一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子
√𝑎+1有意义，则实数𝑎的取值范围是（ ） 𝑎−2
A.28∘ 7.
B.52∘ C.62∘ D.72∘
如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
D.𝑎≥−1且𝑎≠2
A.𝑎>−1
B.𝑎>−1且𝑎≠2 C.𝑎≥−1
平均数(𝑐𝑚) 方差 A.甲
B.乙
甲 185 3.6 C.丙
乙 180 3.6 D.丁
丙 185 7.4 丁 180 8.1 2. 下列计算正确的是（ ） A.√4+9=√4+√9
3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A.6，7，8
4. 下列函数图象不可能是一次函数𝑦=𝑎𝑥−(𝑎−2)图象的是（ ）
B.5，6，8
C.√41，4，5
D.4，5，6
B.3√2−√2=3
C.√14×√7=7√2 D.√24÷√3=2√3 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
𝑦=2𝑥
8. 已知直线𝑦＝2𝑥与𝑦＝−𝑥+𝑏的交点的坐标为(1, 𝑎)，则方程组{ 的解是（ ）
𝑦=−𝑥+𝑏𝑥=1A.{ 𝑦=2
9. 一天，明明和强强相约到距他们村庄560米的博物馆游玩，他们同时从村庄出发去博物馆，明明到博物馆后因家中有事立即返回．如图是他们离村庄的距离𝑦（米）与步行时间𝑥（分钟）之间的函数图象，若他们出发后6分钟相遇，则相遇时强强的速度是（ ）米/分钟
𝑥=2B.{ 𝑦=1
𝑥=2C.{ 𝑦=3
𝑥=1D.{ 𝑦=3
A.
B. C. D.
5. 下列关于变量𝑥，𝑦的关系，其中𝑦不是𝑥的函数的是（ ）
A. B.
A.80
B.90
C.100
D.不能确定
C.
D.
10. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐵，𝐵𝐶上，且𝐴𝐸=3𝐴𝐵，将矩形沿直线𝐸𝐹折叠，点𝐵恰好落在𝐴𝐷边上的点𝑃处，连接𝐵𝑃交𝐸𝐹于点𝑄，对于下列结论：①𝐸𝐹=2𝐵𝐸；②𝑃𝐹=2𝑃𝐸；③𝐹𝑄=4𝐸𝑄；④△𝑃𝐵𝐹是等边三角形．其中正确的是( )
1
6. 如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀，𝑁分别在𝐴𝐵，𝐶𝐷上，且𝐴𝑀=𝐶𝑁，𝑀𝑁与𝐴𝐶交于点𝑂，连接𝐵𝑂．若∠𝐷𝐴𝐶=28∘，则∠𝑂𝐵𝐶的度数为( )
1 / 10
A.①②
B.②③ C.①③ D.①④
（2）𝑎2−𝑏2．
18 已知，直线𝑦＝2𝑥+3与直线𝑦＝−2𝑥−1．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11 已知一次函数𝑦＝−0.5𝑥+2，当1≤𝑥≤4时，𝑦的最大值是________．
12 若一组数据𝑥1+1，𝑥2+1，…，𝑥𝑛+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据3𝑥1+2，3𝑥2+2，…，3𝑥𝑛+2的平均数是________，方差是________．
13 如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐸是𝐴𝐵中点，且𝐴𝐸+𝐸𝑂＝4，则▱𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为________．
（1）求两直线与𝑦轴交点𝐴，𝐵的坐标；
14 如图，点𝐴的坐标为(−1, 0)，点𝐵在直线𝑦＝𝑥上运动，当线段𝐴𝐵最短时，点𝐵的坐标为________．
（2）求两直线交点𝐶的坐标；
（3）求△𝐴𝐵𝐶的面积．
19 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示．
15 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵＝8，𝐵𝐶＝6，𝐸𝐹经过对角线的交点𝑂，则图中阴影部分的面积是________．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
16 计算：
（1）√6÷√3−|4−3√2|+(√5−1)0+(2)−1；
（2）2𝑥−4𝑥−1＝0．
17 已知𝑎=√7+2，𝑏=√7−2，求下列代数式的值： （1）𝑎−2𝑎𝑏+𝑏；
2
2
2
1
1
（1）请你根据图中的数据填写下表：
姓名 平均数（环） 众数（环） 方差 甲 乙 （2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些．
20 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离𝑦（米）与时间𝑡（分钟）之间的函数关系如图所示．
2.8 (1)根据图象信息，当𝑡=________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为________米/分钟；
(2)求线段𝐴𝐵所表示的函数表达式．
21 已知，如图，𝑂为坐标原点，四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为矩形，𝐴(10, 0)，𝐶(0, 4)，点𝐷是𝑂𝐴的中点，动点𝑃在线段𝐵𝐶上以每秒2个单位长的速度由点𝐶向𝐵运动．设动点𝑃的运动时间为𝑡秒
（1）当𝑡为何值时，四边形𝑃𝑂𝐷𝐵是平行四边形？
（2）在直线𝐶𝐵上是否存在一点𝑄，使得𝑂、𝐷、𝑄、𝑃四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求𝑡的值，并求出𝑄点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在线段𝑃𝐵上有一点𝑀，且𝑃𝑀＝5，当𝑃运动________秒时，四边形𝑂𝐴𝑀𝑃的周长最小，并画图标出点𝑀的位置．
3 / 10
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省德州九中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.
【答案】 D
【考点】
二次根式有意义的条件 分式有意义、无意义的条件
【解析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】 式子
√𝑎+1𝑎−2
有意义，则𝑎+1≥0且𝑎−2≠0，
解得：𝑎≥−1且𝑎≠2． 2. 【答案】 C
【考点】
二次根式的混合运算 【解析】
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】
√4+9=√13≠2+3=√4+√9，故选项𝐴错误， 3√2−√2=2√2，故选项𝐵错误， √14×√7=7√2，故选项𝐶正确，
√24÷√3=√8=2√2，故选项𝐷错误， 故选：𝐶． 3. 【答案】 C
【考点】
勾股定理的逆定理 【解析】
先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可． 【解答】
𝐴、62+72≠82，所以以6，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 𝐵、52+62≠82，所以以5，6，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 𝐶、42+52＝(√41)2，所以以√41，4，5为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意； 𝐷、42+52≠62，所以以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 4. 【答案】 B
【考点】
一次函数图象与系数的关系 一次函数的图象
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：根据图象知：
𝐴、𝑎>0，−(𝑎−2)>0．解得0<𝑎<2，所以有可能；
𝐵、𝑎<0，−(𝑎−2)<0．解得两不等式没有公共部分，所以不可能； 𝐶、𝑎<0，−(𝑎−2)>0．解得𝑎<0，所以有可能； 𝐷、𝑎>0，−(𝑎−2)<0．解得𝑎>2，所以有可能． 故选𝐵. 5.
【答案】 D
【考点】 函数的概念 【解析】
根据函数的定义可知，满足对于𝑥的每一个取值，𝑦都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【解答】
𝐴、𝐵、𝐶当𝑥取值时，𝑦有唯一的值对应， 6.
【答案】 C
【考点】
全等三角形的性质与判定 菱形的性质
【解析】
根据菱形的性质以及𝐴𝑀=𝐶𝑁，利用𝐴𝑆𝐴可得△𝐴𝑀𝑂≅△𝐶𝑁𝑂，可得𝐴𝑂=𝐶𝑂，然后可得𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，继而可求得∠𝑂𝐵𝐶的度数． 【解答】
解：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形， ∵ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶，
∵ ∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑁𝐶𝑂，∠𝐴𝑀𝑂=∠𝐶𝑁𝑂， 在△𝐴𝑀𝑂和△𝐶𝑁𝑂中，
∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑁𝐶𝑂，∵ {
𝐴𝑀=𝐶𝑁，
∠𝐴𝑀𝑂=∠𝐶𝑁𝑂，∵ △𝐴𝑀𝑂∵∵𝐶𝑁𝑂(𝐴𝑆𝐴)， ∵ 𝐴𝑂=𝐶𝑂. ∵ 𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∵ 𝐵𝑂⊥𝐴𝐶， ∵ ∠𝐵𝑂𝐶=90∘.
∵ ∠𝐷𝐴𝐶=28∘，
∵ ∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐴𝐶=28∘， ∵ ∠𝑂𝐵𝐶=90∘−28∘=62∘． 故选𝐶． 7.
【答案】 A
【考点】 方差
算术平均数
【解析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【解答】
观察图象可得出：点𝐴的坐标为(5, 560)，点𝐵的坐标为(12, 0)， 设线段𝐴𝐵的解析式为𝑦＝𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 5𝑘+𝑏=560𝑘=−80∵ { ，解得：{ ，
12𝑘+𝑏=0𝑏=960
∵ 线段𝐴𝐵的解析式为𝑦＝−80𝑥+960(5≤𝑥≤12)． 当𝑥＝6时，𝑦＝480，
∵ 点𝐹的坐标为(6, 480)，
∵ 所以相遇时强强的速度是480÷6＝80（米/分钟）． 10.
【答案】 D
【考点】 矩形的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
求出𝐵𝐸=2𝐴𝐸，根据翻折的性质可得𝑃𝐸=𝐵𝐸，再根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半求出∠𝐴𝑃𝐸=30∘，然后求出∠𝐴𝐸𝑃=60∘，再根据翻折的性质求出∠𝐵𝐸𝐹=60∘，根据直角三角形两锐角互余求出∠𝐸𝐹𝐵=30∘，然后根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得𝐸𝐹=2𝐵𝐸，判断出①正确；利用30∘角的正切值求出𝑃𝐹=√3𝑃𝐸，判断出②错误；求出𝐵𝐸=2𝐸𝑄，𝐸𝐹=2𝐵𝐸，然后求出𝐹𝑄=3𝐸𝑄，判断出③错误；求出∠𝑃𝐵𝐹=∠𝑃𝐹𝐵=60∘，然后得到△𝑃𝐵𝐹是等边三角形，判断出④正确． 【解答】
解：∵ 𝐴𝐸=3𝐴𝐵，
∵ 𝐵𝐸=2𝐴𝐸，
由翻折的性质得，𝑃𝐸=𝐵𝐸， ∵ ∠𝐴𝑃𝐸=30∘，
∵ ∠𝐴𝐸𝑃=90∘−30∘=60∘，
∵ ∠𝐵𝐸𝐹=2(180∘−∠𝐴𝐸𝑃)=2(180∘−60∘)=60∘， ∵ ∠𝐸𝐹𝐵=90∘−60∘=30∘， ∵ 𝐸𝐹=2𝐵𝐸，故①正确； ∵ 𝐵𝐸=𝑃𝐸， ∵ 𝐸𝐹=2𝑃𝐸， ∵ 𝐸𝐹>𝑃𝐹，
∵ 𝑃𝐹<2𝑃𝐸，故②错误； 由翻折可知𝐸𝐹⊥𝑃𝐵， ∵ ∠𝐸𝐵𝑄=∠𝐸𝐹𝐵=30∘， ∵ 𝐵𝐸=2𝐸𝑄，𝐸𝐹=2𝐵𝐸， ∵ 𝐹𝑄=3𝐸𝑄，故③错误；
由翻折的性质，∠𝐸𝐹𝐵=∠𝐸𝐹𝑃=30∘， ∵ ∠𝐵𝐹𝑃=30∘+30∘=60∘，
∵ ∠𝑃𝐵𝐹=90∘−∠𝐸𝐵𝑄=90∘−30∘=60∘， ∵ ∠𝑃𝐵𝐹=∠𝑃𝐹𝐵=60∘，
∵ △𝑃𝐵𝐹是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④．
1
1
1
解：∵ 甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数， ∵ 从甲和丙中选择一人参加比赛，
22∵ 𝑆甲<𝑆丙，
∵ 甲的成绩比丙的成绩更稳定， ∵ 选择甲参赛. 故选𝐴. 8.
【答案】 A
【考点】
一次函数与二元一次方程（组） 【解析】
方程组的解是一次函数的交点坐标即可． 【解答】
∵ 直线𝑦＝2𝑥经过(1, 𝑎) ∵ 𝑎＝2，
∵ 交点坐标为(1, 2)，
∵ 方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， 𝑥=1
∵ 方程组的解{ ，
𝑦=29. 【答案】 A
【考点】
一次函数的应用 【解析】
根据图象找出点𝐴、𝐵的坐标利用待定系数法求出线段𝐴𝐵的函数解析式，代入𝑥＝6求出点𝐹的坐标，由此即可得出答案． 【解答】
5 / 10
故选𝐷.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
【考点】
一次函数的综合题
11【答案】 【解析】 1.5 先过点𝐴作𝐴𝐵′⊥𝑂𝐵，垂足为点𝐵′，由于点𝐵在直线𝑦＝𝑥上运动，所以△𝐴𝑂𝐵′是等腰直角三角形，由勾股定【考点】 理求出𝑂𝐵′的长即可得出点𝐵′的坐标． 一次函数的性质 【解答】 【解析】 先过点𝐴作𝐴𝐵′⊥𝑂𝐵，垂足为点𝐵′，由垂线段最短可知，当𝐵′与点𝐵重合时𝐴𝐵最短， 根据一次函数的系数𝑘＝−0.5<0，可得出𝑦随𝑥值的增大而减小，将𝑥＝1代入一次函数解析式中求出𝑦值即可． ∵ 点𝐵在直线𝑦＝𝑥上运动， 【解答】 在一次函数𝑦＝−0.5𝑥+2中𝑘＝−0.5<0， ∵ 𝑦随𝑥值的增大而减小， ∵ 当𝑥＝1时，𝑦取最大值，最大值为−0.5×1+2＝1.5． 12【答案】 50,18 【考点】 方差
算术平均数 【解析】
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【解答】
∵ 数据𝑥1+1，𝑥2+1，…，𝑥𝑛+1的平均数为17，
∵ 3𝑥1+2，3𝑥2+2，…，3𝑥𝑛+2的平均数为3×17−1＝50，
∵ 数据𝑥1+1，𝑥2+1，…，𝑥𝑛+1的方差为2，
∵ 数据3𝑥1+2，3𝑥2+2，…，3𝑥𝑛+2的方差不变，还是2×32＝18； 13【答案】 16 【考点】 三角形中位线定理 平行四边形的性质 【解析】
首先证明𝑂𝐸=1
2𝐵𝐶，再由𝐴𝐸+𝐸𝑂＝4，推出𝐴𝐵+𝐵𝐶＝8即可解决问题． 【解答】
∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∵ 𝑂𝐴＝𝑂𝐶， ∵ 𝐴𝐸＝𝐸𝐵， ∵ 𝑂𝐸=1
2𝐵𝐶，
∵ 𝐴𝐸+𝐸𝑂＝4， ∵ 2𝐴𝐸+2𝐸𝑂＝8， ∵ 𝐴𝐵+𝐵𝐶＝8，
∵ 平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长＝2×8＝16， 14【答案】 (−112, −2) ∵ △𝐴𝑂𝐵′是等腰直角三角形， 过𝐵′作𝐵′𝐶⊥𝑥轴，垂足为𝐶， ∵ △𝐵′𝐶𝑂为等腰直角三角形， ∵ 点𝐴的坐标为(−1, 0)， ∵ 𝑂𝐶＝𝐶𝐵′=1𝑂𝐴=11
22×1=2，
∵ 𝐵′坐标为(−1, −1
22)，
即当线段𝐴𝐵最短时，点𝐵的坐标为(−11
2, −2)．
15【答案】
12
【考点】
三角形的面积
矩形的性质
【解析】 易证△𝐴𝑂𝐸≅△𝐶𝑂𝐹，则阴影部分的面积为△𝐶𝐷𝑂的面积，根据矩形对角线分成的四部分面积相等，即可计算阴影部分的面积，即可解题． 【解答】 在△𝐴𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐹中， ∠𝐸𝐴𝑂＝∠𝐹𝐶𝑂，𝐴𝑂＝𝐶𝑂，∠𝐶𝑂𝐹＝∠𝐸𝑂𝐴，
∵ △𝐴𝑂𝐸≅△𝐶𝑂𝐹，则△𝐴𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐹面积相等，
∵ 阴影部分的面积与△𝐶𝐷𝑂的面积相等，
又∵ 矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分， ∵ 阴影部分的面积为
6×84
=12，
三、解答题（本大题共6小题，共60分） 16【答案】
原式＝3√2−(3√2−4)+1+2 ＝3√2−3√2+4+1+2 ＝7；
∵ 2𝑥2−4𝑥−1＝0， ∵ 2𝑥2−4𝑥＝1， 则𝑥2−2𝑥=1
2，
∵ 𝑥2−2𝑥+1=1
+1，即(𝑥−1)23
2
=2
，
∵ 𝑥−
1＝±√62
，
则𝑥1＝1+
√62
，𝑥2＝1−
√62
． 【考点】
解一元二次方程-配方法 负整数指数幂 二次根式的混合运算 零指数幂
【解析】
（1）根据二次根式的除法法则，绝对值的性质，零指数幂和负指数幂的意义计算即可；（2）利用配方法求解即可． 【解答】
原式＝3√2−(3√2−4)+1+2 ＝3√2−3√2+4+1+2 ＝7；
∵ 2𝑥2−4𝑥−1＝0， ∵ 2𝑥2−4𝑥＝1， 则𝑥2−2𝑥=1
2，
∵ 𝑥2−2𝑥+1=12+1，即(𝑥−1)2=3
2， ∵ 𝑥−1＝±√62
， 则𝑥1＝1+
√6，𝑥2＝62
1−
√2
． 17【答案】
𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 ＝(𝑎−𝑏)2 ＝42 ＝16； 𝑎2−𝑏2
＝(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) ＝2√7×4 ＝8√7．
【考点】
二次根式的化简求值 分母有理化
【解析】
（1）直接利用已知得出𝑎+𝑏，𝑎−𝑏的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【解答】
𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 ＝(𝑎−𝑏)2
＝42
＝16； 𝑎2−𝑏2
＝(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) ＝2√7×4 ＝8√7．
18【答案】
在𝑦＝2𝑥+3中，当𝑥＝0时，𝑦＝3，即𝐴(0, 3)；
在𝑦＝−2𝑥−1中，当𝑥＝0时，𝑦＝−1，即𝐵(0, −1)； 依题意，得{𝑦=2𝑥+3
𝑦=−2𝑥−1 ，
解得{𝑥=−1𝑦=1
；
∵ 点𝐶的坐标为(−1, 1)； 过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐷； ∵ 𝐶𝐷＝1；
∵ 𝐴𝐵＝3−(−1)＝4；
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=1
2×4×1＝2．
【考点】
两直线垂直问题
两直线相交非垂直问题 相交线 两直线平行问题
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建方程组确定交点坐标即可；
（3）过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐷，根据𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
2𝐴𝐵⋅𝐶𝐷计算即可；【解答】
在𝑦＝2𝑥+3中，当𝑥＝0时，𝑦＝3，即𝐴(0, 3)；
在𝑦＝−2𝑥−1中，当𝑥＝0时，𝑦＝−1，即𝐵(0, −1)； 依题意，得{𝑦=2𝑥+3
𝑦=−2𝑥−1
，
7 / 10
解得{𝑥=−1𝑦=1
；
∵ 点𝐶的坐标为(−1, 1)； 过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵交𝑦轴于点𝐷； ∵ 𝐶𝐷＝1；
∵ 𝐴𝐵＝3−(−1)＝4；
∵ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=1
𝐴𝐵⋅𝐶𝐷=1
2
2
×4×1＝2．
19【答案】 甲的平均数=
6+7+8+7+7
5
=7，
方差=15
[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(7−7)2+(7−7)2]＝0.4， 甲的众数是7； 乙的平均数=
3+6+6+7+8
5
=6，
乙的众数是6；如图， 姓名 平均数（环） 众数（环） 方差 甲 7 7 0.4 乙 6 6 2.8 甲、乙两人射靶成绩的平均数来看：甲的成绩优于乙的，并且甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些． 【考点】 统计表 方差 算术平均数 折线统计图
【解析】
根据平均数，方差的公式计算，再根据方差的意义分析． 【解答】 甲的平均数=
6+7+8+7+7
5
=7，
方差=1
5
[(6−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(7−7)2+(7−7)2]＝0.4，
甲的众数是7； 乙的平均数=
3+6+6+7+8
5
=6，
乙的众数是6；如图， 姓名 平均数（环） 众数（环） 方差 甲 7 7 0.4 乙 6 6 2.8 甲、乙两人射靶成绩的平均数来看：甲的成绩优于乙的，并且甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些． 20【答案】 24,40
(2)∵ 甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，
甲、乙两人都匀速步行且同时出发，𝑡=24分钟时甲乙两人相遇， ∵ 甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟， ∵ 乙的速度为100−40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟， 40×40=1600，
∵ 𝐴点的坐标为(40, 1600)．
设线段𝐴𝐵所表示的函数表达式为𝑦=𝑘𝑡+𝑏， ∵ 𝐴(40, 1600)，𝐵(60, 2400)， ∵ {40𝑘+𝑏=1600，+𝑏=2400， 解得{𝑘=40，60𝑘𝑏=0.
∵ 线段𝐴𝐵所表示的函数表达式为𝑦=40𝑡(40≤𝑡≤60)．
【考点】
一次函数的应用 【解析】
（1）根据图象信息，当𝑡=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）由𝑡=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即𝐴点的横坐标，用𝐴点的横坐标乘以甲的速度得出𝐴点的纵坐标，再将𝐴、𝐵两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段𝐴𝐵所表示的函数表达式． 【解答】
解：(1)根据图象信息，
当𝑡=24分钟时甲乙两人相遇，
甲的速度为2400÷60=40米/分钟． 故答案为：24；40；
(2)∵ 甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，
甲、乙两人都匀速步行且同时出发，𝑡=24分钟时甲乙两人相遇， ∵ 甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟， ∵ 乙的速度为100−40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，
40×40=1600，
∵ 𝐴点的坐标为(40, 1600)．
设线段𝐴𝐵所表示的函数表达式为𝑦=𝑘𝑡+𝑏， ∵ 𝐴(40, 1600)，𝐵(60, 2400)， 40𝑘+𝑏=1600，∵ { 解得{𝑘=40，
𝑏=0.60𝑘+𝑏=2400，∵ 线段𝐴𝐵所表示的函数表达式为𝑦=40𝑡(40≤𝑡≤60)． 21【答案】
∵ 四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为矩形，𝐴(10, 0)，𝐶(0, 4)， ∵ 𝐵𝐶＝𝑂𝐴＝10，𝐴𝐵＝𝑂𝐶＝4， ∵ 点𝐷是𝑂𝐴的中点， ∵ 𝑂𝐷=2𝑂𝐴＝5，
由运动知，𝑃𝐶＝2𝑡，
∵ 𝐵𝑃＝𝐵𝐶−𝑃𝐶＝10−2𝑡， ∵ 四边形𝑃𝑂𝐷𝐵是平行四边形， ∵ 𝑃𝐵＝𝑂𝐷＝5， ∵ 10−2𝑡＝5， ∵ 𝑡＝2.5；
①当𝑄点在𝑃的右边时，如图1， ∵ 四边形𝑂𝐷𝑄𝑃为菱形， ∵ 𝑂𝐷＝𝑂𝑃＝𝑃𝑄＝5，
∵ 在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐶中，由勾股定理得：𝑃𝐶＝3 ∵ 2𝑡＝3； ∵ 𝑡＝1.5， ∵ 𝑄(8, 4)
②当𝑄点在𝑃的左边且在𝐵𝐶线段上时，如图2， 同①的方法得出 𝑡＝4， ∵ 𝑄(3, 4)，
③当𝑄点在𝑃的左边且在𝐵𝐶的延长线上时，如图3， 同①的方法得出， 𝑡＝1， ∵ 𝑄(−3, 4)， 5 4【考点】 四边形综合题 【解析】
（1）先求出𝑂𝐴，进而求出𝑂𝐷＝5，再由运动知𝐵𝑃＝10−2𝑡，进而由平行四边形的性质建立方程10−2𝑡＝5即可得出结论；
（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出四边形𝑂𝐴𝑀𝑃周长最小，得出𝐴𝑀+𝐷𝑀最小，即可确定出点𝑀的位置，再用三角形的中位线得出𝐵𝑀，进而求出𝑃𝐶，即可得出结论． 【解答】
∵ 四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为矩形，𝐴(10, 0)，𝐶(0, 4)，
1
∵ 𝐵𝐶＝𝑂𝐴＝10，𝐴𝐵＝𝑂𝐶＝4， ∵ 点𝐷是𝑂𝐴的中点， ∵ 𝑂𝐷=2𝑂𝐴＝5，
由运动知，𝑃𝐶＝2𝑡，
∵ 𝐵𝑃＝𝐵𝐶−𝑃𝐶＝10−2𝑡， ∵ 四边形𝑃𝑂𝐷𝐵是平行四边形， ∵ 𝑃𝐵＝𝑂𝐷＝5， ∵ 10−2𝑡＝5， ∵ 𝑡＝2.5；
①当𝑄点在𝑃的右边时，如图1， ∵ 四边形𝑂𝐷𝑄𝑃为菱形， ∵ 𝑂𝐷＝𝑂𝑃＝𝑃𝑄＝5，
∵ 在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐶中，由勾股定理得：𝑃𝐶＝3 ∵ 2𝑡＝3； ∵ 𝑡＝1.5， ∵ 𝑄(8, 4)
②当𝑄点在𝑃的左边且在𝐵𝐶线段上时，如图2， 同①的方法得出 𝑡＝4， ∵ 𝑄(3, 4)，
③当𝑄点在𝑃的左边且在𝐵𝐶的延长线上时，如图3， 同①的方法得出， 𝑡＝1， ∵ 𝑄(−3, 4)，
如图4，由（1）知，𝑂𝐷＝5， ∵ 𝑃𝑀＝5， ∵ 𝑂𝐷＝𝑃𝑀， ∵ 𝐵𝐶 // 𝑂𝐴，
∵ 四边形𝑂𝑃𝑀𝐷时平行四边形， ∵ 𝑂𝑃＝𝐷𝑀，
∵ 四边形𝑂𝐴𝑀𝑃的周长为𝑂𝐴+𝐴𝑀+𝑃𝑀+𝑂𝑃 ＝10+𝐴𝑀+5+𝐷𝑀＝15+𝐴𝑀+𝐷𝑀，
∵ 𝐴𝑀+𝐷𝑀最小时，四边形𝑂𝐴𝑀𝑃的周长最小， ∵ 作点𝐴关于𝐵𝐶的对称点𝐸，连接𝐷𝐸交𝑃𝐵于𝑀， ∵ 𝐴𝐵＝𝐸𝐵， ∵ 𝐵𝐶 // 𝑂𝐴， ∵ 𝐵𝑀=𝐴𝐷=，
2
2
1
5
1
∵ 𝑃𝐶＝𝐵𝐶−𝐵𝑀−𝑃𝑀＝10−5−2=2， ∵ 𝑡=2÷2=4，
5
5
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