齿轮机构

。

已知一渐开线，其基圆半径rb =60mm，试求渐开线上压力角αk =20处的曲率半径ρk，渐开线的展角θk和该点的向径rk。

思路与解题技巧：本题主要考查学生是否熟悉渐开线的性质。解题的关键是首先画出图1，并熟悉各项的意义：θk = ∠AOK为渐开线在AK段的展角；αk = ∠KOB 为渐开线在K点的压力角；ρk =KB为渐开线在K点的曲率半径，rk =KO为渐开线上K点处的向径。

解：根据渐开线的基本性质及图1，可得 ρk=rbtgαk=60*tg20°=21.838（mm）

θk=tgαk-αk=tg20°-20°*π/180°=0.0149（rad）=0.854° rk=rb/cosαk=60/cos20°=63.851（mm）

注意：在利用公式θk=tgαk-αk时αk应化作弧度，并将最终计算结果换回为习惯的角度。

图 1

二、

已知一渐开线的基圆半径rb =40mm，求渐开线上半径为rk =50mm处的压力角αk和展角θk以及曲率半径ρk。

思路与解题技巧 本题也是考查渐开线的基本性质，其实它是从题1中通过改变已知条件和求解项目变换所得，类似的题目还可编出许多，求解的关键是同学应能熟练地在答题纸上或在草稿纸上画出类似图1的草图。

解： cosk k2rbrk24050， k36.87502

rkrb40230（ mm）当然，也可采用ρk=rbtgαk计算，一般应尽量避免使用导出值,以免万一α算错，祸及ρk出错而造成这一项的失分。

ktgkktg36.8736.87k

1800.1065（rad）6.102

三、

已知一渐开线标准直齿圆柱齿轮，α=20°，ha*=1，c*=0.25，问当齿根圆和基圆重合时，它的齿数在理论上应为多少？如果齿数少于这个数值，那么基圆和齿根圆哪一个大？

解： rb rf1212mzcosmz(hac)m** 令 rfrb 则 12mz(hac)m2(hac)1cos****

12mzcos41.45 整理得 z2(10.25)1cos20因为齿轮的齿数一定是整数，所以当z≥42时，齿根圆大于基圆，而当z≤41时，齿根圆小于基圆。根据渐开线的基本性质基圆内无渐开线可知，对于齿数小于或等于41的标准齿轮，其齿根段的齿廓一定不是渐开线，而是一段过渡曲线。此外，对于标准渐开线齿轮来说，其齿根圆和基圆是不会完全重合的。

四、

设有一对外啮合渐开线标准齿轮，z1=20,z2=30,模数m=4mm，压力角α

=20°，齿顶高系数ha*=1，试求当中心距a’=102mm时，两轮的啮合角α’。又当α’ =26.5°时，试求其中心距a’。

思路与解题技巧 本题主要考查实际中心距、啮合角与标准中心距及压力角之间的关系。在渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动中，实际中心距a’与啮合角α’的余弦的乘积恒等于两齿轮的基圆半径之和，因而也等于标准中心距a与压力角α的余弦的乘积。即a’cosα’ = rb1 +rb2 =a cosα。

解： a12m(z1z2)124(2030)100 (mm)因为 acosacos所以 cosaacosaacosarccos100102

cos2022.888 arccos当26.5时 aacoscos100cos20cos26.5105.0 (mm)五、

已知一正常齿渐开线标准外齿轮，齿数z=20，模数m=10mm，分度圆压力角α=20°，求齿顶圆和基圆上的齿厚Sa、Sb以及齿槽宽ea、eb 。 思路与解题技巧 本题的关键是熟悉任意圆齿厚的计算，要求出任意圆上的齿厚，首先须求出该圆上的压力角。

解： r12mz121020100 (mm) rbrcos100cos2093.970 (mm) rarham100110110 (mm) b0 cosa sas rar2rbrrracos ， aarccos100110cos2031.32*2ra(invainv)1101002110(inv31.32inv20)6.951 (mm)10 sbs2rb(invbinv)scos2rbinv mcos(2zinv) 10cos20( Pa2raz220inv20)17.562 (mm)34.558 (mm)211020

eaPasa34.5586.95127.607 (mm) Pbmcos10cos2029.521 (mm) ebPbsb29.52117.56211.959 (mm)

六、

有一对标准的渐开线直齿圆柱齿轮传动。已知z1=19，z2=42, α=20°，m=5mm, ha*=1,c*=0.25。若将中心距增大，直至刚好连续传动，试求这时的啮合角α’，节圆直径d1’，d2’，中心距a’ ，分度圆分离距离Δa，轮齿径向间隙c。证明啮合时节圆上的侧向间隙（沿节圆度量）δ为：

δ=2 a’（invα’-invα）

并求出其数值。

思路与解题技巧 一对齿轮若能刚好保持连续传动，表示它们的重合度等于1，因此可以根据重合度的计算公式，首先求得啮合角α’，然后才能进一步求解其它各项。 解：（1）求啮合角α’

因为 12z1tga1tg1z2tga2tg1所以 tgz1z2z1tga1z2tga22

1z1tga1z2tga22 (1) arctgz1z2显然，要求出啮合角α’，还必须先求出两轮的齿顶圆压力角。

两轮的分度圆半径为

r1r21212mz1mz121251947.5 (mm)

542105 (mm)2两轮的齿顶圆半径为

ra1r1ham47.51552.5 (mm)ra2r2hm10515110 (mm)*a*

两轮的齿顶圆压力角为

因为 racosarcos所以 aarccos a1arccos a2arccosrracoscosarccoscosarccos47.552.2105110cos2031.767r1ra1r2ra2

cos2026.236将它们代入式（1），可得

19tg31.76742tg26.2362arctg1942

23.2291（2）求实际中心距a’和节圆直径d1’、d2’

标准中心距 a12m(z1z2)125(1942)152.5 (mm)

因为 acosacos所以 aacoscoscos20cos23.229155.95 (mm) 152.51(d1d2)155.95a2又 d2z242i12z119d1解方程组得 d197.15 (mm) , d2214.75 (mm)

（3）求分度圆分离距离Δa以及轮齿径向间隙c

aaa 155.95152.53.45 (mm) ca(ra1rf2)其中 rf2r2(hac)m 105(10.25)598.75 (mm)从而 c155.95(52.598.75)4.7 (mm)或解 c(cma) 0.2553.454.7 (mm)***

因为标准安装时，项隙为标准值c*m，所以实际安装时，其径向间隙应等于标准顶隙c*m加上分度圆分离距离Δa 。 （1） 证明：

s2p1s1s2 e1rr ps112r1invinvs222r2invinvr1r2 p1coscoss1coscoscoscos2r12r2coscoscoscosinvinvinvinvcoscos s2 m 2acoscoscoscos

mcos2cosmcos2cos2r1r2invinvinvinv 2ainvinv即 2ainvinv证明完毕

将 a155.95 (mm), 23.229, 20代入上式，可得 2155.95inv23.229inv20 2.767 (mm)

七、

一对标准渐开线直齿圆柱齿轮传动，已知α=20°，m=2mm，ha*=1，z1=30，z2=50，现在根据运动要求z1改为29，而中心距和齿轮2仍保持不变，试求变位系数x1。

思路与解题技巧 改装后实际中心距等于由z1=30和z2=50这两个齿轮所确定的标准中心距。首先求出啮合角α’，然后按无侧隙啮合方程式求出x1。

解：（1）根据a’及a求啮合角α’

实际中心距 a 标准中心距 a 12121212mz1z22305080 (mm)z2mz12295079 (mm)

因为 acosacos所以 arccos arccosaa7980coscos2021.883

(2)根据无侧隙啮合方程式求x1

x1x2z1z22tginvinv

因为齿轮2利用原来的，而原来的齿轮是一个标准齿轮，所以x2=0，从而

x129502tg20inv21.883inv200.523

（3）是否能毫无变动的直接使用齿轮2？ 对于齿轮传动，一般来说即要保证无侧隙啮合，同时还必须保证具有标准的顶隙。为此，我们来求出其齿顶高变动系数Δy。

中心距变动系数 yaam807920.5

齿顶高变动系数 Δy= ( x1 + x2 ) - y

= ( 0.523 + 0 ) – 0.5 = 0.023

即齿顶削减量 Δym = 0.023 * 2 = 0.046 ( mm )

由于齿顶削减量非常小，所以不加修正接使用齿轮2不会有很大的影响。

八、

设计一对外啮合直齿圆柱齿轮传动，已知z1=10，z2=25,α=20°， m=10mm，ha*=1，安装中心距a’=175mm。若要求小齿轮正好不被根切，试求其尺寸

ra1,rf1,rb1,s1,sa1，并验算重合度ε

α

。

思路与解题技巧 首先根据标准中心距和实际中心距求出啮合角α’，然后按无侧隙啮合方程式求出这对齿轮的变位系数之和x1+x2 ，由于小齿轮刚好不被根切，表示x1=x1min,从而确定x1及x2，进而求出其它各项。

解：（1）求啮合角α’

标准中心距 a 1212mz1z2101025175 (mm)因为 acosacosa所以 arccoscosa175 arccoscos2020175

（2）求变位系数x1及x2

因为 inv2(x1x2)tgz1z2z1z22tg10252tg20inv所以 x1x2 因为小齿轮刚好不被根invinvinv20inv200切，所以* x1x1minha 171017zminz1zmin0.412从而 x2x10.412又 x2minha *zminz2zmin170.4711725

所以 x2x2min，是合适的。

（3）求中心距变动系数y及齿顶高变动系数Δy

y aam175175100

y(x1x2)y 0这是等移距变位齿轮传动。 （4）求小齿轮的各部分尺寸

分度圆半径 r1 1212mz1101050 (mm)*齿顶圆半径 ra1r1(hax1)m 50(10.412)1064.12 (mm)齿顶圆压力角 arccosr1ra1coscos2042.882 arccos5064.12**齿根圆半径 rf1r1(hacx1)m 50(10.250.412)1041.62 (mm)基圆半径 rb1r1cos 50cos2046.985 (mm)分度圆齿厚 s1 m21022x1mtg20.41210tg2018.707 (mm)2ra1inva1inv64.1250264.12inv42.882inv20齿顶圆齿厚 sa1s1ra1r1 18.707

2.787 (mm)一般来说，齿顶圆齿厚应大于0.25倍的模数，显然 sa12.7870.25m2.5 (mm)是合格的。（2） 验算重合度ε

α

1212mz2齿轮2分度圆半径 r2 

1025125 (mm)齿轮2齿顶圆半径 ra2r2(hax2)m 125(10.412)10130.88 (mm)齿轮2齿顶圆压力角 a2arccosr2ra2coscos2026.172z2tga2tg* arccos重合度  1212125130.88

z1tga1tg10tg42.882tg2025tg26.172tg20 1.406 满足要求。

九、

用齿条刀具加工一直齿圆柱齿轮。已知刀具的模数m=2mm，压力角α=20°，齿顶高系数ha*=1，刀具的移动速度为V刀=3mm/s，被加工齿轮轮坯的角速度ω=0.2 rad/s，若齿条分度线与被加工齿轮中心的距离为15.24mm，试求： （1）被加工齿轮的齿数； （2）变位系数；

（3）该齿轮是否会产生根切？

思路与解题技巧 齿条刀具加工齿轮的过程相当于齿条和齿轮啮合的过程。由此可知齿轮分度圆圆周速度应该与齿条刀具的移动速度相等；齿轮转动中心与刀具分度线的距离等于齿轮分度圆半径与变位量xm之和

解：（1）求z

r12mz因为 rV刀 12mzV刀2V刀m2320.215

所以 z （2）求变位系数x

因为 Lrxm 所以 x 12Lmmzxm12z12150.12

15.242（3）判断是否产生根切

xminha *zminzzmin1715170.1176

因为x0.12xmin0.1176,所以不会产生根切。