两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长AEBE最小.

解 设x，并设输电线总长为L(x).则有

L(x)AEEBx21(3x)21.52, 0x3.

L(x)x(3x)21.52(3x)x21(3x)1.5  x12220

令 x(3x)21.52(3x)x21,  1.25x26x90.

解得 x1.2 和 x6 ( 舍去 ).