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八年级数学培优专题训练（二）
探索三角形全等的条件
1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D
CA在同一条直线上.
EAEP MN⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，请找出图中与此条件有
关的一对全等三角形，并给予证明
2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：①AD＝BF；②CF＝CD；③AC＋CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE.其中正确的是（ ）
3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.
DFFBDBFCDBEDCAE
ACBF________________________________________________________________________________________________________________
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2
4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O
作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.
⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠MAE＝∠NCF
AEBMONCDF
5、在△ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____________.
6、下列三个判断：
⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.
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八年级数学培优专题训练（三）
全等三角形的应用
全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：
①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系
③直线与直线的平行或垂直等位置关系
1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.
2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，
求证：BE⊥AC
FAADQPEBCE
3、（2012·阜新中考）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.
⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.
⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.
BEABDCDC①AEDBC②________________________________________________________________________________________________________________
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4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.
⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β
a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.
b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.
BDAEBDC①AEC②________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（四）
辅助线作法之连接法
在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.
1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE. 证明∶AC＝AB
2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD 求证：AC∥DF
3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？
EBCDOABCDAFEAEBDPC________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（五）
辅助线作法之倍长中线法
在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.
1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线
求证：AB＝AC
3、（2014·襄阳初三模拟）在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.
求证∶AC＝2AE
BEDCABDCAABDC________________________________________________________________________________________________________________
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AFE4、（竞赛014）△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC于点E，F.
求证：BE＋CF＞EF
6、（竞赛015）例：已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.
求证:AC＝BF
BDCAEFDBC________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（六）
辅助线作法之截长补短法
截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上.
求证：AB＝AC＋BD
2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.
求证∶∠B＋∠D＝180°
3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.
求证：∠ADB＝∠CDF
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BFCAECDABADEBCED周老师·数学培优
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4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线. 求证∶AC＋CD＝AB
12、如图，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.
CBABDCDAE________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（七）
辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形
2、（2012·“华罗庚杯”）如图，在△ABC中，AC＝½AB，AD平分∠BAC，且AD＝BD
求证：CD⊥AC
ACBD________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（八）
全等三角形在动态几何中的运用
1、(竞赛·014·3)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC.△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.
⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
⑶将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
A(E)EAEAQllBC(F)PFPBClBFCP Q________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（九）
探究角平分线
一、知识清单
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）. 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段.
角平分线性质:
1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.
3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心. 二、方法点拨
证明角平分线有两种方法:一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法. 三、规律清单
①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1). ②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).
③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).
④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).
⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5). ⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).
⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图7）. ⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8）.
AAACBDAFAEGDBDBC图2B图1CD图3DCBC________________________________________________________________________________________________________________
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AA
ECFEBDC图4BF
DECF图5
ADBA1D2B3A1APFC'D'DAD2CB图6EF1＋2＋3＝90°1＋2＝90°－½BCBEC图7B图8CD
四、真题训练
1、(2011·鄂州·竞赛·018 ·重庆中考）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_____________.
BCDAP
2、(竞赛·019)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证:AM平分∠DAB
DCMAB________________________________________________________________________________________________________________
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3、(竞赛·019)如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.
AED1
求证:CE＝ BD
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BCA
4、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD 求证：∠B＝∠C
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，则△DBE的周长是多少？
ABDCAECDB6、（2011，恩施中考）AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为多少？
BEFGDC________________________________________________________________________________________________________________
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7、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：BE＝CF
8、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°
⑴求证：DE＝DF
⑵如果把最后一个条件改为AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？
9、如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点D
求证：点D在∠BAC的平分线上.
10、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是( )
A.AB－AD＞CB－CD B.AB－AD＝CB－CD C.AB－AD＜CB－CD
D.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定
BCAAEBGCFDAFEBDCBFDAECD________________________________________________________________________________________________________________
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11、（竞赛014）如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE相交于点O.
求证：DC＋AE＝AC
12、(竞赛·019)如图，已知△ABC，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G点。试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由。
BDGCAAEOBDCFPE________________________________________________________________________________________________________________
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八年级数学培优专题训练（十）
应用线段垂直平分线的性质和判定解题
一、知识清单
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
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