线性代数练习题

一、填空题

11111x是关于x的一次多项式，该式中一次项的系数是___2_____。 11. 112. 已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则

D__-15_____。

abbbca，则A11A12A13_____0____。 b3. 已知Dcb4. 已知矩阵A,B,C(cij)sn满足ACCB，则A与B分别是__ss,5.

2A已知005b086是奇异阵，则b____0_____。 4T1nn__阶矩阵。

6. 设A,B均为n阶矩阵，|A|2,|B|3，则|2AB52设A001A0|___2n13______。

210000117.

01021A____，则0210250000131300____________。 23138.

11kkA，为自然数，则__10Tk_____________。 19. 若A为n阶方阵，且AAE，则A1或-1。

10. 若n阶方阵A的秩小于n，则A的行列式等于___0____。

*111. 设A为3阶方阵，且A3，则AA_____64/3________。

212. 已知A00020020，满足ABAB，则B_____02002000________。 2*13. 设A为n阶方阵，且A2，则2A 2 n+1，A2 n-1。

14. 若A为n阶方阵，且AATE，A1则AE 0 。 1215. 设A为5阶方阵，且A016. 已知矩阵A24035，试求(3A)*123A。

10，则r(A)____3________. 017. 设向量组1(1,1,2,1)，2(1,0,0,2)，3(1,4,8,k)线性相关，则参数k=__2____。 18. 设Aaijmn，若mn，则A的列向量组线性___相关_______。

19. 设A为mn矩阵,非齐次线性方程组Axb有解的充分必要条件是_r(A)= r(A,b)_。

1

线性代数练习题

120. 线性方程组x1x2x30的一个基础解系是___1,010__。 111124321. 设A35246322. 设A是秩为r的m123. 设三阶矩阵A2311，则齐次线性方程组Ax0基础解系所包含的解向量的个数为____1____。 45n阶矩阵，则齐次线性方程组AX0的任一基础解系所含解向量的个数均为2102T2，三维列向量[x,1,1]，已知A与是线性相关的，则4____n-r________。

x_____-1____。

二、计算题

131331233133331222...2223...2...............2210431072813241. 计算行列式（1）D333= -80；（2）

216= -45；（3）

1100a1a100b1b1200c1c=1；（4）2...22= -2(n-2)!。 ...n12. 设方阵A满足A2A3E0，证明A可逆，并求A22；A4E可逆，并求(A4E)。

1解  A2A3E0,A2A3E, A(A2E)E

31A可逆,且A1213(A2E)

A12A3E0(A4E)(A2E)E 515(A2E)

A4E可逆,且(A4E)1

3. 设A为3阶方阵，A解：3A(2A)*113，求行列式3A(2A)1*1的值，其中A为A的伴随矩阵。

*3|A|A12A112A1131131()|A| 28|A|82

线性代数练习题

124. 设n阶方阵A和B满足条件AABE，且已知A01111，求矩阵B。 001解：ABA2E

又A10，故A可逆

BA1(A2E)AA1

111001021101(AE)111010r 1-r2 011010r12r300r2r301001001001001(1)r3001121112021A1011111011000 ，则B10001001001000

235. 设A4110，且有关系式AXA2X，求矩阵X。 101解：(A2E)XA

22323A2E1101A2E1113 10112446XA2E1A3236 247或直接用初等行变换来求(A2E,A)(E,X).

0124126. 已知A340，B140XY，求X，Y使A1321523XY。 B112a37. 已知矩阵A2231410115的秩是3，求a的值。 23554101150115解：A~2231411112112a3~000132 a=2 23554000a203

011001100211 线性代数练习题

8. 设1(1,2,0),1(1,a2,3a),3(1,b2,a2b),(1,3,3),试讨论当a,b为何值时:

(1) 不能由1,2,3线性表示

(2) 可由1,2,3惟一地线性表示，并求出表示式

(3) 可由1,2,3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式

9. 设A为3阶方阵，又A1,2,3，且|A|5，再设B122,3143,52，求|B|. 10. 已知(1,2,3)，(1,1/2,1/3)，设A，则求A。

1T解：A213AnTTTTTTTTn1211323T121322 3113(T)n1

T11211323

312An1n1n1T33231322 3113

11220215的线性相关性，求它的秩和它的一个最，2，3，420311104001013 1011. 判别向量组1大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组表示。

21122101120215021501解：(1,2,3,4)~~20310011004000000110

r(1,2,3,4)3, 向量组的一个最大无关组为1,2,3 ， 41323

12. 讨论对于b的不同取值，向量组1(1,3,4,1)，2(1,4,5,b)，3(2,1,3,3)，

4(1,2,3,0)的秩，并求出对应该值的一个最大线性无关组。

13解：(1,2,3,4)41b2,b2,145b21331120~300011b1025501110~10001100255(2b)011

b20r(1,2,3,4)2, 向量组的一个最大无关组为1,2 r(1,2,3,4)3, 向量组的一个最大无关组为1,2,3

4

线性代数练习题

13. 已知向量组1，2，3线性无关，向量组11k2，223，33k1线性相关，求k值。

解： 由向量组1,2,3线性相关知，存在一组不全为零的数x1,x2,x3，使得

x11x22x330x1(1k2)x2(23)x3(3k1)0

(x1x3k)1(x1kx2)2(x2x3)30 1,2,3线性无关

1x1kx30kx1x20 齐次方程组有非零解，kxx0032011k001k120k1

x1x22x34x4014. 求齐次线性方程组3x1x26x32x40的基础解系。

x12x22x3x40ax1x2x3215. 讨论a取何值时，线性方程组x1ax2x32（1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解，

x2axx1231并求通解。

a1a2a11a(a1) 1解：A11(1) 当a1且a0时，方程组有惟一解 (2) 当a0时，方程组无解

(3) 当a1时，方程组有无穷多组解。通解为

x113xc012 （c为任意常数） x103

x1x22x34x4316. 求非齐次线性方程组3x1x26x32x43的通解。

x12x22x3x4117. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它的三个解向量，

4110且1，23，求该方程组的通解。

0122三、证明题

1． 设为n维列向量，1,HEn2，证明：H是对称的矩阵。

TT5

线性代数练习题

12． 设A11121x11x2y1x3y2y3，其中x1,x2,x3,y1,y2,y3为任意常数，证明A0。

223． 设A,B是n阶方阵，如果B可逆且满足AABB10，证明A和AB均可逆。

4． 如果AAE，证明A可逆并求A。

5． 设向量组1,2,3线性无关，11，2122，312233，证明1,2,3也线性无关。

证：设有数k1,k2,k3使得

k11k22k330，即

k11k2(122)k3(12233)0 (k1k2k3)1(2k22k3)23k330

因为1,2,3线性无关，所以

k1k2k302k22k30，齐次方程组只有零解，即k1k2k30 3k301,2,3线性无关

6． 设向量组1，2，┅，n线性相关，且它的任意n1个向量线性无关，证明向量组1，2，

┅，n中任一向量都可以由其余向量线性表示。

7． 设向量组1,2，┅，m是齐次线性方程Ax0的一个基础解系，向量不是Ax0的解，证

明：向量组,1,2,m线性无关。

8． 设是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,3是对应的齐次线性方程Ax0的基础解系，证明：

（1） ,1,2,3线性无关

（2） ,1,2,3线性无关

1．设矩阵A(aij)44,B(bij)44，且aij2bij，则行列式|B|（ ）. A. 24|A| B. 2|A| C. 244|A| D. 24|A|

2. 设有矩阵Amt,Btn,Cmn，则下列运算可行的是（ ）. A. ABC B. ATCB C. ABCT D. CBTA

3. 设e1(1,0,0),e2(0,1,0),e3(0,0,1),则( ).

A. (7,-1,3)可由e1,e2,e3线性表示 B. (7,-1,3)不能由e1,e2,e3线性表示 C. (0,0,0)不能由e1,e2,e3线性表示 D. (1,-1,1)不能由e1,e2,e3线性表示 4. 设n阶方阵A是奇异阵，则A中（ ）.

A. 必有一列元素为零 B. 必有两列元素对应成比例 C. 任意一列向量是其余列向量的线性组合

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线性代数练习题

D. 必有一列向量是其余列向量的线性组合

5. 设B是mn矩阵，若有矩阵A，C，使ABBC，则A的行数列数为（ ）. A. mn B. nm C. mm D. nn

6. 若A为n阶方阵且A2， 则 A1T（ ）.

A.

A2 B. 2A C. 2n1A D.

A2n1

7. 已知向量组1(1,2,1,1),2(2,0,k,0),3(0,4,5,2)的秩为2，则k =( ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3

2x1x2x308. 若齐次线性方程组x1kx2x30有非零解，则k必须满足（ ）.

kxxx0231A. k4 B. k1

C. k1且k4 D. k1或k4

9. 设A,B均为n阶矩阵，下列关系一定成立的是（ ）. A. (AB)AB B. (AB)222TAB C. |AB||A||B| D. |AB||BA|

*TT10. 设A为n阶方阵，且|A|a0，则|A|（ ）. A. a B.

1a C. an1 D. a

n11. 设向量组1,2,3线性无关，向量组2,3,4线性相关，则（ ）. A. 4未必能被2,3线性表示 B. 4必能被2,3线性表示 C. 1可被2,3,4线性表示 D. 以上全不对

a11a12a22a32a13a334a114a312a113a122a213a222a313a32a13a23 a3312. 若行列式Da21a31a231，则行列式D14a21（ ）.

A. 12 B. 12 C. 24 D. 24

13. 有矩阵A32,B23,C33，下列矩阵运算可行的是（ ）. A. AC B. ABC C. BAC D. ABBC

14. 设A,B均为4阶方阵，且|A|2,|B|2，则(ABA. 64 B. 32 C. 8 D. 16

215. 已知矩阵A42121a1，且r(A)2，则a( ). 11*1)A2T（ ）.

A. 1 B. 1 C. 0 D. 2

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线性代数练习题

16. 设1(1,0,1),2(0,1,0),3(0,0,1). 向量(1,1,0)可表示为1,2,3的线性组合:

a1b2c3, 则（ ）.

A. a1,b1,c1 B. a1,b1,c1

C. a1,b1,c1 D. a1,b1,c1

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