线性代数试题及答案2

一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）

a1a2b2c2a3c3a13c1a22b23c2a32b3 =( ). 3c31.如果b1c1b3m，则2b1A.6m； B.6m； C.2333m； D.2333m。

2. 设A、B是mn矩阵，则( )成立.

A.R(AB)R(A)； B. R(AB)R(B)； C.R(AB)R(A)R(B)； D. R(AB)R(A)R(B)。

3. 设A是sn矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是( ). A.A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关 C.A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关 ab4. 设13ab5221345． ，则a,b分别等于（ ）

2A. 1,2 B. 1,3 C. 3,1 D. 6,2

5. 若x1是方程AXB的解，x2是方程AXO的解，则（ ）是方程AXB的解（c为任意常数）.

A.x1cx2 B. cx1cx2 C. cx1cx2 D. cx1x2 二.填空题（每小题3分，共15分）

1.设A,B均为n阶方阵，且Aa,Bb，则(2A)BT= . 12. 0111= .

x1x2T3. 若对任意的3维列向量x(x1,x2,x3),Ax，则A= ．

2x1x3144．设a0,b2,c与a正交，且bac则= ，c= ．

23TTT5. 设向量组1(1,0,0),2(1,3,0),3(1,2,1)线性 关.

三.计算行列式（10分）

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2315112042361122

13451412,a,a,a.求向量组a,a,a,a的秩和一个最大无关四.（10分）设a1123423411232231组.

1五.（10分）已知矩阵满足XAB，其中A20361011，B01210，求X. 3

六.（8分）设方阵A满足A2A2E0,证明A可逆，并求A的逆矩阵.

七.(8分）已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组

b1,b2,b3线性无关.

1八.（12分）求矩阵A4113000的特征值和对应于特征值的所有特征向量。 2

x1x22x31九.（12分）取何值时，下列非齐次线性方程组x1x2x32

5x5x4x1123(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。

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一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 2nab; 2. 101 1 3. A12100; 1 4 . 2,c(2,2,1)T; 5. 无关

二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分

1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）

23 解： 15112042361cc421222315423442301120020042360202 3分

r4r221311221r4r121311200 3分

四 （10分）

02000 4分

解：A10，所以A可逆，有 XBA1， 4分

52210311 3分 10215023231131140121 3分 13 A1XBA1五. （10分）

11解：(1,2,3,4)1210 00515311181111343412412351203010534313128345211453 2分 2113410150063000153  6分

00110002 第 3 页 共 5 页

向量组的秩为4， 1,2,3,4为最大无关组。 2分 六、 证明：恒等变形A2A2E，A(AE)2E， 3分 A[12(AE)]，所以A可逆，且AE112(AE)。 3分

七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

2a,a,a1 b1,b2,b3123003110,4记BAK， 3分

设BX0，以BAK代入得

A(Kx)0，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知Kx0，

3分

又因K250，知方程 Kx0只有零解x0。

所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。  4分

2a1,a2,a31003110,4证法二： 把已知条件合写成 b1,b2,b3记BAK， 3

分

因 K250，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知RARB 3分

因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知RA3，从而 RB3， 再由定理4知矩阵B的三个列向量组b1,b2,b3线性无关。  4分 八 （12分）

1130002(2)(1)

2解: A的特征多项式为AE41所以A的特征值为12,231.  4分

3当12时,解方程(A2E)x0.由A2E41110010~00001000 0 第 4 页 共 5 页

0得基础解系 p10,

1所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量.  4分

2当231.时,解方程(A1E)x0.由AE411得基础解系 p22,

1120001~10001012, 0所以kp2(k0)是对应于231的全部特征向量。  4分

九．（12分）

1 解：(Ab)15152411r2r12r035r101215522613 6135r20 r01025413  4分 9（1） 当45时，R(A)2,R(Ab）=3，方程组无解；

（2）当,且1时， R(A)R(Ab）=3=n，方程组有唯一解；

54（3）当1时，R(A)R(Ab）=2n=3，方程组有无穷多个解。  4分 原方程组同解于x1通解x2x3x1x22x313x33，x1x21x31，

11cR）c10，。  4分 （

01

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