2021年重庆八中中考数学模拟试卷(学生版+解析版)(5月份)

2021年重庆八中中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置. 1．（4分）下列各数中，最大的数为( ) A．1

B．0

C．

1 2D．1

2．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

3．（4分）下列各式中，计算正确的是( ) A．a3a2a

B．a2a3a6

C．a3a3a6

D．(a2)3a5

4．（4分）如图，在数轴上表示实数14的点可能是( )

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

5．（4分）下列说法正确的是( )

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．三个角都是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形

6．（4分）如图，已知AOB和△AOB是以点O为位似中心的位似图形，且AOB和△AOB面积之比为1:4，点B的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( )

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A．(4,2) B．(2,4) C．(1,4) D．(1,4)

7．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，C110，则BOD的度数为( )

A．140

B．70

C．80

D．60

8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为( ) 7x2y110A．

2x8y1107x2y110C．

2x8y1107x2y110B．

2x8y1107x2y110D．

2x8y1109．（4分）如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i12:5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39，则松树的高度AB约为( ) （参考数据：sin390.63，cos390.78，tan390.81)

A．16.8米

B．28.8米

C．40.8米

D．64.2米

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x1x110．（4分）若整数a是使得关于x的不等式组642有且只有2个整数解，且使得且

6xa52y3a1关于y的分式方程a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为( )

y11yA．6 B．5 C．4 D．3

11．（4分）有一个进水管和一个出水管的容器，从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的20分钟内既进水又出水，在第25分钟开始只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内水量(L)与时间(min)之间的函数关系如图所示，求在第33分钟时，容器内剩余水量为( )

A．8

B．10

C．12

D．14

12．（4分）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE//y轴，且E为OC的四等分点k(OEEC)，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y(k0)的图象经过D、

xE两点，若DEC的面积为3，则k的值为( )

A．

27 4B．7 C．

27 2D．

27 7二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13．（4分）计算：30|3| ．

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14．（4分）2019年8月27日，支付宝蚂蚁森林上线3周年，根据《互联网平台背景下公众低碳生活方式研究报告》显示，上线到2019年8月，蚂蚁森林上5亿用户累计碳减排7920000吨，将数字7920000用科学记数法表示为 ．

15．（4分）在一个不透明的纸箱内装有三张形状、质地、大小完全相同的卡片，三张卡片分别标有1、1、2三个数字，甲抽取一张卡片数字记为a，放回后，乙再抽取一张卡片数字记为b，两次抽取完毕后，直线yax与反比例函数y为 ．

16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC23，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．

b的图象经过的象限相同的概率x

17．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC90．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将CED沿ED翻折，得到EDC，连接AC，若DCAB，AC2，BC．则ABC的面积为 ．

18．（4分）清明小长假，重庆迎来了很多游客．除了解放碑，磁器口，洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料，陈麻花和合川桃片也成为了炙手可热的伴手礼．根据游客的喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；平安福袋中有1袋火锅底料，2袋陈麻花，3盒合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元，利润率为20%，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍．小长假期间，由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋，工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了1000元，则当日卖出福袋的实际总成本为 元．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演

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算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

19．（10分）化简：

（1）(x4)(x4)x(x3)；

x23xx2x6（2）2(2)1．

x9x320．（10分）如图，在矩形ABCD中，AOOC．

（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论） AF，CE．

（2）求证：四边形AFCE是菱形．

21．（10分）森林火灾是森林最危险的敌人，也是林业最可怕的灾害，它会给森林带来最有害、最具有毁灭性的后果．某林业局到校宣传森林防火知识后，为了解学生对防火宣传知识的掌握情况，从初一年级和初三年级各随机抽取了100名学生进行防火知识测试，这些学生的测试成绩记为x（百分制）．对数据进行了收集与整理：

a．90x100，80x90，70x80，60x70，数据分成5组，A组：C组：B组：D组：

E组：50x60，其中90分以上为优秀．

初一年级被抽取的学生成绩统计表和初三年级被抽取的学生成绩扇形统计图如下： 初一成绩 划记 正正正正正正正正正正正 正一 正 100 人数 90x100 80x90 70x80 60x70 50x60 合计 p 37 23 6 5 100 （初一年级被抽取的学生成绩统计表）

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b．初三年级被抽取的学生成绩在70x80这一组的具体分数如下：

70，71，71，71.5，72，73，73.5，74，74，74，74.5，74.5，75，75.5，75.5，76，76，77，78，79．

c．初一年级和初三年级学生成绩的平均数、中位数、众数统计如下：

初一年级 初三年级 平均数（分) 82.5 77 中位数（分) 89 n 众数（分) 83 81 数据分析根据以上信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图B组对应的圆心角为 ，中位数n ；

（2）通过以上的数据分析，你认为初一年级的学生和初三年级的学生哪个年级学生掌握森林防火知识更好，请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若该校初一年级有1000人，初三年级学生有800名，请估计初一年级和初三年级森林防火知识掌握优秀的学生共有多少人？

22．（10分）根据我们学习函数的过程与方法，对函数yx2bx2c|x1|的图象和性质进行探究，已知该函数图象经过(1,2)与(2,1)两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表：

x 4 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 y 2 1 （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ．

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（3）结合你所画的图象与函数yx的图象，直接写出x2bx2c|x1|x的解集 ． 23．（10分）随着天气逐渐变暖，周末期间有更多的人选择出门游玩，重庆某景点的儿童票销量是成人票销量的3倍，且儿童票的价格为70元，成人票的价格为120元．

（1）若该景点3月份儿童票和成人票的总销售额不低于26.4万元，则3月份的售出的儿童票至少多少张？

（2）由于4月份天气变暖，外出游玩的人有所增加，景区对价格进行了调整，4月份儿童5票销量比3月份儿童票最低销量增长了15a%，4月份儿童票价格比3月份降低了a%，4

85月份成人票销量比3月份成人票的最低销量相等，且价格比3月份降低了a%．最终该景

4区4月份儿童票和成人票的销售额比3月份的最低销售额增加了

15a%，求a的值． 224．（10分）“火星数”是指一个数等于其各数位数字之和的19倍的正整数，如，其中当11419(114)．任意一个自然数m，若mab(ab，a、b为正整数）大时，我们称之为m的“最佳分解”，并规定在“最佳分解”时，H(m)12a122可以为，，因为，所以H（5）．

43b433a最ba，如51423．则b（1）判断133和153是否为“火星数”请说明理由．

（2）若一个三位自然数p20010bc(0b9，0c9，b、c为整数）为“火星数”，求H(p)的最小值．

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25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx3的图象经过点(2,3)，与x轴分别交于点A、点B(1,0)，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，过点B作BM//AC交抛物线于点M，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PB交AC于点N，连接PM，NM，当SPNM取得最大值时，求点P的坐标和SPNM最大值；

（3）如图2，将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y与原抛物线相交于点E，点F为原抛物线上对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出Q点坐标．

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.

26．（8分）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形． （1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积； （2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；

（3）如图3，若AB//CD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB62，AD42，tanABC2时，求CQ10BQ的最小值． 10第8页（共35页）

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2021年重庆八中中考数学模拟试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将正确答案的代号填涂在答题卡上的相应位置. 1．（4分）下列各数中，最大的数为( ) A．1

B．0 C．

12 【解答】解：因为10121， 所以其中最大的数为1． 故选：D．

2．（4分）下列4个图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

3．（4分）下列各式中，计算正确的是( ) A．a3a2a

B．a2a3a6

C．a3a3a6

【解答】解：A、a3a2a，故本选项符合题意；

B、a2a3a5，故本选项不合题意；

C、a3a32a3，故本选项不合题意；

D、(a2)3a6，故本选项不合题意；

故选：A．

4．（4分）如图，在数轴上表示实数14的点可能是( )

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D．1

D．

D．(a2)3a5

A．点M B．点N C．点P D．点Q

【解答】解：12.251416， 3.5144，

在数轴上表示实数14的点可能是点P．

故选：C．

5．（4分）下列说法正确的是( )

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．三个角都是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形

【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；

C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；

D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．

故选：C．

6．（4分）如图，已知AOB和△AOB是以点O为位似中心的位似图形，且AOB和△AOB面积之比为1:4，点B的坐标为(1,2)，则点B的坐标为( )

A．(4,2)

B．(2,4)

C．(1,4)

D．(1,4)

【解答】解：AOB和△AOB是以点O为位似中心的位似图形， AOB∽△AOB，

AOB和△AOB面积之比为1:4，

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AOB和△AOB相似比为1:2，

点B的坐标为(1,2)，

点B的坐标为(1(2)，2(2))，即(2,4)，

故选：B．

7．（4分）如图，在圆内接四边形ABCD中，C110，则BOD的度数为( )

A．140

B．70

C．80

D．60

【解答】解：由圆内接四边形的性质可知，AC180， A180C70，

由圆周角定理得，BOD2A140， 故选：A．

8．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？其意思为：现有七捆上等稻子和两捆下等稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为( ) 7x2y110A．

2x8y1107x2y110C．

2x8y1107x2y110【解答】解：依题意得：．

2x8y1107x2y110B．

2x8y1107x2y110D．

2x8y110故选：C．

9．（4分）如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i12:5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树

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顶端点A的仰角为39，则松树的高度AB约为( ) （参考数据：sin390.63，cos390.78，tan390.81)

A．16.8米

B．28.8米

C．40.8米

D．64.2米

【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，作EFAH于F， 则四边形EDHF为矩形，

FHDE12米，EFDH，

斜坡CB的坡度为t12:5，

设BH12x，CH5x，

由勾股定理得，(5x)2(12x)2522， 解得，x4，

则BH12x48米，CH5x20米， 则EFDHDCCH602080（米)， 在RtAEF中，tanAEFAF， EF则AFEFtanAEF800.8164.8（米)， ABAFHFBH64.8124828.8（米)，

故选：B．

x1x110．（4分）若整数a是使得关于x的不等式组642有且只有2个整数解，且使得且

6xa52y3a1a有非负数解，则所有满足条件的整数a的个数为( ) 关于y的分式方程

y11y第13页（共35页）

A．6 B．5 C．4 D．3

x1x1x4



【解答】解：解不等式组642，得5a，

x66xa5不等式组有且只有2个整数解，即x2，3； 15a2， 6解得：1a7． 分式方程解得，y

2y3a1a， y11y2， a2220且1， a2a2a2且a4．

2a7且a4．

a为整数，

a3，5，6，7．

故选：C．

11．（4分）有一个进水管和一个出水管的容器，从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的20分钟内既进水又出水，在第25分钟开始只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内水量(L)与时间(min)之间的函数关系如图所示，求在第33分钟时，容器内剩余水量为( )

A．8

B．10

C．12

D．14

【解答】解：当5x25时，设ykxb， 5kb30将(5,30)，(15,40)代入得，

15kb40第14页（共35页）

k1解得：，

b25故yx25，

当x25时，设y252550， 当25x35时，设yk1xb1， 25kb50将(25,50)，(35,0)代入11，

35kb011k5解得：1，

b1751故y5x175，

当x33时，设y53317510， 故选：B．

12．（4分）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE//y轴，且E为OC的四等分点k(OEEC)，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y(k0)的图象经过D、

xE两点，若DEC的面积为3，则k的值为( )

A．

27 4B．7 C．

27 2D．

27 7【解答】解：过点D作DF//x轴，交BE于点F，交y轴于点G， 延长BE交x轴于点H，连接OD，

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E为OC的四等分点(OEEC)，DEC的面积为3，

DEO的面积为9，

BE//y轴，

四边形BMOE是平行四边形，

BMOE，

AMEC1AB， 4D为AB中点，

1DMECOE，

3由平行四边形得，OEHEBMDMG，OHEDGM90， OHE∽DGM，



DGDM1， OHOE3kk设D点坐标为(a,)，则E点坐标为(3a,)，

a3aSODE3ak1k1k1kka3a(3aa)()， a2a23a2a3a1123kkkk9，

223解得：k27， 4故选：A．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

13．（4分）计算：30|3| 2 ． 【解答】解：原式1(3)

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13 2．

故答案为：2．

14．（4分）2019年8月27日，支付宝蚂蚁森林上线3周年，根据《互联网平台背景下公众低碳生活方式研究报告》显示，上线到2019年8月，蚂蚁森林上5亿用户累计碳减排7920000吨，将数字7920000用科学记数法表示为 7.92106 ． 【解答】解：79200007.92106． 故答案为：7.92106．

15．（4分）在一个不透明的纸箱内装有三张形状、质地、大小完全相同的卡片，三张卡片分别标有1、1、2三个数字，甲抽取一张卡片数字记为a，放回后，乙再抽取一张卡片数字记为b，两次抽取完毕后，直线yax与反比例函数y为

5 ． 9b的图象经过的象限相同的概率x【解答】解：列表如下：

总共有9种情况，每种情况出现的可能性相同，直线yax与反比例函数y的象限相同的结果有5种：

(1,1)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，

直线yax与反比例函数yb的图象经过xb5的图象经过的象限相同的概率为， x95故答案为：．

916．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC23，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为

1 ． 3

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【解答】解：连接BE，过E作EHBC于H， 在矩形ABCD中，ABC90，AB2，BC23， tanBACBC3， ABBAC60，

BABE，

ABE是等边三角形，

ABE60， EBH30，

EH1BE1， 2S阴S扇形BAESBCESABES扇形BEF1故答案为．

36022113022123123，

360223603

17．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ABC90．点E是BC上的一点，D为AC中点，连接ED，将CED沿ED翻折，得到EDC，连接AC，若DCAB，AC2，BC．则ABC的面积为 422 ．

【解答】解：如图，

等腰直角三角形ABC中，ABC90，D为AC中点， BDAC，BDCDDA，

又DCAB，

DC垂直平分AB，

即BFFA，ADF是等腰直角三角形，

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由折叠得，CDCD，

设AFx，则AB2x，AD2x，FCDCDF(21)x， 在RtAFC中，由勾股定理得， AC2FC2AF2，

即，22[(21)x]2x2， 解得，x222， SABC11ABAB2x2x2x2422， 22故答案为：422．

18．（4分）清明小长假，重庆迎来了很多游客．除了解放碑，磁器口，洪崖洞等景点以外，美味的火锅底料，陈麻花和合川桃片也成为了炙手可热的伴手礼．根据游客的喜好，现推出踏青福袋和平安福袋两种包装，踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花；平安福袋中有1袋火锅底料，2袋陈麻花，3盒合川桃片，两种福袋的成本价分别为袋中物品的成本价之和，已知踏青福袋每袋的售价为96元，利润率为20%，每袋陈麻花的成本是每盒合川桃片的成本价的3倍．小长假期间，由于客流量较大，一天就卖出两种福袋共计156袋，工作人员在核算当日卖出福袋总成本的时候把火锅底料和麻花的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出福袋的实际总成本比核算时的总成本少了1000元，则当日卖出福袋的实际总成本为 11480 元．

【解答】解：设踏青福袋成本价格a元，根据题意得 96a20%a，

解得a80，

踏青福袋中有2袋火锅底料，2袋陈麻花，

2袋火锅底料和2袋陈麻花的成本价格为80元，

1袋火锅底料和1袋陈麻花的成本价格为40元，

1设一袋火锅底料成本x元，一袋陈麻花成本(40x)元，则1盒合川桃片成本价为(40x)3第19页（共35页）

元，

踏青福袋m袋，B种礼盒n袋， 根据题意得mn156，

1180mn[x2(40x)3(40x)]100080mn[(40x2x3(40x)]，

33xn20n500，

设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有 1w80mxn2n(40x)n(40x)

380(mn)1000 801561000 11480．

故答案为：11480．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

19．（10分）化简：

（1）(x4)(x4)x(x3)；

x23xx2x6（2）2(2)1．

x9x3【解答】解：（1）原式x216x23x 3x16．

x(x3)x2x62x6（2）原式1

(x3)(x3)x3x(x3)x31

(x3)(x3)x(x3)11 x3x2． x320．（10分）如图，在矩形ABCD中，AOOC．

（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论） AF，CE．

（2）求证：四边形AFCE是菱形．

第20页（共35页）

【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）四边形ABCD是矩形， AD//BC， EAOFCO， AC的中点是O， OAOC，

在EOA和FOC中， AOECOF， AOCOEAOFCOEOAFOC(ASA)， OEOF，

四边形AFCE是平行四边形，

EFAC，

四边形AFCE是菱形．

21．（10分）森林火灾是森林最危险的敌人，也是林业最可怕的灾害，它会给森林带来最有害、最具有毁灭性的后果．某林业局到校宣传森林防火知识后，为了解学生对防火宣传知识

第21页（共35页）

的掌握情况，从初一年级和初三年级各随机抽取了100名学生进行防火知识测试，这些学生的测试成绩记为x（百分制）．对数据进行了收集与整理：

a．数据分成5组，A组：90x100，80x90，70x80，60x70，C组：B组：D组：

E组：50x60，其中90分以上为优秀．

初一年级被抽取的学生成绩统计表和初三年级被抽取的学生成绩扇形统计图如下： 初一成绩 划记 正正正正正正正正正正正 正一 正 100 人数 90x100 80x90 70x80 60x70 50x60 合计 p 37 23 6 5 100 （初一年级被抽取的学生成绩统计表）

b．初三年级被抽取的学生成绩在70x80这一组的具体分数如下：

70，71，71，71.5，72，73，73.5，74，74，74，74.5，74.5，75，75.5，75.5，76，76，77，78，79．

c．初一年级和初三年级学生成绩的平均数、中位数、众数统计如下：

初一年级 初三年级 平均数（分) 82.5 77 中位数（分) 89 n 众数（分) 83 81 数据分析根据以上信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图B组对应的圆心角为 90 ，中位数n ；

（2）通过以上的数据分析，你认为初一年级的学生和初三年级的学生哪个年级学生掌握森林防火知识更好，请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若该校初一年级有1000人，初三年级学生有800名，请估计初一年级和初三年级森林防火知识掌握优秀的学生共有多少人？

第22页（共35页）

【解答】解：（1）初三学生C组人数为：20，

B组人数为：10020100(21%24%10%)25，

扇形统计图B组对应的圆心角为：360中位数n(71.572)271.75， 故答案为：90，71.75；

（2）初一年级的学生掌握森林防火知识更好，

理由：初一成绩的平均数大于初三成绩的平均数，故初一年级的学生掌握森林防火知识更好； （3）初一A组的学生有：10037236529（人)， 10002980021% 1002590， 100290168 458（人)，

即初一年级和初三年级森林防火知识掌握优秀的学生共有458人．

22．（10分）根据我们学习函数的过程与方法，对函数yx2bx2c|x1|的图象和性质进行探究，已知该函数图象经过(1,2)与(2,1)两点，

（1）该函数的解析式为 yx2x23|x1| ，补全下表：

x 4 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 y 2 1 （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ．

第23页（共35页）

（3）结合你所画的图象与函数yx的图象，直接写出x2bx2c|x1|x的解集 ． 【解答】解：（1）该函数yx2bx2c|x1|的图象经过(1,2)与(2,1)两点， 21b22c，

142b2cb1， c3yx2x23|x1|，

2x4时，y(4)423|41|1642157，

x0时，y0023|01|1，

故答案为：yx2x23|x1|，7，0，1；

（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，如图，

第24页（共35页）

由图象得这个函数的一条性质：函数有最小值，无最大值；

（3）由（2）中画的图象与函数yx的图象，x2bx2c|x1|x的解集为1.5x0.5或1.5x3.5．

故答案为：1.5x0.5或1.5x3.5．

23．（10分）随着天气逐渐变暖，周末期间有更多的人选择出门游玩，重庆某景点的儿童票销量是成人票销量的3倍，且儿童票的价格为70元，成人票的价格为120元．

（1）若该景点3月份儿童票和成人票的总销售额不低于26.4万元，则3月份的售出的儿童票至少多少张？

（2）由于4月份天气变暖，外出游玩的人有所增加，景区对价格进行了调整，4月份儿童5票销量比3月份儿童票最低销量增长了15a%，4月份儿童票价格比3月份降低了a%，4

85月份成人票销量比3月份成人票的最低销量相等，且价格比3月份降低了a%．最终该景

4区4月份儿童票和成人票的销售额比3月份的最低销售额增加了

15a%，求a的值． 21【解答】解：（1）设3月份售出儿童票x张，则售出成人票x张，

31依题意得：70x120x264000，

3解得：x2400．

答：3月份至少售出儿童票2400张．

第25页（共35页）

55115（2）依题意得：70(1a%)2400(115a%)120(1a%)2400264000(1a%)，

8432整理得：3150a157.5a20，

解得：a120，a20（不合题意，舍去）． 答：a的值为20．

24．（10分）“火星数”是指一个数等于其各数位数字之和的19倍的正整数，如，其中当11419(114)．任意一个自然数m，若mab(ab，a、b为正整数）大时，我们称之为m的“最佳分解”，并规定在“最佳分解”时，H(m)12a122可以为，，因为，所以H（5）．

43b433a最ba，如51423．则b（1）判断133和153是否为“火星数”请说明理由．

（2）若一个三位自然数p20010bc(0b9，0c9，b、c为整数）为“火星数”，求H(p)的最小值．

【解答】解：（1）19(133)133，19(153)171153， ，153不是“火星数”． 133是“火星数”

（2）三位自然数p20010bc(0b9，0c9，b、c为整数）为“火星数”， p20010bc19(2bc)， b2c18；

当b0时，c9，209104105，是p的“最佳分解”，此时H(p)104； 105当b2时，c8，228114114，是p的“最佳分解”，此时H(p)1； 当b4时，c7，247123124，是p的“最佳分解”，此时H(p)123； 124当b6时，c6，266133133，是p的“最佳分解”，此时H(p)1； 当b8时，c5，285142143，是p的“最佳分解”，此时H(p)1041231421， 105124143142； 143H(p)的最小值

104． 10525．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx3的图象经过点(2,3)，与x轴分别交于点A、点B(1,0)，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

第26页（共35页）

（2）如图1，过点B作BM//AC交抛物线于点M，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PB交AC于点N，连接PM，NM，当SPNM取得最大值时，求点P的坐标和SPNM最大值；

（3）如图2，将该抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线y与原抛物线相交于点E，点F为原抛物线上对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出Q点坐标．

【解答】解：（1）抛物线yax2bx3的图象经过点(2,3)和点B(1,0)， 4a2b33，

ab30a1解得：，

b2抛物线的解析式为yx22x3；

（2）过点P作PFBM交BM于点F，过点N作NEBM交BM于点E，直线BM与y轴交于点G，过点G作GHAC于点H，

在yx22x3中，令y0，得x22x30， 解得：x13，x21， B(1,0)， A(3,0)，

令x0，得y3， C(0,3)，

第27页（共35页）

OAOC3， ACOCAO45，

设直线AC解析式为ykxb，将A(3,0)，C(0,3)代入， 3kb0得：，

b3k1解得：，

b3直线AC解析式为yx3，

过点B作BM//AC，

设直线BM的解析式为yxm，将B(1,0)代入， 得：1m0， 解得：m1，

直线BM的解析式为yx1，

当x0时，y1， G(0,1)， CG4，

sinACOsin45，



GH2， CG2GH22，

NEBN，GHAC，BM//AC，

四边形NEGH是矩形，

NEGH22，

BM与抛物线交于点M，

x1x22x3，

解得：x14，x21， B(1,0)，

点M的横坐标为4，

y415，

第28页（共35页）

M(4,5)，

BM[4(1)]2(5)252，

SPNMSPBMSBNM11BMPFBMNE， 22当PF取最大值时，SPNM最大，

作直线QR，使QR//AC，直线QR与y轴交于点Q，

设直线QR为：yxn，当直线QR与抛物线只有一个交点时，PF取最大值， xnx22x3，即x23xn30，

当△(3)24(n3)0时， 得：n21， 421， 4直线QR为：yx当x0时，y2521，即QG，

44PF取最大值225252， 2482521112545， 525222102828821yx联立QR和抛物线解析式，得：， 42yx2x3SPNM最大值SPBMSBNM3xx122解得：，

15yy124315P(，)；

24（3）如图2，抛物线yx22x3(x1)24， 将抛物线y向左平移1个单位长度得到抛物线yx24， 115E(，)，

24C(0,3)，

11513， CE(0)2(3)2244以F、C、E、Q为顶点的四边形为矩形，

第29页（共35页）

分三种情况：矩形ECFQ或矩形ECQF或矩形EQCF，

①矩形ECQF时，设点F(1,m)，过点E作直线MNy轴于点M，交抛物线y的对称轴于点N，

CEFQ为矩形， CEF90， CMEENF90，

MCECEMCEMFEN90， MCEFEN， MCENEF，



EMNF，即：MCNFEMEN， MCENMC115313，EM，EN，

2442

311NF， 4221NF，

3F(1,41)， 12CE//FQ，且CEFQ， 18Q(，)；

23②矩形ECFQ时，过点E作EMy轴于点M，过点F作FNy轴于点N， CMECNFECF90， ECMFCNFCNCFN90， ECMCFN， ECM∽CFN，



EMCN，即CMCNEMFN， CMFN31CN1， 422， 3CN7F(1,)，

3CE//FQ，且CEFQ，

第30页（共35页）

337Q(，)；

212③矩形EQCF时，CE131，FQ1， 4不可能构成矩形，这种情况不存在．

18337综上所述，Q(，)或(，)．

23212

第31页（共35页）

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.

26．（8分）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，ADE为等边三角形． （1）若点E为BD的中点，AD4，CD5，求BCE的面积； （2）如图2，若BCCD，点F为CD的中点，求证：AB2AF；

（3）如图3，若AB//CD，BAD90，点P为四边形ABCD内一点，且APD90，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB62，AD42，tanABC2时，求CQ10BQ的最小值． 10【解答】（1）解：如图1中，过点C作CHBD于H，设EHx．

ADE是等边三角形，

ADDE4，AEDCEH60，

CHE90，

CEEHtan603x，

CD2CH2DH2，

253x2(x4)2， 4x28x90

第32页（共35页）

x213213或（舍弃）， 223923， 2CH13923SBEC43923．

22

（2）证明：如图2中，延长AF到G，使得FGAF，连接DG，CG，延长GC交BD于

T，过点C作CHBD于H．

AFFG，CFFD，

四边形ACGD是平行四边形，

AC//DG，GC//AD， CADADG180，

ADE是等边三角形，

AEAD，AEDADEEAD60，

AEBADG120， CGDEAD60GDT， DGT是等边三角形，

DGDT，CTECET60， CET是等边三角形，

CTCE，CTECET60， CBCD，CHBD，

第33页（共35页）

BHDH，THEH， BTDE，

BEDTDH，

AEBADH(SAS)，

ABAH2AF．

（3）解：如图3中，取AD的中点O，连接OP，OB，OC，取OB的中点J，连接QJ，CJ，过点C作CFAB于F，在JB上取一点T，使得JT5，连接QT，TC． 5

AB//CD，BAD90， ADC90， CFAB， CFA90，

四边形AFCD是矩形，

ADCF42，

tanCBACF2， BFBF22， AB62， AF42，

ADAF，

四边形AFCD是正方形，

BCBF2CF2(22)2(42)2210第34页（共35页）

，

COOD2CD2(22)2(42)2210，OBOA2AB245， CBCO，

CFCD，CFBCDO90，

RtCFBRtCDO(HL)， BCFDCO， BCODCF90， BJJO，

1CJOB25，

2CTTJ2CJ2(52505)(25)2， 55BQQP，BJJO， 1QJOP2，

2QJ22，TJJBQJ2JTJB，



5252， 5QJJB， JTQJQJTQJB， QJT∽BJQ， 5QTJT10， 5BQJQ102QTCQCQ10BQ， 1010505， BQCQQTCT10510505． BQ的最小值为105第35页（共35页）