湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题含答案

2020~2021学年度下学期部分重点中学期中考试

高二数学试卷

一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 下列说法错误的个数为：（ ）

①正态曲线关于直线x对称，这个曲线在x轴上方；

②当一定时，越大，正态曲线越“高瘦”；越小，正态曲线越“矮胖”； ③设有一个回归方程y35x，变量增加一个单位时，y平均增加5个单位； ④回归直线方程ybxax必过点x,y；

⑤将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

2. 已知随机变量服从正态分布N,2，若P(2)P(6)0.15，则P(24)等于（ ） A. 0.3

B. 0.35

C. 0.5

D. 0.7

3. 某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A. 24

B. 32

C. 48

D. 84

4. 为促进就业，提升经济活力，2020年我国多个城市开始松绑“地摊经济”，A市自大力发展“地摊经济”以来，夜市也火了起来，下表是A市2020年月份代码x与夜市的地摊摊位数y（单位：万个）的统计数据：

月份 月份代码x 摊位数y（万个） 4月 1 290 5月 2 330 6月 3 7月 4 440 8月 5 480 t 若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为y23050x，则表中t的值为（ ） A. 340 5. 设集合AB. 360

C. 380

D. 无法确定

x,yyxa，集合Bx,yy34xx2，若AB的概率为1，则a的

取值范围是（ ）

A. 122,122 B. 12,3

C. 1,122

D. 122,3

6. 在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在2021年5月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在5月份这段线路能正常工作

1

的概率为（ ）

A. 0.9676

B. 0.9982

C. 0.3136

D. 0.9674

7. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能为3分，2分，1分或0分），其中a,b0,1，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ） A.

1 6B.

1 12C.

1 24D.

1 328. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

数字 1 形式 纵式 横式 2 3 4 5 6 7 8 9 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ） A. 46

B. 44

C. 42

D. 40

二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，本题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（ ） A. E与G是互斥事件 C. F与G不是互斥事件 10. 若C8m1B. F与I是互斥事件，且是对立事件 D. G与I是互斥事件

3C8m，则m的取值可能是（ ）

2

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）

1 21B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是

61C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是

51D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

10A. 甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是

12. 袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ） A. X~B4, C. X的期望EX23

B. PX28 818 3D. X的方差DX8 9二、填空题：（共计20分，其中每题5分）

13. 已知随机变量~B36,p，且E12，则D43__________.

14. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设“取到的2个数之和为偶数”为事件A，“取到的2个数均为偶数”为事件B，则PBA__________.

15. 有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于__________.

8216. 已知(1x)a0a1xa2xaa7x7a8x8，集合Mxxi,xR(i,j{0,2,4,6,8})，

aj集合N1,0,1，则从M到N的函数个数是__________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.

217. 已知x展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

x（1）n的值；

（2）展开式中含x3的项.

n 3

18. 已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，他们综合评价成绩的频数分布列以及对“举办辩论赛”的赞成人数如表： 综合评价成绩（单位：分） 频数 赞成人数 40,50 5 4 50,60 10 8 60,70 15 12 70,80 10 4 80,90 5 3 90,100 5 1 （1）请根据以上统计数据填写下面22列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分为分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？

赞成 不赞成 合计 综合评价成绩小于80分的人数 综合评价成绩不小于80分的人数 合计 （2）若采用分层抽样在综合评价成绩在60,70，70,80的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在60,70的概率.

nadbc2参考公式：K，其中nabcd.

abcdacbd参考数据：

2PK2k0 k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 19. 一研学实践活动小组利用课余时间，对某公司1至5月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价x（单位：元）和月销售量y（单位：百件）之间的一组数据如下表所示：

月份i 月销售单价xi（元） 月销售量yi（百件） 1 1.6 10 2 1.8 8 3 2 7 4 2.2 6 5 2.4 4 （1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；

（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是1元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元，才能获得最大月利润？（注：利润＝销售收入－成本）

4

附：回归直线方程ybxa，其中bxynxyiii1nxi1n2inx2，aybx.

参考数据：

xyii15i67.2，xi220.4.

i15A1AC60，20. 三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，ABACAA1，BAC90，

M为AA1中点.

（1）证明：平面ABB1A1平面MBC； （2）求直线BC1与平面MBC所成角的正弦.

21. 2021年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间20,40，9:40~10:00记作40,60，10:00~10:20记作60,80，10:20~10:40记作80,100.例如：10点02分，记作时刻62.

（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

5

（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；

（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布N,2，其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:22之间通过的车辆数（结果保留到整数）.

参考数据：若T~N,2，则①PT0.6827； ②P2T20.9545；③P3T30.9973.

26x2y2122. 已知椭圆C：221ab0，点M在椭圆上，椭圆C的离心率为. ,13ab2（1）求椭圆的方程；

（2）设点A为椭圆长轴的左端点，P，Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP，AQ斜率分别为k1，k2，若k1k2说明理由

.

1，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请4参考答案

一、单选题 1-5：DBABD 二、多选题

9. BC 10. BC 11. ABC 12. ACD 三、填空题 13. 128 14. 四、解答题

17.【答案】（1）T3C(x)2nn26-8：ADB

121 15. 16. 2187 4512n62(2)x1nn32224Cx2n，

T2C(x)1nn1(2)x2Cx1，

2121依题意得4Cn2Cn162，∴2CnCn81，

6

∴n281，n9.

93r23r9rrr（2）设第r1项含x项，则Tr1C9(x)(2)C9x2，

xr∴

93r3，r1， 2123∴第二项为含x3的项：T22C9x18x.

18.【答案】（1）

赞成 不赞成 合计 2综合评价成绩小于80分的人数 28 12 40 综合评价成绩不小于80分的人数 4 6 10 合计 32 18 50 50(286412)23.1253.841， ∴K32184010故此不能推翻假设，不能认定成绩和态度有关.

（2）∵分层抽样，∴在60,70里面抽6个，70,80里面抽4个， 设A为没有人在60,70内的事件，则概率即为

3C429. P1P(A)13C103019.【答案】 解：（1）∵xn1.61.822.22.41087642，y7.

55∴bxynxyiii1nxi2nxi1267.25277，aybx77221.

20.454∴回归直线方程为y7x21.

（2）设该产品的月销售单价为x元，月利润为z百元，则

∵zx1y，∴z(x1)(7x21)7x28x217(x2)7.

22∴当x2时，zmax7（百元）.

∴该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利润为7百元.

7

20.【答案】

（1）∵平面ACC1A1平面ABC，且ABAC， ∴AB平面ACC1A1ABMC， 连接A1C，由AA1AC，A1AC60， ∴△A1AC是等边三角形，CMA1A， ∵CMAB，CMAA1，AA1∴CM平面ABB1A1，

而MC平面MBC，故平面ABB1A1平面MBC.

（2）取AC中点为O，△A1AC是等边三角形可知：A1O平面ABC，以O为原点，AB、OC、OA1方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2， 则A0,1,0，A10,0,3，B2,1,0，C0,1,0，

ABA，

13，， M0,,OC1OA1AC(0,0,3)(0,2,0)(0,2,3)C(0,2,3)11122设平面MBC的法向量为mx,y,z，

33mCM0z0y则， 222x2y0mBC0取x1，则m1,1,3，又BC12,3,3，

故所求线面角的正弦为：sincosm,BC1mBC1mBC12335. 5516

8

21.【答案】

（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为

(300.005500.015700.020900.010)2064，即10点04分.

（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中， 在10:00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在20,60这一区间内的车辆数， 即0.0050.01520104，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.

4031C6C4C6C481所以P(X0)，P(X1)， 44C1014C10212213C6C43C6C4， P(X2)4，P(X3)44C107C103504C6C1， P(X4)44C10210所以X的分布列如图所示：

X P 0 1 2 3 4 138 14721183418所以E(X)01234.

14217352105（3）由（1）可得64，

4 351 2102(3064)20.1(5064)20.3(7064)20.4(9064)20.2324，

估计在9:46-10:22这一时间段内通过的车辆数，也就是46T82通过的车辆数， 由T~N,2，得P(6418T6418)0.6827，

所以，估计在9:46-10:22这一时间段内通过的车辆数为10000.6827683（辆）. 22.【答案】

（1）因为椭圆过点M261且离心率为， ,132 9

813a2b21所以c1，所以解得a24x2y21a23； 222b2，所以椭圆方程为43abc（2）因为A2,0，设Px1,y1，Qx2,y2，当直线的斜率存在时，设直线PQ：ykxm， 因为ykxm，所以3x24y21234k2x28kmx4m2120， 所以x8km4m2121x234k2，x1x234k2， 又因为k1y1ykx1mkx22mkx1x2kmx1x2m21k24，所以

x2x1， 12x2212x22x1x22x1x2444k2m212k28k2m23m24k2m2所以4m21216km1216k214，所以m2mk2k20， 所以m2kmk0，所以m2k或mk，

当m2k时，PQ：ykx2，此时过点A2,0，不符合题意，舍去. 当mk时，PQ：ykx1，此时过定点1,0；

当直线的斜率不存在时，l33PQ：x1，所以P，Q坐标为1,2，1,2， 3所以kAPkAQ2321(2)1(2)14，满足要求， 综上可知：直线PQ过定点1,0.

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