相似三角形(1)平行相似

【基础回顾】

1.如图，直线AB∥CD∥EF,若AC=3，CE=4，则

BD的值 BF

2.如图，△ABC中，MN∥BC，则

BMAMAB(___)MNAN ,,CN(____)AMAN(___)AC

3.如图，平行四边形ABCD,E为BC上一点，BE:EC=2:3，AE交BD于F,则

BEBF_____,_____ ADFD

【例题解析】

类型一、平行线分线段成比例

【例1】如图，DE∥BC，且DBAE,若AB5，AC10，求AE的长.

A

ED

B

【练】1.E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE：EC=1：3，则BF：FG=

1

C【例2】如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.

【练】一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米.

【例3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， AB12，CD9，过对角线交点O作 EF∥CD交AD，BC于E，F，求EF的长。

D

F EO

B A

【练】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ADa，BCb，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。

C

类型二、构造平行线证相似

【例1】如图，在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE1AB， 4BC

_______. CD

连接EM并延长，交BC的延长线于D，则

2

AE2AF

【练】如图，在△ABC中，D为BC的中点，F为AB上任一点，CF交AD于E，求证： =

EDBF

【例2】ABC中，ACB90，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：PA:PBCM:CN。

BD:DC2:1，AD与CE相交于F，【练】如图，已知ABC中，AE:EB1:3，则

EFAF FCFD的值为.

类型三、相似三角形中的面积问题 【例1】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）． A． 1：2 B． 1：4

AC． 2：1 D． 4：1

ED

BC

【练】在△ABC中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB,△ADE, △EFG ,△GIC的面积分别为20,45,80, 则△ABC 的面积为 .

A

DE GF3

BHICAB2BC【例2】在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ACD=∠B，求证: CD2AD

ADBC【练】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC为其一条对角线且∠ACD =∠B，已知AB=15，CD=10，DA=8，求BC的长。

A D

1

2 B C

【拓展1】在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线AC、BD相交于点O，设 △AOD的面积为S1， 2△BOC的面积为S2，梯形的面积分别为S，则 SS1S2 DA S1 O

S2

BC

【拓展2】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x的关系，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A A O N M N M M N O O P C B C C B B D P 图 1

图 2 4

图 3

【家庭作业】

1.在三角形ABC中AE=ED=DC,FE∥MD∥BC,FD的延长线交BC的延长线于N，则

EF= . BN

2.如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若AD2DE，求证: AP3AB。

A

B

D CPE

3.如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

BFBD CFCE

5

4.如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点. （1）如果E是AD的中点，求证：

AF1； FC2（2）由（1）知，当E是AD中点时，

AF1AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、FC2ED，上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. D 不重合）

5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，已知

AFEBDCSOD2，则VABD的值。

SVABCOB3

A D

O

B C

6.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E为DC中点，直线BE交AC于F，交AD的延长线于G； 求证：EF·BG=BF·EG G

EDC

F

AB 6