线性代数练习题
一、选择题
1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是( ).
(A) (B) (C) (D)
3.如果行列式，则（ ）。
（A）可能为1 （B）不可能为1
（C）必为1 （D）不可能为2
4. 设、为阶矩阵，则（ ）成立。
（A） （B）
（C）
（D）
5.在函数
中
项的系数是( ).
(A) 0 (B) (C) (D) 2
6. 若，则中第一行元的代数余子式的和为( ).
(A) (B) (C) (D)
7.设为阶矩阵，且，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
8.齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
9.设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）。
（A）的列向量组线性相关 （B）的列向量组线性无关
（C）的行向量组线性相关 （D）的行向量组线性无关
10.设是（ ）.
矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则
（A） （B） （C） （D）的关系依而定
11.设与为阶非零矩阵，且= 0 ，则与的秩（ ）
（A）必有一个等于零 （B）都小于
（C）一个小于，一个等于 （D）都等于
12.关于矩阵，下列命题正确的是（ ）。
（A）若，则或（B）可经过一系列的初等行变换把矩阵化为标准形
（C）矩阵的标准形不惟一 （D）若为初等矩阵，，则
13. 下列命题正确的是（ ）
（A）维列向量组
可以线性无关
（B）矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩
（C）维列向量组必线性相关
（D）若方阵，则可逆。
14.设向量组的秩为3，则（ ）。
（A）任意三个向量线性无关 （B）中无零向量
（C）任意四个向量线性相关 （D）任意两个向量线性无关
15. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
16.设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（A. 与相似 （B）与有相同的特征向量
（C）与有相同的特征值 （D）与等价
17.是阶矩阵与相似的( )。
（A）充要条件 （B）充分而非必要条件
。 ）
（C）必要而非充分条件 （D）既不充分也不必要条件
18. 阶方阵有个不同的特征根是与对角阵相似的( )。
（A）充要条件 （B）充分而非必要条件
（C）必要而非充分条件 （D）既不充分也不必要条件
19.设矩阵与相似,则的值分别为( )。
（A） 0,0 （B） 0,1 （C） 1,0 （D） 1,1
二、填空题
1. 各列元素之和为0的阶行列式的值等于 。
2.五阶行列式的项前的符号为 ，前的符号为 。
3.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为
.
4.设，且，则
5.设，且，则
6. 设三阶矩阵，则 。
7. 设矩阵（为正整数）。
，，则 ， ，
8.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则_______。
9.设为4阶方阵的伴随矩阵，且，则
10.设为四阶方阵的伴随矩阵，且，则
11.已知
，则
12.已知
，则
13. 设，，则 。
14.若线性方程组的系数矩阵的秩为，则其增广矩阵的秩为
15.齐次线性方程组有非零解，则
16.向量线性无关的充要条件是 。
17.已知向量组，，线性相关，则 。
18.已知向量组
线性相关，则
19.. 向量组，，的一个最大无关组为 。
20..设向量组性 。
线性无关，则向量组，，线
21.线性方程组
的解空间的维数是
22.若元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则其对应的齐次线性方程组解空间的、秩为
23.已知向量组
两两正交，则
24.已知向量组
两两正交，则
25. 设三阶可逆矩阵的特征值分别为2、3、5，则的特征值为 。
，的伴随矩阵
26.设为矩阵的三个特征值，则 。
27.设三阶矩阵的特征值分别为-1,0,2,则行列式 。
28.设为矩阵的三个特征值，则 。
29.若
相似，则
，= 。
三、判断题
1、
（ ）
2、设均为阶矩阵，则 （ ）
3、若，则 （ ）
4、设均为可逆矩阵，则也可逆且 （ 5、向量组
是线性无关的
（ ）6、设向量组线性无关，则向量组
也线性无关 （ ）四、计算题
1.计算下列行列式
（1） （2）
）
（3）
（4）
2. 解下列矩阵方程(X为未知矩阵).
（1)
（2)
3.设 ， ，若矩阵满足，求。
4.设，且，求。
5.设三阶矩阵满足，且，求。
6. 设,求
7.设，问（1）取何值时，；（2）取何值时，。
8.设，问（1）取何值时，；（2）取何值时，。
9.求下述列向量组
的秩、最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表出。
10.已知向量组， ，，
，（1）求向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.
11.求向量组、、、、
的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。
12.已知向量组
，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。
13.当为何值时，线性方程组
有解？在有解的情况下，求其全部解（若有无穷解，用基础解系表示）。
14.求取何值时，线性方程组
有解，并用基础解系表达其通解。
15.对于线性方程组 讨论取何值时，方程组无解、有惟一解和有
无穷多解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。
16.求取何值时，线性方程组
有解，并用基础解系表达其通解。
17.取何值时，非齐次线性方程组
（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.
18.求下列矩阵的特征值与特征向量
（1）（2） （3）（4）
五、证明题
1.设
证明：A及A+3E都可逆，并求
，
2.已知n阶方阵满足，证明矩阵可逆，并求.
3.设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，证明的秩。
4.设
，试证
线性相关。
5.已知向量组线性无关，又有
，试证向量组
线性无关。
6.设向量组线性无关，
试证明向量组
也线性无关。
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