中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法

三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考． 一、利用因式分解

例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，

解 ∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0， ∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．

∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c， 故△ABC是等腰三角形． 二、利用配方法

例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．

解 将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为： 2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0． 配方，得

(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0， a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0． 即a2＝b2＝c2．

又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c． 故三角形为等边三角形， 三、利用根的判别式

例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋根，试判定△ABC的形状． 解 据题意，有

1

3＝0有实4 △＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×

3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2 ＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0， ∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0． 又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0， ∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0． ∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c， 故△ABC是等边三角形． 四、利用构造方程

例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac ＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，

解 由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得 x1＝k2＋1，x2＝k2－1， ∴a＝k2＋1，c＝k2－1， 或a＝k2－1，c＝k2＋1． ∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2， ∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2， 所以△ABC是直角三角形． 五、利用公共根

例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个 相同的根，求证：△ABC是直角三角形

证明 设两个方程的相同根（公共根）为a，则 a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．

①－②，得2(a－c) α＝－2b2， 即(c－a) α＝b2．

当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；

2

b2当a≠c时，α＝．

ca将其代入①、②，得

b2b222a＋b＝0． caca 化简，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形． 六、利用韦达定理

例6 如果方程x2－xbcos A＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，a、b、c为三角形的三边，试判定△ABC的形状．

解 在△ABC中，作CD⊥AB于D， 在△ADC中，AD＝bcos A， 在△CDB中，BD＝acosB， 由韦达定理，得

x1＋x2＝bcos A，x1·x2＝acos B． ∴bcos A＝acosB，即AD＝BD． 又∵CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形， 七、利用三角形面积公式

例7 已知△ABC中，若ha＋hb＋hc＝9r，其中ha、hb、hc为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．

解 设△ABC面积为Ｓ，由三角形面积公式可得

2 3

八、利用解方程组

例8 已知△ABC的三条边是a、b、c，三个角是A、B、C．若b是a、c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状．

九、利用二次函数性质

例9 设二次函数y＝(a＋b)x2＋2cx－（a－b），当x＝－a、b、c是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状．

解 因为a>0，b>0，c>0，∴a＋b>0．据题设，有

11时，其最小值为－b．若22

故△ABC是等边三角形， 十、综合运用判定方法

例10 已知a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，当m>0时，关于x的方程b（x2

4

＋m）＋c（x2－m）－2max＝0有两个相等的实数根，且sinC·cosA－cosCsinA＝0，试判定△ABC的形状． 解 将原方程整理成

∴sin A＝cos C，cos A＝sin C． 又sin Ccos A－cos Csin A＝0， ∴ sin2C＝sin2A，∴C＝A，∴a＝c， 故△ABC为等腰直角三角形．

综上所述，如果要判定的某个三角形是锐角三角形或是钝角三角形或是直角三角形，可通过余弦函数直接去判定角的范围，例如从cosA>0，cosA<0，cosA＝0既可得A< 90°，90°5