全国优质课-正弦定理【教学设计】

【背景介绍】

《正弦定理》选自北京师范大学出版社必修5第二章第一大节第1小节，本节课是该小节的第1课时．根据课程标准，教材把解三角形从以下三部分展开：正弦定理与余弦定理、解三角形及应用举例．本章主要是定量地揭示三角形边角之间的数量关系．正弦定理与余弦定理是三角函数和三角恒等变形的延伸，是三角函数与平面几何的完美结合．教材强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数学量化思想，发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程．本节是解三角形内容的开始，通过初中对直角三角形边角关系的研究发现正弦定理这一优美对称的关系式，经历由特殊到一般的归纳思想，体会发现数学规律的一般思路．因此，本课有着开启全章，为进一步通过解三角形解决与测量和几何计算有关的实际问题打基础的作用．

【教学目标】 1．知识与技能

①从特殊三角形的边角关系出发，通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及证明方法；

②会应用正弦定理解决解三角形的基本问题． 2．过程与方法

①让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，体验正弦定理的发现过程；

②引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，体会发现数学规律的一般思路． 3．情感态度与价值观

①培养学生通过合情推理探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角函数、正弦定理、平面向量等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一；

②通过学生课堂展示，增强学生的协作能力和交流表达能力，发展学生的创新意识，培养逻辑推理、数学建模、数算等数学核心素养．

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4．现代教育技术

①利用几何画板制作动态演示课件，促进学生对问题本质的理解； ②学生应用科学计算器等其他计算工具进行三角函数值的相关计算．

【教学重点、难点】

教学重点：正弦定理的发现及生成过程． 教学难点：利用正弦定理解三角形．

【学习者特征分析】

作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，理解学生．

1．认识结构

经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高．但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上．在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程．

2．情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有思考问题、发现问题的能力．在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣．

【教学媒体】

多媒体网络教室、几何画板、科学计算器．

【教学方法】

本节课的教学重点是正弦定理的生成过程，因此主要采用 “动眼看、动脑想、动手推、动口说”的探究式教学方法，增加了学生自主参与度，给学生充分合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，让

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学生产生学习的成就感，激发学生的学习兴趣．

【教学流程】

针对本节课的内容的重点和难点，结合学生已有的认知水平，将采取创设情境→尝试探究→抽象概括的教学思路，具体教学流程如图1．

创设情境 ， 提出问题 尝试探究 ， 提出猜想 学生展示 ， 生成定理 强化理解，简单应用 图1

【教学过程】

（一）创设情境，提出问题

夏季，在我国东南沿海地区，台风是一种常见的气象灾害，尤其是高级别的台风过境，会给人民的生命、财产安全造成严重的损害．某市防汛减灾指挥中心收到气象部门的台风预警：台风中心位于该市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受到影响．如果台风风速不变，那么该城市从何时起要遭受台风影响?这种影响会持续多长时间?

教师活动1：建立模型，几何画板动态演示台风过境对城市A的影响情况，如图2所示．

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图2 图3

设计意图：借助现代教育技术，为学生清晰地演示台风的移动过程，让学生体会到科技的发展对数学学习的重要促进作用．

学生活动1：定量分析台风移动过程：由于AB300250，所以刚开始台风对该市并无影响.点A到台风移动路径BD的最小距离

AEABsin451502211.5250，所以此次台风过境肯定要对该市产生影响．

学生活动2：解决该问题的关键是求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间，如图3所示.即在ABC1中，求解BC1，在ABC2中，求解BC2．

教师活动2：像这样，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程就是本章我们将要研究的解三角形，本节课我们共同来学习正弦定理.（书写课题） 设计意图：自然合理地提出问题，从实际问题入手，凸显时代气息，使课堂教学充满乐趣，让所学知识“活”起来，营造出轻松愉悦的学习氛围．学生从中体会到本章所研究问题是从生活中来，到生活中去． （二）尝试探究，提出猜想 教动3：播课《特殊形中的关系》，所示．

图4 图5

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师活放微三角边角如图4

微课主要内容：

如图5所示，在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c. 若ABC是直角三角形，不妨取C90：

abab则sinA,sinB，从而c，

ccsinAsinB又因为C90，所以sinC1， 所以

abc. sinAsinBsinC若ABC是等边三角形，因为ABC，abc，上述优美的关系式无疑也是成立的．

对于一般的三角形，上述优美的关系式还成立吗？

教师活动4：根据刚刚的微课讲解，对于一般的三角形，大家能否大胆提出一个普遍性的规律？

学生活动3：在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即：

abc． sinAsinBsinC设计意图：利用微课这一新兴的学习方式，通过对特殊三角形——直角三角形和等边三角形边角关系的研究，鼓励学生大胆提出猜想，渗透由特殊到一般的数学思想方法．

（三）学生展示，生成定理

学生课前自主探究，从不同的角度证明上述猜想，教师为学生的展示提供支持和评价．

学生活动4：我是利用三角函数的定义来证明上述关系式的． 如图6所示，过点A作ADBC于D，

在RtABD中，ADcsinB，在RtACD中，ADbsinC， 从而bsinCcsinB，即所猜想的关系式得证.

bcab，同理可证， sinBsinCsinAsinB5

图6 图7

教师活动5：这个证明过程有无漏洞？

学生活动5：如图7所示，如果ABC是钝角三角形，过点A所作的高AD在三角形的外部，在RtABD中，ADcsin(B)csinB，与锐角的情况是一致的．

教师活动6：点评：综合两位同学的方法，充分利用三角函数的定义、诱导公式等现有知识解决问题，将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问

学才的证三角形边与角

题． 生活动明方法，的高可以的正弦值

6：由刚我发现转化成的乘

积．如图8所示，先作出三条边上的高AD，BE，CF，结合诱导公式，不论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，都有：

ADcsinB，BEasinC，CFbsinA， 从而

111SABCabsinCacsinBbcsinA，

2221abc同除以abc，即得． 2sinAsinBsinC教师活动7：点评：不仅利用等面积法达到了证明的目的，而且还得到了三角形面积计算公式——只需求得三角形任意两边及其夹角即可．

6

图8

图9

学生活动7：如图9，作ABC的外接圆，O为圆心，半径为R，连接BO并延长交圆O于点C，则BC2R，从而BAC90，在RtABC中，sinC根据同弧所对的圆周角相等，即sinCsinC同理可证

c． 2Rcc，从而2R， 2RsinCab2R，2R， sinAsinBabc因此，对任意的三角形都有2R．

sinAsinBsinC教师活动8：点评：不仅达到了证明的目的，而且三角形边与对角正弦值之比的几何意义——三角形外接圆半径的2倍（直径）．

学生活动8：我采用向量法来证明，在ABC中，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立如图10所示的平面直角坐标系．点C在y轴上的射影为

C，则AC与BC在y轴正方向上的射影相同，分别为：

ACcos(A90)bsinA， BCcos(90B)asinB，

所以bsinAasinB，即

ab， sinAsinB同理可证该优美关系式成立． 图10

教师活动9：大家有没有发现这种方法证明过程中的漏洞？如果A为锐角或者直角时，还能得到同样的结论吗？把这个问题作为课后思考题，大家继续探究．

教师活动10：点评：该方法充分利用平面向量这一工具，体现了不同知识之间的普遍联系和辩证统一．

抽象概括：

正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等，即

abc sinAsinBsinC7

（红笔书写）

设计意图：教师鼓励学生从不同的角度展示正弦定理的生成过程，加强新旧知识间的联系，注重形成新知识的探究过程．虽然学生提供了四种方法，但这些方法都蕴含着解直角三角形的思想，即将斜三角形直角化．

教师活动11：简单介绍与正弦定理相关的数学文化：

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（Abul-Wefa，940~998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（Nasiral-Dinal-Tusi,1201~1274）给出的．我国清代数学家梅文鼎（1633~1721）在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．

设计意图：通过渗透数学史的内容，让学生得到数学美的熏陶，激发学生学习科学文化知识的热情，体会到数学的发展历程中，所有的数学人，不分国界，不分时代，共同推动着数学不断向前． （四）强化理解，简单应用

教师活动12：正弦定理是解三角形的重要工具，下面，我们应用该定理来解决课前提出的“台风过境”问题．示范解题过程：

解 如图11所示，假设经过th，台风中心到达点C，则在ABC中，

AB300km，AC250km，BC40tkm，B45，

由正弦定理

ACABBC， sinBsinCsinAABsinB300sin45320.8485． 知sinCAC2505利用计算器算得角C有两个解

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C1121.95，C258.05． 图

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当

C1121.95时，

A180(BC1)180(45121.95)13.05，

AC1sinA250sin13.0579.83km， 所以BC1sinBsin45t1BC179.832.0h． 4040同理，当C258.05时，BC2344.4km，t28.6h．

t2t18.62.06.6h．

答 约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h．

思维拓展：一般来说，台风侵袭的范围（圆形区域）的半径会不断增大，本题没有考虑这个因素，如果考虑侵袭范围的变化，怎么办？大家课后思考.

设计意图：（1）引导学生应用正弦定理体验“已知两边及其中一边的对角”解三角形的过程；（2）通过解决课前提出的实际问题，发展学生的数学应用意识，而且课堂整体前后呼应，浑然一体；（3）通过思维拓展来放开教学时空，让学生“带着问题走进课堂，带着更多问题走出课堂”．

学生活动9：随堂练习

某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，如图12所示，其中一角已破损．现测得如下数据：BC2.57cm ，CD1.cm， BE2.01cm，B45，

C120．为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到

0.01cm）． 图12

教学提示：解三角形的实际问题中，数字计算往往比较复杂，这时可借助计算器或其他的计算工具．

设计意图：学生自主探索应用正弦定理解决“已知两角及任意一条边”解三角形的过程，完整感受正弦定理的两个典型应用．

教师活动13：课堂小结，拓展提升

教师引导学生从以下四个方面小结本节课的主要内容：（1）正弦定理的生成

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过程；（2）由特殊到一般的思想方法；（3）数学建模；（4）正弦定理的简单应用．

教师活动14：布置作业 自主探究题：

（1）用向量法证明时，若三角形是锐角或钝角三角形，该如何思考； （2）若台风侵袭半径不断变化，请给出解决问题的思路． 作业本：课本47页练习1．

附 板书设计

第二章 解三角形 1.1正弦定理 （预留书写定理内容） 成果4： 学生探究成果展示： 成果1： 例1：（教师示范解题过程） 成果2： 随堂练习：（学生完成） 成果3： 10