微分方程复习题

微分方程复习题

1、 求一曲线，使其经过原点，且在（x,y）处切线的斜率为2x+y。

2、 若y＝y(x)是yp(x)y0的解，

yy(x)是yp(x)yQ(x)的解，证明：

yc1y(x)y(x)是yp(x)yQ(x)的解。

3、 已知某曲线经过（1,1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求其方程。

2xxycece124、 写出以函数（其中c1,c2为任意常数）为通解的微分方程。

5、 求解微分方程

xyxe（1）xdx+2ydy=0 （2）（2x-y)dx+(2y-x)dy=0 （3）

（4）

d2y4y02dxyx03,yx042y1yy4yx1 （5） （6）

'2ytanxysecxx (9) yy0 y2nyky0（7） (8)

'2x2xy(10) (11) (2yx)dyydx0

2xydx(x1)dy0两边乘以f(y)后成为全微分方程，求f(y)。并求解该方程。 5、方程

x6、设可导函数(x)满足

(x)cosx2(t)sintdtx10，求(x)。

参考答案：

xy2x22e1、 4、yy2y0

12xy2C22xyxyC 25、（1） （2）

12x52xyeeyxe3eC1xC2xC322（3） （4）

xx2（5）

yC1C2e4xx1 （6）ylncos(xC1)C2

22r1,2nn2k2r2nrk0（7）特征方程 特征根

22讨论nk 大于零，等于零，小于零的三种情况，分别写出解的三种形式

yx112lnxCy(xC)xyCCe12tanx2（8） （9） （11）x2y

2xyf(y)dx(x1)f(y)dy0 f(y)5、方程两边同乘，得

PQPxyf(y)，Q(x21)f(y)，由yx，有xf(y)xyf'(y)2xf(y)

观察知，f(y)ky满足方程

22y(x1)c 解微分方程得

f(y)ky

6、(x)sinxCcosx