小学数学综合与实践活动研究导引与案例解析

张奠宙1 ，唐彩斌2

（1.华东师范大学 数学系 上海 200062， 2.杭州现代小学数学教育研究中心 浙江杭州 310002）

【摘要】综合与实践活动作为小学数学教学四大领域之一，它的涵义是一种学生人人参与的必修学习活动，是具有可综合性、思考性、操作性、趣味性的数学活动。本文按照活动的内容, 将这一领域的活动分为综合应用型，操作实践型，数学欣赏型，数学文化型，数学素养型， 并结合22个案例具体解析。

【关键词】综合与实践 涵义 分类 案例

义务教育数学课程标准（修订稿）把小学数学分为数与代数、图形与几何，统计与概率，综合与实践四大领域。与其他几个领域的内容和要求相比，综合与实践活动领域的内容要求显得尚不明晰，只有相应的框架性目标与个别案例，从现实教学状况来看，仅仅有理念层面的引导难以付诸于教学行为，到底什么是小学数学的综合与实践活动？综合与实践活动有哪些基本的类型？怎样组织综合与实践活动的开展？本文就是基于此而展开讨论， 并提供25个典型的案例。。

一， 数学综合实践活动的内涵

《9年义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的学习活动。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。我们认为，小学数学综合实践活动的内容要符合以下的要求：

1．

问题情景的综合性、趣味性和挑战性。综合与实践活动不能是其他

学习领域的简单重复， 问题情景必须较为开阔，能够为所有学生理解，又生动有趣， 调动学生学习数学的积极性。

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综合与实践活动不是难题，而是人人都能参与，起点低，开放度大的问题，现在目前技能难度系数高的问题比较多，体验性与欣赏性的比较少。比如：555555555□999999999中间填几能被7整除， 就太难了。

常见的去居民区调查等，并非小学生适合体验的实践活动。比如调查小区内每户人家的用水量，难免给居民带来一定的不便，而调查所得数据背后的社会问题，也并非一个小学生所能理解的。

2．

问题解决过程中的活动性和可操作性。既然是实践活动， 并非只是

做一道习题或考题那样的单纯。 在综合实践活动中， 学生要“动”起来。 不止动脑， 还要动手， 包括其他的活动。

3． 数学活动应当体现数学本质， 有助于提高学习着的数学素养。数学的综合与实践活动不是泛化的综合型活动，即便是数学与其他学科的内容相联系，也要突出数学学科的特点，即便是数学与现实生活相联系， 也必须呈现数学的本质。比如：1000000颗黄豆有多重？事实上，百万颗黄豆的重量不重要，重要的是百万这个数的构造。具体的实物1百万有多少这是人的生活体验，不是数学的本质。每个居民向灾区捐款500元月，多少居民能捐满到1百万？13亿人中有多少个1百万？这些素材不仅有现实背景，而且还有数学意义。

二 ．综合与实践活动的类型

小学数学的 “综合与实践活动”应该是丰富多彩的。我们尝试把“综合与实践活动”的内容分为以下5个主要类型：综合应用型，操作活动型，数学欣赏型，数学文化型，数学素养型。并分别用案例加以说明。

1．

综合应用型。

这是指在实践活动中，需要把数学不同领域的知识和技能综合起来，灵活应 用解决问题。可能是代数与几何内容的结合，可能是统计与排列组合的结合，也可能是同一领域不同知识和技能的结合。

[案例1] 班级旅游计划。 这是目前大量采用的实际应用课题。活动需要根据班级的实际情况， 分交通、食品饮料、门票等开支，以及班级人数、交款数

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额，学校补助， 折扣计算等许多数据。高年级复杂些， 低年级简单些， 根据具体情形设置。

[案例2] 储蓄计算。 学习百分比以后，根据现行利率， 计算不同存期（整存整取， 6个月或12个月存期）， 利息转存， 求5年后的本利和。

社会主义市场经济是我国的经济。 数学课程责无旁贷地应当成为经济学的某些计算工具。

[案例3] 身份证号码的第18位检验码。

身份证第18位是检验码， 这是数码信息时代的特色之一。 根据网上公布的17个“权”，以及前17位身份证号码，加权作和， 然后除以11， 所得余数可以相应地得到第18位号码。

此问题可以扩充到书号、商品条形码等问题， 虽然只用到加减乘除， 却充满了时代气息。

[案例4] 做“纸奖杯”。

本案例可以用彩色纸（或者废报纸）做一个奖杯， 部件分别是长方体， 锥体、圆柱体等立体图形。 主要帮助学生了解这些“可展为平面”的立体图形的构造。 这里， 特别指出， 球面不是可展面，不能用纸做出来。

[案例5] 用方格纸上架设坐标系标记教室。

坐标确定位置， 关键是原点选取和坐标轴架设。 不同架设得到不同的标记。 每个学生对应一对自然数坐标之后， 我们可以问“两个坐标都相同”点是什么图形？第一个坐标是0 的同学构成什么图形。 坐标的作用不仅仅是确定位置， 关键是表示集合图象。

2．

操作活动型。

这是指学生需要借助肢体的操作活动来完成的实践活动，比较直观，把显性 动作与隐性的数学思考相结合完成。

[案例6] （巨人的手）1 昨晚外星人访问我校， 留下一个巨大的手印（在黑板上）。据说， 这位外星人和地球人的外形十分相似。 今晚他还要来，请问

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荷兰数学家弗莱登塔尔的设计

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要给他坐桌子要多高？书应该多大？铅笔应该多长？他们用的硬币面积有多大。 学习“比例”内容以后可以进行这一综合实践活动。这一活动将比例、几何图形、数字计算综合起来，适合小学生的趣味需要和数学水平。测量，是基本数学活动，但要密切联系数学本质。 本题的价值在于：将测量的手段服务于“相似形”的对应边成比例。

[案例7] 认识算盘。珠算已经成为我国非物质文化遗产，目前正在申报世界非物质遗产。仅就“德育”层面分析， 珠算就是必须认识的。

珠算是半抽象的计算模型。 它的位置记数方法清晰，加减过程透明，易于理解。 尤其因为珠算是一种学具， 甚或是玩具。学生动手拨弄算珠， 是难得的动手计算的数学活动， 至于为什么中国的算盘上面有两颗珠？它的数学意义是什么？加减统一的思维方法， 更是值得学生探讨学习的。此外， 对于智障儿童来说， 珠算是学习数字计算的必用工具。

[案例8]：自制飞机飞多远？（选自《美国课程标准》，2000）

用一张A4纸折飞机，能够飞多远呢？为了反应飞机飞的距离需要收集相应的数据，几次比较合适？ 加上别针会是怎样的结果？

这是一个收集数据进行探究实验的实践活动。可按以下步骤操作（1）用一张A4纸折飞机，能够飞多远呢？（2）要比飞的距离？飞几次比较合适？（3）用哪个数代表飞行距离？（4）在机头上加上一个别针，再次测量飞行距离；看看结果会是怎样？（5）加两个别针再作试验；（6）分析数据，推断：是不是别针加得越多越远？（7）加3个别针验证；（8）归纳：影响飞机飞行距离的因素。会发现其实不是想象的那样，太重了反而飞不远了。

[案例9] 三角与折扣 （张景中院士提供）

把正方形压扁成菱形，菱形的面积与压扁的角度有关；把压扁后菱形的面积所打的折扣叫做正弦。如果边长是1有一个角为a的菱形的面积叫做角a的正弦，那么平行四边形的面积＝sinA×a×b。可以引导学生推导出三角形等其他平面图形的面积。

这个案例源自张景中院士的“三角下放”的设想。在学习平行四边形的面

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积的时候，几乎所有学生开始的直觉都是相邻两边的乘积就是平行四边形的面积。这样的想法具有一定的合理的成份，问题是要打一个折扣： sin A。对任意△ABC，它的面积就1/2bcsinA=1/2acsinB＝1/2absinC。

[案例10] 两颗骰子数值之差的统计（选自《美国课程标准》，2000） 掷两颗骰子得到两个数， 注意大数减小数后 的差数. 是否有一个差数比其他差数更可能出现？ 如果你掷这两颗骰子20次， 看看结果如何？

3．数学欣赏型的活动。

数学与语文的学习有很多不同。 学习唐诗，会欣赏不会做；但是数学刚好相反，数学会做却往往不会欣赏。我们应该让学生在会做数学的同时也能够学会欣赏某些数学。欣赏不只是直观的形象美，领域也不局限在几何领域，包括代数领域的和谐美、应用美、规律美等。

[案例11] 收集各种几何图案（包括常见图案、交通标志、商标，建筑外形等）。

这是直观的观察活动， 着重于外观之美。结合图案的来源说明其意义， 增加几何图形美观的人文价值。 如五环旗帜与无大洲、五种肤色等

[案例12]圆规画米老鼠。

规定只能用圆规在坐标方格纸上画出米老鼠的形象， 而且指出各段圆弧的圆心坐标和半径长度。

这个活动涉及数学欣赏，但它不仅仅是客观地欣赏数学美，而要主观地创造美丽的图案。具体的操作办法是根据米老鼠的形象用圆规画出相应圆或圆弧，要求学生熟练使用圆规，熟练操作技能。同时要求学生能够准确描述每一个组成部

差数 出现的频率 5

分的画法，圆心位置，半径大小，借助坐标及方格准确刻画。 [案例13]：数与式的和谐美。

数学美不仅在图形和几何领域，也蕴含在数与代数的领域。比如：和谐美：● 交换律a+b = b+a; a×b＝b×a；看起来很和谐， ● 如 1/2×1/3＝1/6, 分子分母分别相乘，也是和谐的；

● 但分数的加法， 把分子分母分别相加，表面和谐却是错误的，许多同学写出 1/2＋1/3＝2/5；就是根据“和谐”的愿望， 可惜是错的； ● 式的规律美：如

1×1＝1

11×11＝121 111×111＝12321 1111×1111＝1234321

● 美妙的结果： 任何三角形内角和都是180度； 三角形三条高交于一点， 三条中线交于一点， 三条角平分线交于一点。 美妙之极， 惊叹自然规律之深刻。

[案例14] 在一块矩形场地要设置一些花坛，使得花坛的面积恰好为场地的一半， 花坛的形状要尽量美观。（源自日本1993年一次国际会议上现场课的题目）

这是一道开放题， 可以有无数种设计。问题要求学生把数学和美术结合起来， 用丰富的想象力和严谨的数学计算， 获得满意的结果。 评价时可以要求至少给出5种不同的设计。

4． 数学文化型活动。

数学是一种文化。 数学所承载的人文精神是我们需要学习的重要内容。数数学文化最容易联系的是有关数学史的内容

[案例16] 圆周率的演变

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计

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算。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。魏晋时期，刘徽提出用“割圆术”来求圆周率，把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算最精确的数据。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。比西方国家早一千一百多年。 [案例16] 华罗庚和陈景润、哥德猜想

华罗庚的传奇人生是大家熟悉的。在学习奇、偶数的时候， 可以举行这样的活动， 让大家收集资料， 写一篇数学作文。

陈景润与哥德猜想：1742年，歌德写信给著名数学家欧拉，信中提出如下问题：每一个偶数n≥6，都是两个奇质数p1,p2之和，即n=p1+p2. 这就是至今仍未能完全解决这个世界著名的难题，歌德猜想。

我国数学家陈景润证明了（1＋2），即一个偶数和两个偶数之积的和。 大家可以试试

[案例17] 对称和对联 清泉石上流明月松间照

它们有什么共同点？ 变化中的不变性质。

[案例 18] 无限的想象

小学数学有许多无限， 自然数全体就是无限的。 因如分数后有无限循环小数， 几何里有无限延长不相交的平行线。

联想杜甫的诗：“无边落木萧萧下， 不尽长江滚滚来”。 让大家谈谈我们头

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脑中的无限。 无限的宇宙， 无限的思念„„

5． 数学基础素养型 [案例19] 九宫格里的四方连。

如图在九宫格中找出四方连图形，并用4个数算出24。 这是一个数与形结合的综合实践活动，一方面学生需要知道四方连的几种不同形式，同时要要平移四方连感知到每一个四连

方出现在九宫格的不同位置；另一方面，根据四方连出现的位置不同，对应的4个数需要经过计算，求得结果24。

本图可勾划出28个四方连图，这些图中的数均能通过计算算出得数24。 在这个过程中，让学生体会到数学知识之间的变化关系，从特殊到一般，从不可检测到可以检验，从描述走向证明。 [案例20]图形分类

如图所示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一想可以把这些扣子分成几类？分类的标准是什么？然后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。

这个案例源自新课标的修订稿中，是一个比较好的数学素养型综合实践活动，上通数学，下达课堂。本活动的目的是希望学生能够清楚，分类是要依赖分类标准的，比如扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。

[案例21] 钟面问题

将钟面上12个数字，分别添上加号或减号， 使它们的和为零。这是来源于浙江数学教材的一道开放题。 答案有124个。这对训练数字加法， 寻求规律的探索方面有积极意义。

1 4 7 2 5 8 3 6 9 8

[案例22] 平移、旋转和对称。

（1）一点到另一点的运动，用平移就能实现了。（2）如果是两根一样长的 有方向的线段（火柴棒），需要平移和旋转（图）（3）如果是两个一模一样的三角形ABC 和A’B’C’，首先，平移运动使得A和A’重合， 然后转动， 使得AB和A’B’重合。 这时可能三角形已经重合了， 也可能不重合。还需要反射运动才重合。（图）因此， 我们在平面上作运动， 需要平移、旋转、轴对称三种不同的变换。

此题是训练几何思考的有益活动。 参考文献：

①教育部课程标准研制组.数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2000，

②张天孝.数学 [M].浙江：浙江教育出版社，2008；

③张景中.从数学教育到教育数学.中国少年儿童出版社，2005年1月；

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