平面向量及其应用单元测验试卷 百度文库

一、多选题

1．已知非零平面向量a，b,c,则（ ）

A．存在唯一的实数对m,n，使cmanb B．若abac0，则b//c C．若a//b//c，则a+b+cabc D．若ab0，则abab 2．已知a,b,c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A．|ab||a||b|

B．若abcb且b0，则ac

C．两个非零向量a，b，若|ab||a||b|，则a与b共线且反向

D．已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是

5, 33．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2PAPC0，

QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A．PB//CQ C．PAPC0

B．BP21BABC 33，a＝7，则以下判断正确的是3D．S2

4．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝（ ）

A．△ABC的外接圆面积是C．b＋c可能等于16； 值是73 .

49； 3B．bcos C＋ccos B＝7；

D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大

5．已知向量a(2，1)，b(1，﹣1)，c(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且(ab)∥c，下列说法正确的是（ ） A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4 D．mn的最大值为2

6．已知向量a1,0，b2,2，则下列结论正确的是（ ） A．a2b5,4 C．a与b的夹角为45°

B．b2 D．a//a2b

5 57．下列结论正确的是（ ）

A．已知a是非零向量，bc，若abac，则a⊥（b-c）

B．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a在b上的投影向量为

1b 2C．点P在△ABC所在的平面内，满足PAPBPC0，则点P是△ABC的外心 D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

A．已知A、B、C是平面中三点，若AB,AC不能构成该平面的基底，则A、B、C共线 B．若abbc且b0，则ac

C．若点G为ΔABC的重心，则GAGBGC0

D．已知a1，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1 9．在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，若a1，b2，A30，则B（ ）

A．30 A．0a0

B．若ab，则|ab||ab| C．若AB//CD，则A､B､C､D四点共线；

D．在四边形ABCD中，若ABCD0，ACBD0，则四边形ABCD为菱形. 11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．若PAPBPBPCPCPA，则P是三角形ABC的垂心 C．两个非零向量a，b，若abab，则a与b共线且反向 D．若a∥b，则存在唯一实数使得ab

12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7),B(4,6),C(1,2)．则第四个顶点的坐标为（ ） A．(0,1)

B．(6,15)

C．(2,3)

D．(2,3)

B．45

C．135

D．150

10．下列命题中，结论正确的有（ ）

13．化简以下各式,结果为0的有( ) A．ABBCCA C．OAODAD

B．ABACBDCD D．NQQPMNMP

14．如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A．e1e2(,R),可以表示平面内的所有向量

B．对于平面内任一向量a,使ae1e2,的实数对(,)有无穷多个 C．若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个实数,使得

1e11e22e12e2

D．若存在实数,使得e1e20,则015．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

(abc)(acb)(23)ac，则cosAsinC的取值范围为

A．(33,) 22C．(,3]

17．下列命题中正确的是（ ） A．若ab，则a在b上的投影为a B．若acbc(c0)，则ab

323,3) 23D．(,3)

2B．(C．若A,B,C,D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 D．若ab0，则a与b的夹角为锐角；若ab0，则a与b的夹角为钝角 18．已知ABC所在平面内的一点P满足PA2PBPC0，则

S△PAB:S△PAC:S△PBC（ ）

A．1∶2∶3

B．1∶2∶1

C．2∶1∶1

D．1∶1∶2

19．O为ABC内一点内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

aOAbOBcOC0，且tanAOAtanBOBtanCOC0，若a3，则边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为（ ） A．

2 3B．

4 3C．

 6D．

 320．三角形ABC所在平面内一点P满足PAPBPBPCPCPA，那么点P是三角形ABC的（ ） A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心

21．在三角形ABC中，若三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a1，c42，B45，则sinC的值等于（ ）

A．

4 41B．

4 5C．

4 25D．441 4122．ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，则OBC与ABC的面积之比为（ ）

A．1:4 B．4:5 C．2:3 D．3:5

23．在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ） ．．．A．BGC．DG2BE 31AG 2B．CG2GF D．GAGBGC0

24．若向量OP，满足条件OP，OP1OP2OP31，则1,OP2,OP31OP2OP30PP12P3的形状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．不能确定

25．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得

BDC45，则塔AB的高是（单位：m）（ ）

A．102 B．106 C．103 D．10

26．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD，点O在线段CD上(与点

C，D不重合)，若AOxAB1xAC，则x的取值范围是（ ）

A．0, C．12B．0, D．,0

131,0 21327．已知向量m2cosx,3，n1,sin2x，设函数fxmn，则下列关于函数

2yfx的性质的描述正确的是( )

A．关于直线xC．周期为2

12对称

B．关于点5,0对称 12,0上是增函数 3D．yfx在28．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知ab= A．2 B．3

C．2

5，c2，cosA2，则3D．3

29．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BCa，CAb，ABc，

1111a；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF2222＝0.其中正确的等式的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

则①AD＝－b－

30．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（ ）

A．1

B．1 2C．2

D．3 231．已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且

PA•PBPB•PCPC•PA，则点O，N，P依次是ABC的( )

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 C．外心重心垂心

B．重心外心内心 D．外心重心内心

32．如图所示，设P为ABC所在平面内的一点，并且AP与ABC的面积之比等于（ ）

11ABAC，则BPC42

A．

2 5B．

3 5C．

3 4D．

1 433．在ABC中，AB8，AC6，A60，M为ABC的外心，若

AMABAC，、R，则43（ ）

A．

3 4B．

5 3C．

7 3D．

8 334．如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，

BC3EC，F为AE的中点，则BF＝（ ）

21ABAD 3321ABAD 3312ABAD 3312ABAD 33A．B．

C．D．ab，mR，35．在ABC中，CBa，CAb，且OPOCmasinBbsinA则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A．重心

B．内心

C．外心

D．垂心

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一、多选题 1．BD 【分析】

假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】

A选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】

假设a与b共线，c与a，b都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确. 【详解】

A选项，若a与b共线，c与a，b都不共线，则manb与c不可能共线，故A错； B选项，因为a，b,c是非零平面向量,若abac0，则ab，ac，所以

b//c，即B正确；

C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由a//b//c不能推出

a+b+cabc；如a与b同向，c与a反向，且abc，则a+b+cabc，故C错；

D选项，若ab0，则ababab2ab2ab222ab22，

ab2ab2ab222ab，所以abab，即D正确.

故选：BD. 【点睛】

本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.

2．AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A，由平面向量数量积定义可知

解析：AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A，由平面向量数量积定义可知ababcosa,b，则|ab||a||b|，所以A正确，

对于B，当a与c都和b垂直时，a与c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，

对于C，两个非零向量a，b，若|ab||a||b|，可得(ab)2(|a||b|)2，即

2ab2|a||b|，cos1，

则两个向量的夹角为，则a与b共线且反向，故C正确； 对于D，已知a(1,2)，b(1,1)且a与ab的夹角为锐角， 可得a(ab)0即|a|2ab0可得530，解得5， 3当a与ab的夹角为0时，ab(1,2)，所以2220 所以a与ab的夹角为锐角时故选:AC. 【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

5且0，故D错误； 33．BCD 【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确. 【详解】 解：因为，，

所以B是的中点，P是的

解析：BCD 【分析】

本题先确定B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确； 再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出S△APQ2，故选项D正确. 【详解】

解：因为2PAPC0，QA2QB，

所以B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为BPBAAPBA121BCBABABC，故选项B正确； 333因为

S△APQS△ABC112ABh32，所以，S2△APQ2，故选项D正确. 13ABh2故选：BCD 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

4．ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；

对于B，根据正弦定

解析：ABD 【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】

对于A，设ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理

a732R，可得R，所以sinA3ABC的外接圆面积是SR249，故A正确； 3对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合ABC，可将原式化为

2RsinBcosC2RsinCcosB2Rsin(BC)2RsinAa，故B正确．

对于C，bc2R(sinBsinC)2R[sinBsin(2B)] 31314(cosBsinB)14sin(B)

223bc14，故C错误．

对于D，设A到直线BC的距离为d，根据面积公式可得

11adbcsinA，即22bcsinA，再根据①中的结论，可得d73，故D正确． a故选：ABD. 【点睛】 d本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．

5．CD 【分析】

对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A，向量(

解析：CD 【分析】

对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(ab)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】

对于A，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab2110，则a,b的夹角为锐角，错误；

对于B，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为

abb2，错2误；

对于C，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab (1，2)，若(ab)∥c，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn11 (2m•n) 222mn2

)=2，即mn的最大值为2，正确； 2故选：CD. 【点睛】

(

本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

6．AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A正确； ，故B错误；

解析：AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A；利用向量模的坐标求法可判断B；利用向量数量积的坐标运算可判断C；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】

由向量a1,0，b2,2，

则a2b1,022,25,4，故A正确；

b222222，故B错误；

cosa,babab1202120222222，2

又a,b0,，所以a与b的夹角为45°，故C正确； 由a1,0，a2b5,4，140540，故D错误. 故选：AC 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

7．ABD 【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】

对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；

对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为

解析：ABD 【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】

对A：因为abcabac，又abac，故可得abc0， 故abc，故A选项正确；

对B：因为|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，故可得ab211. 2abb1b，故B选项正确； 故a在b上的投影向量为b2对C：点P在△ABC所在的平面内，满足PAPBPC0，则点P为三角形ABC的重心，

故C选项错误；

对D：不妨设A1,1,B2,3,C6,1,D5,1，

则ABAD1,24,25,0AC，故四边形ABCD是平行四边形； 又ABAD14220，则ABAD，故四边形ABCD是矩形. 故D选项正确；

综上所述，正确的有：ABD. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.

8．AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D． 【详解】

解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共

解析：AC

【分析】

根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断B；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C，由数量积及平面向量共线定理判断D． 【详解】

解：因为AB,AC不能构成该平面的基底，所以AB//AC，又AB,AC有公共点A，所以A、B、C共线，即A正确；

由平面向量的数量积可知，若abbc，则|a||b|cosa,b|b||c|cosb,c，所以

|a|cosa,b|c|cosb,c，无法得到ac，即B不正确；

设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则GAGB2GM，而

GC2GM，所以GAGBGC0，即C正确；

a1，2，b2,，若a，b的夹角为锐角，则ab220解得1，且a与b不能共线，即4，所以,4故选：AC． 【点睛】

本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．

4,1，故D错误；

9．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sinB的值，由此得出正确选项. 【详解】

1ab2bsinA解：根据正弦定理得： 22， sinBsinAsinBa12由于b故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

21a，所以B45或B135.

10．BD

【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】

解：对于A，，故A错误；

对于B，若，则，所以，，故，即B正确； 对于C，，则或与共线，故C错误； 对于D，在四边形中，若

解析：BD 【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】

解：对于A，0a0，故A错误； 对于B，若ab，则ab0，所以|ab|22222222ab2abab，|ab|ab2abab，故|ab||ab|，即B正确；

对于C，AB//CD，则AB//CD或AB与CD共线，故C错误；

对于D，在四边形ABCD中，若ABCD0，即ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形，又ACBD0，所以ACBD，所以四边形ABCD是菱形，故D正确； 故选：BD 【点睛】

本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.

11．AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误； 对于选项B，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B正确； 对于选项C，两个非零向量

解析：AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A，当b0时，a与c不一定共线，故A错误；

对于选项B，由PAPBPBPC，得PBCA0，所以PBCA，PBCA， 同理PACB，PCBA，故P是三角形ABC的垂心，所以B正确；

对于选项C，两个非零向量a，b，若abab，则a与b共线且反向，故C正确；

对于选项D，当b0，a0时，显然有a∥b，但此时不存在，故D错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

12．ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得

解析：ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是A(3,7),B(4,6),C(1,2),D(x,y)，分类讨论D点在平行四边形的位置有：ADBC，ADCB，ABCD，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】

第四个顶点为D(x,y)，

当ADBC时，(x3,y7)(3,8)，

解得x0,y1，此时第四个顶点的坐标为(0,1)； 当ADCB时，(x3,y7)(3,8)，

解得x6,y15，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当ABCD时，(1,1)(x1,y2)，

解得x2,y3，此时第四个项点的坐标为(2,3)． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)或(6,15)或(2,3)． 故选:ABC. 【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

13．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可.

【详解】 ; ; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

ABBCCAACCA0;

ABACBDCD(ABBD)(ACCD)ADAD0; OAODAD(OAAD)ODODOD0; NQQPMNMPNPPMMNNMNM0.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

14．AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A､D是正确的，选项B不正确；对于选项C，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】

由平面向量基本定理可知,A､D是正确的. 对于B,由平面向量基本

解析：AD 【分析】

根据平面向量基本定理可知,A､D是正确的，选项B不正确；对于选项C，当两个向量均为

0时，有无数个,故不正确.

【详解】

由平面向量基本定理可知,A､D是正确的.

对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C,当两向量的系数均为零,即12120时, 这样的有无数个，所以不正确. 故选:AD.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

先化简已知abcacb23ac得B6，再化简

cosAsinC3sin(A【详解】

3)，利用三角函数的图像和性质求其范围.

由(abc)(acb)(23)ac可得(ac)2b2(23)ac，即

5a2c2b23BCA，所以，，，所以所以cosBacb3ac662ac2222cosAsinCcosAsin(5A)65533cosAsincosAcossinAcosAsinA3sin(A)，又

662235250A，0A，所以A，所以A，所以

2623233633333sin(A)，故cosAsinC的取值范围为(,)．故选A．

22262【点睛】

(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A的范围

3A2，不是

0A17．C

2.

【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为ab，所以a,b的夹角为0或者，则a在b上的投影为|a|cos|a|，故A不正确；设c(1,0),b(0,0),a(0,2)，则有acbc(c0)，但ab，故B不正

确；

ABDC,|AB||DC|且AB//DC，又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形

ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且

|AB||DC|，所以ABDC，故C正确；ab0时，a,b的夹角可能为0，故D不正

确. 故选：C 【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．B 【分析】

延长PB至D，可得出点P是ADC的重心，再根据重心的性质可得出结论。 【详解】

延长PB至D，使得PD2PB，于是有PAPDPC0，即点P是ADC的重心，依据重心的性质，有S△PADS△PACS△PDC.由B是PD的中点，得

S△PAB:S△PAC:S△PBC1:2:1.

故选：B 【点睛】

本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。 19．A 【分析】 根据题意得出

tanAtanBtanC，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出abcABC，从而可得知ABC为等边三角形，进而可求得BC所对的ABC外接圆的劣弧

长. 【详解】

aOAbOBcOC0，OCabOAOB， cctanAactanAtanBtanCOAOB，同理可得OC，

btanBtanCtanCtanCctanAtanBtanC， abctanAtanBtanC111，所以，， sinAsinBsinCcosAcosBcosC由正弦定理得

cosAcosBcosC，

由于余弦函数ycosx在区间0,上单调递减，所以，ABC， 332设ABC的外接圆半径为R，则，R1， 3222所以，边BC所对的ABC外接圆的劣弧长为R2A1. 33故选：A. 【点睛】

2R本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．B 【分析】

先化简得PACB0,PBCA0,PCAB0，即得点P为三角形ABC的垂心. 【详解】

由于三角形ABC所在平面内一点P满足PAPBPBPCPCPA， 则PAPBPC0,PBPAPC0,PCPBPA0 即有PACB0,PBCA0,PCAB0， 即有PACB,PBCA,PCAB， 则点P为三角形ABC的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．B 【分析】

在三角形ABC中，根据a1，c42，B45，利用余弦定理求得边b,再利用正弦

asinAbc求解. sinBsinC【详解】

定理

在三角形ABC中， a1，c42，B45， 由余弦定理得：b2a2c22accosB，

1322142所以b5， 由正弦定理得：

225， 2bc， sinBsinC所以

sinCcsinBb42224， 55故选：B 【点睛】

本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．A 【解析】

分析：由题意，在ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．

详解：由题意，在ABC内有一点O，满足3OA4OB5OC0，

由奔驰定理可得SBOC:SAOC:SBOA3:4:5，所以SBOC:SABC3:121:4， 故选A．

点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 23．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】

ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，可得G

21为重心，则BGBE，CG2GF，DGGA且GAGBGC0

32故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 24．C 【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】

由|OP，可知点O是PP12P3的外心， 1||OP2||OP3|1PP又OP12P3的重心， 1OP2OP30，可知点O是

所以点O既是PP12P3的外心，又是PP12P3的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂

心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．B 【分析】

设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=

3x，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 3BC，从而可求x即塔高． 【详解】

设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x， 从而有BC=323x，AC=x， 33在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，可得，BC=

BCCD

sinBDCsinCBD10sin453102x.

sin303则x=106；

所以塔AB的高是106米； 故选B． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 26．D 【分析】

设COyBC，则AOACCOACyBCyAB1yAC，根据

BC3CD得出y的范围，再结合AOxAB1xAC得到x,y的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设COyBC，

则AOACCOACyBCACyACAByAB1yAC, 因为BC3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)， 所以y0,，

又因为AOxAB1xAC，

13所以xy，所以x,0. 故选：D 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般. 27．D 【详解】

13fx2cos2x3sin2xcos2x3sin2x12sin(2x)1，当x612对称；

631255,1)对称； 当x时,2sin(2x)11 ,∴f(x)关于点(12612时,sin(2x)sin1,∴f(x)不关于直线xf(x)得周期T当x(2， 23,0)时,2x6(,) ,∴f(x)在(,0)上是增函数． 263本题选择D选项. 28．D 【详解】 由余弦定理得解得【考点】 余弦定理 【名师点睛】

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 29．D 【分析】

本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】

（

舍去），故选D.

，

①如图可知AD＝AC＋CD＝AC＋＝－b－

11CB＝－CA－BC 221a，故①正确． 2②BE＝BC＋CE＝BC＋＝a＋

1CA 21b，故②正确． 211AB＝b＋(－a－b) 22③CF＝CA＋AE＝CA＋＝－

11a＋b，故③正确． 22④AD＋BE＋CF＝－DA＋BE＋CF ＝－(DC＋CA)＋BE＋CF ＝－(

1111a＋b)＋a＋b－a＋b＝0，故④正确． 2222故选D. 【点睛】

本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量． 30．B 【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】

如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB， 因为M是线段AD的中点，所以：

BM1111BABDABtACtABt1ABtAC， 2222又BMABAC，所以所以故选：B.

11t1，t， 221. 2

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 31．C 【详解】

试题分析：因为OAOBOC，所以O到定点A,B,C的距离相等，所以O为ABC的外心，由NANBNC0，则NANBNC，取AB的中点E，则

NANB2NECN，所以2NECN，所以N是ABC的重心；由PA•PBPB•PCPC•PA，得(PAPC)PB0，即ACPB0，所以

ACPB，同理ABPC，所以点P为ABC的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用. 32．D 【分析】

由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量CP,CA,CD的关系，可得DP与AD的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】

延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线， 所以CPmCAnCD(mn1)，设CDkCB 代入可得CPmCAnkCB

即APACmACnk(ABAC)AP(1mnk)ACnkAB

又因为AP解得m1111ABAC，即nk,1mnk，且mn1 424213,n 44所以CP13CACD可得AD4PD 44因为BPC与ABC有相同的底边，所以面积之比就等于DP与AD之比 所以BPC与ABC的面积之比为故选D 【点睛】

本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目. 33．C 【分析】

2211AB，同理得出AMACAC，由此得出关于实22数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43的值.

1 4作出图形，先推导出AMAB【详解】

如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AMAEEM且EMAB，

21AB， 2AMABAEEMABAEABEMAB同理可得AMAC21AC， 2

ABAC86cos6024，

21AMABABABACAB3224322由，可得，即，

21ABACAC18243618AMACAC2解得5，1225273. ，因此，43491293故选：C. 【点睛】

本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 34．C 【分析】

根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】

解：BFBAAFBA111AEABADABCE 222111ABADABCB

223ABABAB111ADABCB 246111ADABCDDAAB 2461111ADABABADAB 2462AB1111ADABABAD 2412621ABAD 33故选：C. 【点睛】

本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 35．A 【分析】

设asinBbsinACH，则CP线CD上，即可得答案； 【详解】 如图，

mab，再利用平行四边形法则可知，P在中CH

asinBbsinACH，∴OPOCmmab，CPab， CHCH由平行四边形法则可知，P在中线CD上，

P的轨迹一定通过ABC的重心.

故选：A. 【点睛】

本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.