姓名：______________________
分数 1 2 3
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5 6 7 8 ___
这套试卷共8道题（25道小题，每小题4分）。此次考试为闭卷考试。不允许携带计算器。只有你的助教知道你的分数。 祝大家假期愉快。谢谢！
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1（a）为什么A的每一个特征向量或列空间C（A）中，或在零空间N（A）中？
（如果上面说法不对请说明理由。）
（b）由
的特征值的关系。 （c）设Ax=0，
求的特征值矩阵与特征向量矩阵，并说明A的特征值和
，试证明x与y正交。（提示：直接证明；或利用（a）子空
间的想法或利用（b）中的特征向量矩阵）。 请写出详细的证明过程。
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2（a）设A是一个对称矩阵。若将第3行减去3×第1行，而后再将第3列减去3×第1列，问：所得到的矩阵B还是对称的吗？回答是或不是，并说明理由。 （b）请写出一个特征值是1，2，4的对称正定矩阵（非对角矩阵）。
（c）如果可能的话，请写出一个特征值为1，2，4的非对称矩阵；如果可能，请写出一个特征值为1，2，4的秩为1的矩阵。
3
3.Gram-Schmidt正交化使A=QR（从具有线性无关列向量的矩阵A出发，得到一个列向量标准正交的矩阵Q和上三角矩阵R）。对于矩阵
有
（a） 证明主元是正的。对（b） 由
因此有A=QR。 （c）对向量
进行Gram-Schmidt正交化得到
。按A=QR写出结果。其中：
给出一组实数。
的列向量是标准正交的（如何检验？）。
进行一般（对称）消元将得到相同的Q,R。而对
证明矩阵
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4、Fibonacci数它的矩阵形式是
是 0，1，1，2，3，…且满足。
矩阵A的特征值为a和b。
(a) 求关于A的二次方程，且方程的解是a和b。 (b)求一特征值为(c)如果直接计算
和，得
的矩阵；求解是
和
的二次方程。
。
请猜测
的元素（包括Fibonacci数）。然后将
乘以A来证明你的猜测。并求
的行列式。
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5 设A是3×4矩阵，且它的行阶梯形是R:
（a） A的四个子空间是N(A)，C（A），N（且如果可能，请给出一组基。 （b） 问方程
），C（
），求每个子空间的维数，
何时有解？并求它的通解。
（c）求矩阵A(如果可能，使A中无零元素)，使得A的行阶梯形矩阵是R。
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6. 设A是3×3矩阵，给三个线性独立的向量
和
。
，将得到三个向量，
（a）求矩阵A（提示：按列将性独立的？
（b）A满足什么条件， (c)设=
，T（
）=
是一组输入基，
是
排成一个矩阵X）。为什么要求是线
的一组基？说明理由。 是一组输出基，求由T（
）=
，T（
）
所定义的线性变换T所对应的矩阵。
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7.
（a）求反对角矩阵
的特征值。
（b）求A的所有特征向量，并给出其性质。存在四个线性独立的特征向量吗？存在四个标准正交的特征向量吗？
（c）求rank(A+2I)。计算det(A+2I)。
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8. （a）若
是A(m×n矩阵)的奇异值分解，给出方程
的一个公式（公式要尽可能简单）。
的直线b=C+Dt所满足的方程组，设向
)在________________________中，这四个点在一条直线上。
中的任意向量都投影的最小二乘解
（b）写出过四点
量b=(
（c）设S是由m×n矩阵A的列向量所张成的子空间。P是将
到子空间S上的投影矩阵，试给出投影矩阵P的公式。说明这一公式从何而来，并证明矩阵A满足任何条件这个公式都成立。
（d）设x,y在A的行空间中，并且有Ax=Ay，证明：x-y在A的零空间中，从而证明 x=y。
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