高三数学二项式定理

1． 知识精讲：

0n1n1rnrrnn（1）二项式定理：abCnaCnabCnabCnb（nN）

nrnrr其通项是Tr1Cnab （r=0,1,2,……,n），知4求1，如：T6T51Cnan5b5

5rnr亦可写成：Tr1Cna()

barnnn1n1rnrrabnCn0anCnab1Cnab1Cnb（nN） 0n1rnrnn特别地：1xCnxCnxCnxCnx（nN）

n其中，Cn——二项式系数。而系数是字母前的常数。

12n例1．Cn等于 （ ） 3Cn9Cn3n1Cn3r4n4n1

1 D.A．4 B。34 C。 33

nn12n解：设SnCn，于是： 3Cn9Cn3n1Cn12n12n=Cn3Cn3Sn3Cn32Cn33Cn3nCn32Cn33Cn3nCn1

3033故选D

例2．（1）求(12x)的展开式的第四项的系数；

（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数 71x933337解：（1）(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)280x，

∴(12x)的展开式的第四项的系数是280． （2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x719x∴92r3，r3，

r9r1()r(1)rC9rx92r， x33333∴x的系数(1)C984，x的二项式系数C984．

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的

0n1n12n2knk二项式系数相等，即CnCn,CnCn,CnCn,CnCn,

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：CnrmaxCnTn；

21n2如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即

Crn11nmaxCn2Cnn2Tn11Tn1。

221③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2n即C01CnnnCnn2；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，C02C13nCnnCn2n1

例3．已知(12x)7a270a1xa2xLa7x，求：

（1）a1a2La7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1|L|a7|. 解：（1）当x1时，(12x)7(12)71，展开式右边为

a0a1a2La7

∴a0a1a2La71，

当x0时，a01，∴a1a2La7112， （2）令x1， a0a1a2La71 ①

令x1，aa70a1a23a4a5a6a73 ②

①② 得：2(aa7a1371a35a7)13，∴ a13a5a72.

（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+② 得：2(a70a2a4a6)13，

aa137∴0a2a462，

∴|a0||a1|L|a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37 即

1例4．（1）如果在x 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有42x理项。

n1的展开式的常数项。 2（2）求xxnn(n1)解：（1）展开式中前三项的系数分别为1， ，，

28nn(n1)由题意得：2×=1+得n=8。

28设第r+1项为有理项，Tr1有理项为T1x,T5431crx2r8163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。

351。 x,T98256x23【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。

x12x6r2（2）

rr1xxr26，其展开式的通项为

Tr11C6x所以，常数项为

16rr6rrx1rCrx22—062，令2得r3

T420

【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。

（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：22nn3,nN取

n2n11的展开式中的四项即可。

nn1n12n2n1Cn7被9除得的余数是 （ ） 例5、 若n为奇数，则7Cn7Cn7A．0 B。2 C。7

n1n12n2n1Cn78n1911 解：7Cn7Cn7n=9n1n1Cn91Cnn1911

n1nn1n1Cn91Cnn19]2

n1因为n为奇数，所以原式=[9所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C 例6：当nN且n>1，求证2(11n)3 n证明: (11)n1C11C21Cn11C112

nnnn2nnnnnnnn1nn1n21nn1n2321 1122!n23!n!nnnn111n111111122 222n1212!3!n!2221231 从而2(11)n3 3.n2n1【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。 3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。 4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，Cnarnrbr是第r+1项。

rnrr②通项是Tr1Cnab （r=0,1,2,……,n）中含有Tr1,a,b,n,r五个元素，只要知道

其中四个即可求第五个元素。

③注意二项式系数与某一项系数的异同。

④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1x)的近似值。

n