2020-2021学年四川省达州市高一第一学期期末数学试题【解析版】

2020-2021学年四川省达州市高一第一学期期末数学试题【含

解析】

一、单选题

1．若集合M0,1,3，N1,2,4，则集合MN（ ） A．2,3 【答案】D

【分析】利用并集定义直接运算即可.

【详解】集合M0,1,3，N1,2,4，故集合M故选：D.

2．己知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为

B．1,3,4

C．1,2,3,4

D．0,1,2,3,4

N0,1,2,3,4.

341的圆相交于点则A,，则tan（ ）

55A．

3 4B．

4 3C．3 4D．4 3【答案】B

【分析】由三角函数的定义即可求解.

34A【详解】由题意可得：角的终边与单位圆的交点为,，

55所以x，y354， 54y45tan所以，

3x35故选：B.

3．如果幂函数fxx的图象经过点9,3，那么a的值是（ ）

aA．2 【答案】D

B．2

C．1 2D．

1 2【分析】将点9,3代入fxx即可求解.

a【详解】将点9,3代入fxx可得39a，即332a，可得：2a1，

a

解得：a故选：D 4．若sin1， 21，则cos（ ）

633B．

A． 【答案】A

131 3C．22 3D．

22 3【分析】观察所求角和已知角可得cos式即可求解. 【详解】因为cos，再利用诱导公236， 632所以cos故选：A.

1cossin， 2363315．函数f(x)2x1的图像大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数经过1,1排除AC，根据函数单调性区分BD得到答案.

1【详解】f(x)2x1，当x1时，y1，排除AC.

1当x1时，f(x)2故选：B

x1单调递减，排除D.

6．若向量a1,5，b1,1，则向量a2b与ab的夹角等于（ ） A．π 4B．

π 6C．

π 4D．

3π 4【答案】C

【分析】先利用坐标运算计算向量a2b与ab的坐标，再根据向量积的定义式求解夹角的余弦值，即得结果.

【详解】向量a1,5，b1,1，则a2b3,3，ab0,6， 故a2bab303618，a2b32,ab6,

则向量a2ba2bab与ab的夹角满足cosa2bab182，23260,，

故4.

故选：C.

7．下列函数中，既是偶函数，又在,0上是增函数的是（ ） A．fx22 B．fxx3

xx2C．fx2lnx

【答案】C

D．fxxcos3x

【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B错误，C正确即可.

【详解】选项A中，fx22，定义域R，

xxfx2x2x2x2xfx，则fx是奇函数，不符合题意；

选项D中，fxxcos3x，定义域R，fxxcos3xxcos3xfx，则fx是奇函数，不符合题意；

选项B中，fxx3，定义域R，fxx3x23fx，则fx22

是偶函数，但二次函数fxx3在在,0上是减函数，在0,上是增函数，

2故不符合题意；

选项C中，fx2lnx，定义域为,00,，

fx2lnx2lnxfx，则fx是偶函数.当x0,时，fx2lnx是减函数，所以由偶函数图象关于y轴对称可知，fx在,0上

是增函数，故符合题意. 故选：C.

【点睛】方法点睛：

定义法判断函数f(x)奇偶性的方法： （1）确定定义域关于原点对称； （2）计算f(x)；

（3）判断f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；若

f(x)f(x)，则f(x)是奇函数；若两者均不成立，则f(x)是非奇非偶函数.

8．函数fxlnx2x3的单调递增区间是（ ）

2A．.1 【答案】D

B．,1

C．1,

D．3,

【分析】先由x22x30求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由x22x30可得x3x10，解得：x3或x1， 所以函数fxlnx2x3的定义域为,123,，

因为fxlnx2x3是由ylnt和tx22x3复合而成，

2因为ylnt在定义域内单调递增，

tx22x3对称轴为x1，开口向上，

所以tx22x3在,1单调递减，在3,单调递增， 根据复合函数同增异减可得：

fxlnx22x3在,1单调递减，在3,单调递增，

所以函数fxlnx2x3的单调递增区间是3,，

2

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是先计算函数的定义域，外层函数单调递增，只需求二次函数在定义域内的增区间即可. 9．己知函数fxsinππx，若对任意xR都有fx1fxfx2成立，

42那么x1x2的最小值为（ ） A．1 【答案】B

【分析】由题意可得fx1、fx2分别是函数fxsinB．2

C．3

D．4

ππx的最小值和最大

42值，结合正弦函数的图象可得x1x2的最小值为半个周期，即可求解.

2πT4π【详解】由fxsinx可得周期，

422若对任意xR都有fx1fxfx2成立， 所以fx1、fx2分别是函数fxsin由正弦函数的图象可知：

ππx的最小值和最大值，

42x1x2的最小值为

故选：B

T42. 22【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找到题中恒成立的等价条件即为fx1、

fx2分别是函数fx的最小值和最大值.

10．己知如图，在平行四边形ABCD中，BADπ，AD2AB4，BE3EC，3F，G分别是线段CD与BC的中点，则AEFG（ ）

A．

9 29B．

2C．5

D．4

【答案】B

【分析】将AE和FG用AD和AB表示，结合AD2AB4和BAD解.

【详解】AEABBEABπ即可求333BCABAD， 441111FGFCCGDCCBABAD，

222222311311AEFGABADABADABABADAD

428822113192224cos604226， 28822故选：B.

11．将函数ysinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的曲线向右平移

1，再将所得到的2π个单位，得到曲线，则曲线M是（ ） 6A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据题意进行图象变换得到曲线M对应的函数解析式，再根据解析式判断特殊点对应横坐标，即判断出对应图象.

【详解】依题意，将函数ysinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，2得到ysin2x，再将图象向右平移即曲线M对应的函数解析式.

ππ个单位，得到ysin2xsin2x，

636ππ令2x0解得x，得到关键点,0；

366令2x32解得x5π5π,1，故选项A中图象正确. ，得到关键点1212故选：A.

12．函数fxsinxlnx0只有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A．0,π 【答案】C

【分析】函数fxsinxlnx0只有一个零点，等价于ysinx与

B．5π,π 2eC．0,5π 2eD．5π,+ 2eylnx图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解.

【详解】函数fxsinxlnx0只有一个零点， 可得sinxlnx0只有一个实根，

等价于ysinx与ylnx图象只有一个交点， 作出两个函数的图象如图所示，

由ysinx可得其周期T2，

当xe时，ylne1

5,1 ysinx最高点A2551，即e， 2255解得：，又因为0，所以0，

2e2e所以若恰有一个交点，只需要ln故选：C

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

13．已知向量a与b不共线，向量manb与2ab共线，则【答案】2

m_____________． nm2manb2ab ，即可求解. 【分析】由平面向量共线定理可得可得n【详解】因为向量manb与2ab共线，所以manb2ab，

m2m22， 即，所以nn故答案为：2.

14．己知角为第二象限角，化简：【答案】1

【分析】利用同角三角函数基本关系的平方关系化简即可求解. 【详解】因为角为第二象限角，所以sin0，cos0，

sin2cos1sin2sincos21cos2__________________．

sin2cossin2cossincos2 22cossin1sin1cossincos2

sin2cossincos2sin2cos2

cossinsin2cos21，

故答案为：1.

15．若关于x的方程x22axa210的两根分别在区间,1，1,0内，则实数a的取值范围为______________________． 【答案】2a1

【分析】先求出方程的对应两根xa1或xa1，且a1a1，可得a11且1a10，即可求解.

【详解】由x22axa210可得xa1xa10， 解得：xa1或xa1，且a1a1， 因为方程的两根分别位于区间,1，1,0内， 所以a11且1a10，解得2a1， 故答案为：2a1 16．以下关于函数fx21sinxxR的结论： 342①yfx的图象关于直线x②fx的最小正周期是4；

对称； 2③yfx在区间2π,3π上是减函数； ④yfx的图象关于点,0对称．

2其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②③

【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】对于①，f122sin， 323224对称，①正确； 2所以，yfx的图象关于直线x对于②，fx的最小正周期是

T241，②正确； 2

对于③，当2x3时，

315x， 4244所以，函数yfx在区间2π,3π上是减函数，③正确； 对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成

yAsinωxφ形式，再求yAsinωxφ的单调区间，只需把x看作一

个整体代入ysinx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.

三、解答题

117．（1）计算：42log94log235log57；

2πcos2πcos2

（2）化简：．

11πsinπsin2【答案】（1）4；（2）1.

【分析】（1）利用指数和对数运算性质化简计算即可； （2）利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可. 【详解】解：（1）

3311log572222log32log2374log94log2352222232223174884；

（2）因为

π11π11ππsinsin6sinsincos，

2222πcos2πcos2cossin1. 所以

11πsincossinπsin218．己知向量a4,3，b1,2． （1）设向量a与b的夹角为，求sin； （2）若向量mab与向量ab垂直，求实数m．

【答案】（1）35；（2）. 57【分析】（1）利用平面向量夹角的坐标表示即可求cos，再利用同角三角函数基本关系即可求解；

（2）利用向量垂直得mabab0，展开即可求解. 【详解】（1）cosabab4324232122102，

55552 所以sin1cos15522（2）若向量mab与向量ab垂直，则mabab0， 即ma1mabb0，

22a43225，ab413210，b1225，

2222所以25m101m50，即35m15，解得：m3. 719．已知fxAsinxA0,0,0π的部分图象如图所示，2π5πM,2是函数fx图象上的一个最低点，是函数fx的一个零点．

1212

（1）求函数fx的解析式； （2）当xπ11π，时，求函数fx的值域． 3636【答案】（1）fx2sin3x（2）1,2. ；

4

【分析】（1）由图知最大值可以求A的值，由T求出的值，由33452及可以12122T532kkZ结合0可以求出的值，进而

2122可得fx的解析式； （2）由π11πx求出3x的范围，再由正弦函数的性质即可求解. 363643452，解得：T，

312122【详解】（1）由图知：A2，T所以

2232，可得fx2sin3x， T3因为M所以35π,2是函数fx图象上的一个最低点， 12532kkZ， 122当k0时，（2）因为所以fx2sin3x，所以，

44π11ππ7πx，所以3x， 36366461sin3x1，12sin3x2

424所以函数fx的值域1,2.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由三角函数额的周期求出得值，再由三角函数的谷点求出得值.

20．（1）已知x1,1，求函数fx（2）已知函数fxlog3112的最大值与最小值； 9x3xxlog33x，求不等式fx0的解集． 27【答案】（1）最大值为8，最小值为

71；（2）0,4327,.

【分析】（1）先进行换元可；

112t,3fxg(t)tt2的最值即t，，再求x33（2）先化简函数，将log3x看作整体解不等式，再解对数不等式即可.

【详解】（1）设

1112x1,1t,3， tt，则x，由知x9331111fxg(t)t2t2，对称轴为t，故g(t)在,上递减，在,3上递

2232增， 故t117时fxming(t)ming，t3时fxmaxg(t)maxg38， 2247； 4故函数fx的最大值为8，最小值为（2）函数

fxlog3xlog33xlog3xlog327log33log3x27log3x3log3x1，

则不等式fx0，即log3x1log3故0x1或log3x3log327， 31或x27， 313所以不等式fx0的解集为0,【点睛】方法点睛：

27,．

指数函数（或对数函数）的复合型函数研究性质时，通常采用换元法转化成其他常用函数来研究，逐一新元的取值范围. 21．己知函数fx（1）当实数a；

（2）当x1时，求fx的值域；

（3）判断函数fx的单调性（不要求证明），并求不等式【答案】（1）1；（2）1,；（3）1,,1.

22321是定义域为, 0x4a0,的奇函数．

5fx3的解集． 3511【分析】（1）由fx是奇函数可得fxfx0对于x, 00,恒成立即可求解；

（2）由（1）知：fx21有指数函数的性质即可求解； x41（3）利用定义证明函数fx的单调性，计算f513f1，，原不等式等价32

1f1fxf或于2【详解】（1）因为fx1ffxf1，利用单调性脱掉f即可求解. 221是奇函数， x4a221x10， 所以fxfxx4a4a即

24xa24xa4xxa4ax2，

x整理可得：a144xa10对于x, 00,恒成立，

因为44xa10不恒成立，

所以a10，解得a1， （2）由（1）知：fx21， x41因为x1，所以4x4，4x13，

112225011，可得， 4x134x134x1321， （3）由（1）知：fxx41所以0设任意的x2x10，

24x1124x2122fx2fx1x2 x2x1414x11414124x1124x214x2141x124x14x24x2141x1

4x14x20，4x210，4x110，

所以fx2fx10，所以fx2fx1， 所以fx21在0,单调递减， x41因为fx是奇函数，所以fx在, 0和0,单调递减. 由

555fx3可得fx3或3fx 333令fx令fx121xf13x可得：，所以，即423，x41221f3 252551f1 f1可得：，即，x14x1333

51f1fxffx3所以等价于，

32可得f1fxf1或21ffxf1， 2因为fx在, 0和0,单调递减.

可得

11x1或1x， 2211所以不等式的解集为1,,1. 22【点睛】方法点睛：定义法判定函数fx在区间D上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取x1，x2D，规定x1x2， 2.作差：计算fx1fx2； 3.定号：确定fx1fx2的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论.

22．对于函数f1x，f2x，如果存在实数a，b，使得fxaf1xbf2x，那么称fx为f1x，f2x的亲子函数．

（1）已知f1x2x3，f2xx1，试判断fx4x11是否为f1x，f2x的亲子函数，若是，求出a，b；若不是，说明理由；

（2）已知f1x3，f2x9，fx为f1x，f2x的亲子函数，且a4，

xxb1．i若gxm1f2xfx1，当1≤x≤0时，gx0恒成立，

求正数m的取值范围；ii若关于x的方程fxnf2x1有实数解，求实数n的取值范围．

【答案】（1）a3,b2；（2）0m1，iin3

【分析】（1）设fx4x11是f1x，f2x的亲子函数，则

4x11a2x3bx1利用待定系数法即可求解；

（2）i由亲子函数的定义可得fx439，gxm29431，设

xxxx

1

1g02xt,1gtm2t4t10，转化为二次函数，可得3即3t，3g10



可求解；

2令3xt，则n1t4t10由ii原方程等价于n19x43x10有解，

大于0的解，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）假设fx4x11是f1x，f2x的亲子函数， 则fxaf1xbf2x，即4x11a2x3bx1，

42aba3可得，解得，

113abb2所以fx4x11是f1x，f2x的亲子函数，且a3,b2， （2）i由亲子函数的定义可得fx439，

xxgxm19x43x9x1m29x43x1，

设3xt，1≤x≤0时，t,1，

13gtm2t24t1为开口向上的抛物线，

2111gm24103若gt0恒成立，可得3解得m1， 3g1m2410因为m0，所以0m1，

ii若关于x的方程fxnf2x1有实数解，

则43x9xn9x1，即n194310，

xx则n1t4t10，

2当n1,t1时有解，符合题意； 4当n10时，由于t0时，上式10，t时，上式趋近于， 故上式在0,有解；

当n10时，164n11 可得1n3， 综上所述：n3

【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法

若不等式fx,0xD（是实参数）恒成立，将fx,0转化为gx或gxxD恒成立，进而转化为gxmax或gxminxD，求

gx的最值即可.

（2）数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.