高三期末考试数学试题及答案

一、填空题：

1.设集合Mxxsinn33,nZ，则满足条件P,M的集合P的个数是___个

2322.若

cos22，则cossin= π2sin44x3y2503．已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组x2y20，则cosPOQ的

x10最小值为__________

4.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且则直线PB的方程是_____________________ 5.已知函数f(x)在x1处的导数为1，则limx0PAPB，若直线PA的方程为xy10，

f(1x)f(1)=___________

2x6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函

数：

f1xsinxcosx ,f2x2sinx2，f3xsinx则___________________为

2“同形”函数 7.椭圆axby21与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为

3a,则=________ 2b8.一次研究性课堂上，老师给出函数

f(x)x(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分

1|x|别给出命题：

甲：函数f (x)的值域为（－1，1）； 乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；

丙：若规定f1(x)f(x),fn(x)f(fn1(x)),则fn(x) 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个

x对任意nN恒成立.

1n|x|2b2的最小值为 x10.若直线y2a与函数y|a1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 11.“已知数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若存在正整数m,nmn，使得SmSn，则

9.过定点P（1,2）的直线在x轴与y轴正半轴上的截距分别为a、b,则4aSmn0。”，类比前面结论，若正项数列bn为等比数列，

12. Rt△ABC中,斜边AB=1,E为AB的中点,CD⊥AB,则(CACD)(CACE)的最大值为_________.

b113.设A=(a1,a2,a3)，B=b2，记A☉B=maxa1b1,a2b2,a3b3，若A=(x1,x1,1)，

b31B=x2，且A☉B=x1，则x的取值范围为 。 x114.设A为锐角三角形的内角，a是大于0的正常数，函数y则a=___ _ 二、解答题

15.已知f(x)ax33x2x1，aR． （1）当a3时，求证：f(x)在R上是减函数；

（2）如果对xR不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围． 16.在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，a为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d。

⑴求角A的正弦值； ⑵求边b、c； ⑶求d的取值范围 17.已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．A 1(Ⅰ) 求证：B1D1AE；(Ⅱ) 求证：AC//平面B1DE； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

21a的最小值是9， cosA1cosAc2b28bc，a=3, △ABC的面积为6，D5D1C1B1ECDAB18.已知直线(14k)x(23k)y(312k)0(kR)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知圆O:xy1,直线l:mxny221.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,

直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.

19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：

11f(t)g(t)a2a，t[0,24)，其中，g(t)sin(t18)代表大气中某类随时间t变化的典型污

2243染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且a[0,⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M（a）的表达式；

3]。 4⑶若该市要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。 20.已知函数f(x)x3ax(aR)

3 （1）当a1时，求f(x)的最小值；

（2）若直线xym0对任意的mR都不是曲线yf(x)的切线，

求a的取值范围

（3）设g(x)|f(x)|,x[1,1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式。

参：

1. 4 2.

2111 3. 3. 4. xy50 5. 6. f1x,f2x

22227.

31 8. 3 9.32 10. (0,) 11. 它的前n项乘积为Tn，若TmTn，则Tmn1 222 13. [1，1+2] 14. 4 27/22∵f(x)9x6x1(3x1)0，∴f(x)在R上是减函数.

12.

3215．解：（1）当a3时，f(x)3x3xx1，

（2）∵xR不等式f(x)4x恒成立，即xR不等式3ax26x14x恒成立， ∴xR不等式3ax22x10恒成立. 当a0时，xR 2x10不恒成立； 当a0时，xR不等式3ax22x10恒成立，即412a0，∴a.

13]. 当a0时，xR不等式3ax2x10不恒成立. 综上，a的取值范围是(，21316．解：(1) a2c2b2(2)SABC8bc5b2c2a242bccosAsinA

535113bcsinAbc6，bc20 225b2c2a24由及bc20与a=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4

2bc51(3)设D到三边的距离分别为x、y、z，则SABC(3x4y5z)6

23x4y12，121dxyz(2xy) 又x、y满足x0，

55y0，12画出不等式表示的平面区域得：d4

517. (Ⅰ)证明：连结BD，则BD//B1D1， …………1分 ∵ABCD是正方形，∴AC又ACBD．∵CE面ABCD，∴CEBD．

CEC，∴BD面ACE． ………………4分

∵AE面ACE，∴BDAE，

∴B1D1AE． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作BB1的中点F，连结AF、CF、EF． ∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CEB1F，

∴四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF// B1E． ………7分 ∵E,F是CC1、BB1的中点，∴EF//BC， 又BC//AD，∴EF//AD．

∴四边形ADEF是平行四边形，AF//ED， ∵AFCFC，B1EEDE，

∴平面ACF//面B1DE． …………………………………9分 又AC平面ACF，∴AC//面B1DE． ………………10分 （Ⅲ）SABDVABDE1ABAD2． ……………………………12分 2112VEABDSABDCESABDCE． ……………………………15分

33318.解: （1）由(14k)x(23k)y(312k)0(kR),得(x2y3)k(4x3y12)0,

c3x2y30xy 则由,解得F（3,0） 设椭圆C的方程为221(ab0),则ac8,

ab4x3y120a2b2c222a5x2y21 解得b4 所以椭圆C的方程为

2516c3m2n2m2n2, 从而圆心O到直线 （2）因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以12516l:mxny1的距离d1mn221r. 所以直线l与圆O恒相交

又直线l被圆O截得的弦长为L2rd2122112221mn9225

m16由于0m25,所以1621692,], m1625,则L[252516,] 25即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L[19. 解：⑴g(t) 的值域为[0，

1]…………………5分 257a,a[0,]612⑵ M(a)…………………10分

1733a,a(,]3124⑶当a[0,775175]时，M(a)a≤+=<2; 126126127319123当a(,]时，M(a)3a≤2.

12434312所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。…………………15分 20.解：（1）当a1时,f(x)3x3,令f(x)0,得x1或x1

当x(1,1)时，f(x)0,当x(,1][1,)时，f(x)0， f(x)的极小值是f(1)2

（2）f(x)3x3a3a，要使直线xym0对任意的

'2'''2'mR都不是曲线

yf(x)的切线，当且仅当13a时成立，a31 3 （3）因g(x)|fx)||x3ax|在[1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值 ①当a ②当a0时，f'(x)0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)0,g(x)f(x)

0时，f'(x)3x23a3(xa)(xa),（ⅰ）当a1,即a1

a1,即0a1时，f(x)在[0,a]上单调递减, 在[a,1]单调递增；

（ⅱ）当01°当

1f(1)13a0,即a1时，

3f(1)13a0,即0a1 3 F(a)f(a)2aa；2°当 （ⅰ）当1f(a)f(1)13a,即0a时,F(a)f(1)13a

411 （ⅱ）当f(a)f(1)13a,即a时,F(a)f(a)2aa

43113a,(a)4综上 F(x)2aa,(1a1)

43a1,(a1)