论文,修改后

湖 北 大 学

本 科 毕 业 论 文 （设 计）

题 目 数理统计在生活中的应用 姓 名 李嵩 学 号 2010221104110099 专业年级 10数2 指导教师 游春林 职 称 副教授

2014年 6 月 日

湖北大学本科毕业论文（设计）

目 录

绪论 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1） 1 概率统计的概念与发展„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5）1.1 概率统计的概念„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5） 1.2 概率统计的发展„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 1.2.1概率统计的起源„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6）

1.2.2概率统计的发展„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 2 概率统计中的一些简单的理论与公式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 2.1 概率统计中的分布„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 2.2 概率统计中的一些简单公式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 3 概率统计在生活中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 3.1 在日常保险中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6） 3.2 在抽签、摸彩中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.3在现实决策中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（15）

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数理统计在经济与生活中的应用

摘 要

随着时代的发展以及科学的不断进步，数学在经济中的应用越来越多，可以说经济中到处充满了数学的影子。而概率统计作为数学的一个及其重要部分，在经济中也在发挥着越来越重要的作用。许多看似难以解决或深奥的问题，如果能够通过概率统计的知识，将它们转化成为纯数学的问题，那么很多问题都可以非常轻松的解决。我们还可以把概率统计作为一个工具对在过往的经济领域中得到的一些数据进行分析和总结，就能在未来如果遇到相似的问题时，做出更全面、更正确和更理智的抉择，从而避免了很多的不必要的麻烦。同样在生活中我没遇到的一些大大小小的问题很多也是涉及概率统计的，如果我们能够很好的掌握这门学科对我们以后的生活有很大帮组。本文首先对概率统计的概念进行了一些梳理，并叙述了概率统计的发展过程。并通过对、经济效益、经济预算、公司运营以及相遇问题等经济与生活中的一些问题进行了诠释以及举例说明，体现出了概率统计的在经济中的重要性以及这门学科的重要性。

【关键词】概率统计 概率统计的含义 概率统计的应用

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Application of mathematical statistic in life

Abstract

With the progress of the times, as well as the development of science, mathematics more widely applied in life, we can say that life, full of the shadow of the mathematics. Probability and statistics as mathematics as a vital part in life is also playing an increasingly wide range of applications. Many seemingly esoteric or difficult to solve, if we can through the knowledge of probability and statistics, they transformed into pure mathematics, then many problems can be very easy to solve. We can also probability and statistics as a tool some of the data obtained in the past experience summary and analysis, so that in the future when you encounter the same or similar things, we can make a more comprehensive, more accurate and more rational choice, thus avoiding a lot of unnecessary trouble and unnecessary detours. Firstly, the concept of probability and statistics, some of the comb, and described the process of development of probability and statistics. And interpretation of life through the lottery on the drawing of lots, the work of decision-making, economic efficiency, economic budget, and encounter problems as well as example, reflect the importance of probability and statistics.

【Key words】 Probability and Statistics the meaning of probability and statistics the application of

probability and statistics

III

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绪论

概率统计是一门与生活联系紧密的学科同时也是一门相当有趣的数学分支学科，17、18世纪，数学获得了飞速的发展。数学家们打破了古希腊的思维束缚，向社会生活的多方面以及自然界等一些方面寻求思路，数学领域出现了许多杰出的人才，热后来经过他们的努力，一些东西成为了完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论则成为了这一时期使“欧几里得几何相形见绌”的几个重大成就的其中之一。

概率统计的起源与有关，随着科学技术的发展以及计算机的普及,它最近几十年来在社会科学和自然科学中得到了广泛的应用,在经济生活中起着非常重要的作用。我们生活在一个不断变化的年代里，而我们每个人每时每刻都要面对经济中碰到的问题。而其中大部分的问题都是随机的、不确定的。如决策时如何获得最大利益，公司如何组合生产才能获得最大收益，等等，当我们在碰到这些问题时应该怎样解决它呢？幸亏我们现在有了概率统计，概率统计是一门研究和揭示随机现象及其规律的一门数学学科。

实践证明,概率统计是对经济中遇到的问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文就通过列举一系列的实例来阐述概率统计在的应用、中的应用、经济效益中的应用、最大利润问题中的应用、在经济保险问题中的应用、在金融领域中的应用、在商品检测中的应用在运输预算中的应用等方面中的应用。

1 概率统计的概念与发展

1.1 概率统计的概念

自然界和社会上每时每刻都发生着多种多样的现象，这其中有一种现象，在一定条件下必然发生，例如，异性磁极必然相互吸引，向上抛一本书一个苹果必然下落等等。这类现象我们称之为确定性现象。同时呢在自然界中还存在着另外一种现象，例如，我们随机投一个5角钱的硬币，我们也不能确定是字在上面，还是花在上面；明天的股市是上涨还是下跌等等。这类现象，在一定的条件下，可能出现这样的结果也可能出现那样的结果，这些结果往往是在实验之前我们所不能准确判断出来的，但是经过人们的不断探索和总结，人们终于发现这类现象如果在大量的重复试验，不断地统计后，它的结果却呈现出某种规律性。例如多次重复抛一枚股子，每个点数出现的概率大概趋于六分之一，股市的上涨和下跌按照一定规律分布，等等。这种大量重复试验或观察中所呈现出是固有规律性就是我们所谓的统计规律性。这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象我们称之为随机现象，所以我们说概率统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。

1.2 概率统计的发展 1.2.1 概率统计的起源

概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时一个关于的问题刺激数学家们首先思考概率论的问题。数学家费马向另外一名数学家帕斯卡提出这样的一个问题：“两个赌徒做了一个赌局，规定谁先赢z局谁就胜利，当第一个赌徒赢x局［x < z］，而赌徒第二个赢y局［y < z］时，中止，那赌本应怎样分才合理呢？”于是这两位数学家用两种截然不同的思想，在16年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一位著名数学家惠根斯也用其自己的方法解决了这一难题，更写成了《论中的计算》，这就是概率论最早的论着，在他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。

1.2.2 概率统计的发展

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概率统计的发展是漫长而又艰辛的，最开始是瑞士数学家雅各布-伯努利的出现给这么学科带来了新的活力，他通过在自己的不断探索和努力使概率论成为了一门的数学分支。他的遗著《猜度术》中，成功的建立了概率论中的第一个极限定理，这个伟大的定理被后人称为“伯努利大数定理”，即“在次数越多的重复试验中，事件的频率越有趋于稳定的趋势”。到了1730年，又出现了一位伟大的数学家，他就是法国数学家棣莫弗—拉普拉斯定理，他著名的著作《分析杂论》成为经典，当中包含了为人津津乐道的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。这个定理就是概率论中第二个基本极限定理的最初形式。1812年，拉普拉斯又出版了《概率的分析理论》，在这个著作中，他第一次明确对概率作了古典的定义。另在此后的不断地学习与探索中，他又和另外几位著名的数学家一起建立起了关于“正态分布经”及“最小二乘法”的理论。

法国的泊松也是概率论的发展上很重要的人物。经过他的努力，使得大数定律在伯努利形式下的得到了进一步的推广和加深，从而研究得出了一种新的分布，那就是我们所熟知的泊松分布。经过人们不断地探索，不断深入的研究，现在概率统计的中心研究课题已经主要集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理上面。1901年，概率论又有了重大的突破，在这个时期，中心极限定理终于被严格的证明了，正是因为这个定理，生活中的许多随机现象都被合理的证明了服从正太分布。到了20世纪的30年代初期，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年被奠定其地位。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了增量过程的一般理论。

从1942年开始，伴随着随机积分以及随机微分方程的引入，不仅开启了一个全新的随机过程研究，而且为随机分析的创立和发展奠定了坚实的基础。概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。现实当中，我们遇到许多的现象多多少少都涉及了概率统计的知识，而且随着科学的发展，这门学科不断凸显着他的重要性，他的应用领域也在不断地扩大。

2概率统计中的一些理论与公式 2.1概率统计中的分布

概率统计中的理论非常多，一些看似简单的理论在生活中却发挥着很大的作用。在本科阶段我们经常会遇到，并且能够经常应用到实际生活当中的一些简单理论中就包含着我们熟知的八种常见的分布，这八种分布对解决生活中实际问题的帮助是非常大的，只有准确的掌握这八种分布的公式，才能进一步将它更好的应用到实际的问题当中，才能为深入的学习这门课程打下坚实的基础。因此需要我们对这八重分布有一些理解，下面就对这八种常见的分布做一些简单的介绍。

0-1分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布：在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为

p。事件A发生的次数是随

kknkP(Xk)Pn(k)Cnpq0,1,2,,nXX机变量，设为，则可能取值为。，其中

q1p,0p1,k0,1,2,,n，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）

分布是二项分布的特例。

泊松分布：设随机变量X的分布律为

P(Xk)kk!e，0，k0,1,2，

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则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~()或者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

knkk0,1,2,lCMCNM超几何分布：P(Xk),随机变量X服从参数为n,N,M,nlmin(M,n)CN的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布：P(Xk)qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布：设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数

1，即 ba

1,axbf(x)ba其他，

0,则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

0， xF(x)f(x)dxx

当a≤x1xa,ba a≤x≤b

1， x>b。

P(x1Xx2)

指数分布：

x2x1。

baf(x)

ex, x0,

0, x0,

其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为 x1e, x0, F(x)

0, x<0。

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记住积分公式：

nxxedxn! 0 正态分布：设随机变量X的密度函数为

f(x)12e(x)222， x，

其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）

2X~N(,)。 分布，记为

f(x)具有如下性质：

1° f(x)的图形是关于x对称的； 2° 当x时，f()2X~N(,)，则X的分布函数为 若

12(t)222为最大值；

1(x)2

xedt。

参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为

(x)分布函数为

1e2x22，x，

(x)

12xet22dt。

(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝1。

2Xxx2如果X~N(,)，则~N(0,1)。P(x1Xx2)21。

2.2 概率统计中的一些简单公式

公式可以说是数学的基础，对于概率统计这门数学的分支学科，掌握好它的公式也是非

常重要的，只有更好的掌握这些常见的简单的公式，在遇到实际的问题的时候才能巧妙地解决它。概率统计中也有很多公式需要我们熟知，其中最为常见的，应用最多的几个公式我们来简单的介绍一下。 排列组合公式：Pmnm!,从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(mn)!m! ,从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!(mn)! Cmn 加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

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减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB),当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B),当A=Ω时，P(B)=1- P(B)

乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A).更一般地，对事件A1，A2，„An，若P(A1A2„An-1)>0，则有

P(A1A2„An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)„„P(An|A1A2„An1)。

全概率公式：设事件B1,B2,,Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P(Bi)0(i1,2,,n)， 2°

则有

ABii1n，

P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)

贝叶斯公式：设事件B1，B2，„，Bn及A满足

1° B1，B2，„，Bn两两互不相容，p(Bi)0(i1,2,,n)

n 2° Ai1Bi，p(A)0,则 P(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)n(i1,2,,n)

P(Bj1j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。

（i1，2，„，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i1，2，„，n），通常P(Bi)，

称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果朔因”的推断。在

生活中一些问题就是需要这种方法来巧妙地解决。

这些公式在学习概率统计这门学科是最早接触到的，简单的记住这些公式当然是远远不够的，要在理解方面多下功夫，这样才能更好地将其应用到实际问题当中。

3 概率统计在生活中的应用 3.1在日常保险中的应用

生活中我们每个人都会遇到很多保险的推销员向我们推销这样的或者那样的保险，其实在这种日常的保险行业中也存在许多概率统计这门学科可以解决的问题，保险公司在推出一样新的产品的时候，一定会对这中保险做出简单的预算，对保险公司一年的业绩进行详细的评估，这种看似很常见的问题，其实也涉及概率统计的一些应用。例如，已知在太平人寿保险公司，其中10000个人买了保险,在参保一年内，假设参保人死亡的概率为0.006 ,每个人的保险费用均为12元/年,如果参保人死亡则其家属可以领取1000元保险金,那么假如公司要进行预算，这年保险公司不盈利的概率是多少？公司为期一年的利润大于40000元的概率是多少？只需设x是为期一年参加投保人的死亡人数，则问题可知

X~B10000,0.006

从而得到EXnp60，DXnp1p59.

当X120时就要亏本所以要求的是PX120由拉普拉斯定理得

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X6012060PX1201PX1201P17.7690

59.59.这样公司就会预测出经营亏本的概率几乎是不存在的，这样公司就能放心的去经营。那么要

使利润大于40000元，即支出要少于120000-40000=80000元 因此死亡人数不能多于

8000080人那么设利润不少于40000元的概率为p1，则 1000

X608060060p1P0X80P59.59.59.

7.7690.9952 2.58就可以推断出利润大于40000元的概率是0.9952

3.2 在抽签、摸彩中的应用

生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。有时候有些人认为先进行抽签的人会吃亏，而另一些人认为后抽签的人会吃亏，其实如果这些人掌握了概率统计这门学科就能轻易地对抽签这个问题做出正确的评价。下面我们就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果？假设在n个签中第x个抽签者抽到彩签，此时样本点取决于n个人

1中那个抽到彩签。共有Cn， 样本点，而第x个人抽彩签，只需其余（n-1）个人在（n-1）

个签中选。即 CnxnxnxCn1x个签中第x个人中签的 概率为Px.以上两种揭发所得结果1Cnn相同，都与抽签的顺序x无关，这证明抽签是公平的。如果n个人将有1个人中签，那么无论是先抽还是后抽，其中签的概率均为Px1；也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影n响到其公平性，无论这个人是先进行抽签还是后抽签，他们都是在公平的条件下进行的，抽到签的概率也是一样的，这就是概率统计在这种简单的抽签这种生活问题中的应用。再例如，有这样一种“摸彩”游戏，一个箱子内装完全相同的白球20个，且每个小球都编上号（1—20号）和1只黑球，规定：每次只允许摸一只球。摸前交10元钱且在1—20内写一个号码，摸到黑球奖50元，摸到号码数与你写的号码相同奖100元。该游戏对“摸彩”者有利吗？若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？如果掌握概率统计这也是很好判断的。P（摸到黑球）＝P（摸到同号球）1；因此是没有利的，每次的平均214011940(50100)(*10)0，2121收益为21故每次平均损失21元 3.3在现实决策中的应用

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概率统计在我们现实决策中也有很多的应用，我们经常遇到这样一种问题，两位同学约定一起去学校，他们决定在上午6：00到7：00之间到一家超市门口见面，先到的人要等没到的人15分钟，若没到的人仍不到则先走。那么他们能够相遇的概率是多少？假设两同学到达超市的时间是随机的而且都是在约定的一小时之内。若用x和y表示上午6：00以后甲乙到达目的地的时间，那么可以用有序对(x,y)来表示到达的时间，其中0再有就是我们经常遇到会有甲乙两电影院在竞争1000名观众，假定每个观众随意的选择一个电影院，且观众之间的选择是彼此的，问每个电影院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？以甲电影院为例，设甲电影院需要设M个座位，定义随机变量Xk如下：

10001第k个观众选择甲影院Xk k=1,2,„，1000，则甲影院观众总数为XXk

0相反k1又因为 EXK1 2111 2442DXkEXk2EXk2k1,2,,1000

n1000,n5000,n510

由同分布中心极限定理知

X500近似服从N0,1，从而

510X500M500M500PXMP99%

510510510查看正态分布表得

M5002.33

510所以 M5002.33510536.84，因此我们可以看出，每个戏院应设537个座位才能符合要求。

有时候在上班途中我们也会遇到决策的问题，这也可以用概率统计进行决策，例如小王上班有两条路可走，第一条路所需时间X~N40,102,第二条路所需要时Y~N50,42，若他提起一个小时去上班，走哪条路迟到的可能性小？若提前55分钟呢？ 因为

X~N40,102,Y~N50,42,所以

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湖北大学本科毕业论文（设计）

6040PX601PX601120.1228

106040PY601PY60112.50.0062

4因此走第二条路迟到的可能性小一点。 如果是提前55分钟，那么

5540PX551PX55111.50.0668

105540PY551PY55111.250.1056

4因此走第一条路迟到的概率比较小。

结论

本文对概率统计的发展和生活中的一些应用进行简单的论述，具体从他的起源、发展、理论基础及其进一步发展进行了详细的论述。概率论是一门研究随机现象中的数量规律的科学。随机现象在经济中无乃至生活中可谓是无处不在，经济全球化的日益快速进程，随着人类社会的发展，科学技术的进步，概率论在众多领域内扮演着重要的角色。

现代的概率论已经被非常全面的融入到各个科学分支和各个生产部门。尤其是经济方面发挥着举足轻重的作用。我们生活中无时无刻不在与概率统计打交道，甚至一些很小很琐碎的事情，当你停下来思考的时候，其中也有很多涉及概率统计这门学科的，这门学科对于我们来说确实是非常非常的重要。一些其他学科也同样需要概率统计的应用。因此，如果想要更好的学好其他学科, 我们就必须要把概率统计作为一个必不可少的数学工具, 这是一种发展的必然现象, 也是现代科学研究与应用的需要。更是为我们以后在生活中更好的处理关于经济，决策等一些事情做下良好的地基作用

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参考文献

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致 谢

光阴似箭，岁月如梭，转眼毕业在即。回想在数统学院求学的四年，心中充满无限感激和留恋之情。

首先我要感谢学校为我们提供了这么好的学习以及生活环境，让我能够安心的接受文化的熏陶，专心致志的学习科学文化知识。

其次我要感谢我的指导老师游春林老师，从论文开始就给我提供了很多的研究方向，并且在我论文的初稿阶段就给予了我很多的建议，初稿成型以后又一次一次的帮助我修改，可以说没有游春林老师就没有我这篇论文的成型。游老师渊博的知识，一丝不苟的做人态度都深深的感染了我，在他的熏陶下我学会了很多的知识，更学到了做人的道理。

我还要感谢我亲爱的数学专业的同学们，当我泄气的时候，是他们给了我支持和鼓励，当我没有信心的时候，是他们给了我继续奋斗的勇气。每一次和同学们的交流都使我受益良多。

最后我要感谢我的父母，从我呱呱坠地到现在初入社会，父母为我付出了太多太多。作为他们的孩子我秉承了他们的坚韧，朴实的性格，就是因为这样我才能够在未来的前进之路上走的更远。

历时半年，我终于完成了这篇论文，由于知识有限，论文肯定还有很多的不足和缺陷，请老师们多做指正。谢谢！

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