专题一：数与式讲义

总复习1—数与式

（一）知识点

1．数的分类

正数正整数有理数正数分数整数负整数无理数0有理数 实数实数0分数正分数整数有理数负分数负数分数无理数——无线不循环小数无理数2．有关概念：实数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、自然数、平方根、算术平方根、立

方根、二次根式、最简二次根式、同类二次根式、分母有理化

（1）实数：有理数和无理数统称为实数 （2）有理数：整数和分数统称为有理数

（3）无理数：无限不循环的小数叫无理数。如：1.413……，错误！未找到引用源。，带错误！未找到引用源。且开方开不尽的数。

（4）数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线。 （5）相反数：只有符号不同的两个数

（6）绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。

绝对值意义：一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数；

零的绝对值等于零。即错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 （7）倒数：如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数（0没有倒数） （8）自然数：非负整数，如：0、1、2、3、4、……

（9）平方根、算术平方根：如果错误！未找到引用源。，那么x叫做a的平方根。其中错误！未找到引用源。 叫非负数a的算术平方根

平方根意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；零的平方根是零。 （10）非负数a的正的平方根叫做a的是算术平方根

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（11）立方根：如果错误！未找到引用源。= a，那么x叫做a的立方根x =错误！未找到引用源。 （12）二次根式：式子错误！未找到引用源。(a错误！未找到引用源。0)叫做二次根式 （13）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开放数中不能含有开得尽方的因数或因式②被开方数中不含有分母 （14）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 （15）分母有理化：利用错误！未找到引用源。= a（a错误！未找到引用源。）和平方差公式错误！未找到引用源。将分母中的错误！未找到引用源。化去的过程叫分母有理化。 3．有理数加减乘除运算 （1）有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数同零相加，仍得这个数。 （2）加法的运算律：交换律和结合律 （3）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b). （4）有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘都得0. ③多个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数为偶数个时，积为正. （5）乘法的运算律：交换律、结合律、分配律. （6）有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数，即aba4．二次根式的性质 （1）错误！未找到引用源。（2）错误！未找到引用源。（3）错误！未找到引用源。= a（a错误！未找到引用源。） （4）错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 （5）错误！未找到引用源。（a错误！未找到引用源。）（6）1(b0) baa（a错误！未找到引用源。） bb

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5．二次根式加减乘除运算 （1）加减法：化简后合并同类二次根式 （2）乘法：错误！未找到引用源。 除法：①aa（a错误！未找到引用源。） bb②分母有理化

中考题型归类：

题型1 题型2 题型3 题型4 题型5 题型6 实数的分类 相反数、倒数、绝对值的概念 数轴及实数大小比较 科学记数法 非负数的概念 实数混合运算中考点归纳：

二、典型例题

【题型1】实数的分类 例1、（宁波）在实数

2,0,2,,9中，无理数有__________. 3例2、（ 杭州）写出一个比-1大的负有理数是_______；写出两个比-1大的负无理数是_______. 例3、（安徽省中中考）在1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是_____. 变式：

1、（四川巴中）下列各数：

)

B．3 个

C．4 个

D．5 个

22，9，0.23，cos60°，，0.30003„„，1－2中无理数个数为（

72 A．2 个

2、（四川自贡）下列各数中，最小的实数是（ ） A．－3 B．－

11 C．－2 D． 23第 3 页 共 3 页

3、（四川泸州） 在5， A．5 B．

3，-1,0．001 这四个数中，小于0的数是（ ） 23 C．0．001 D．-1 234、（广西桂林）在实数5、、3、4中，无理数是（ ）

73 A．5 B． C．3 D．4 7

【题型2】 相反数、倒数、绝对值的概念 例1、（江苏淮安）-(-2)的相反数是（ ） A．2 B．变式：

1、（山东日照）－3的相反数是（ ） A.3 B.3 C.

11 C．- D．-2

2211 D.－ 332、（山东聊城）无理数3的相反数是（ ） A．3 B．3 C．

13 D．13

3、（山东青岛）下列各数中，相反数等于5的数是（ ） A．－5

B．5

1C．－

51D．

54、已知2a与2  a互为相反数, 则a = _______________. 例2、（江苏泰州）3的倒数为（ ） A.3 B.变式：

1、 如果a与1互为相反数，则│a│的倒数等于（ ） A.2 B.－2 C.1 D.－1 2、-1的倒数是 . 例3、（陕西西安）11 C.3 D.  33131=（ ） 3

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A．3 B．－3 C．变式：

1、－3= （ ） A．－3

B．－

11 D． 331 3 C．

1 3 D．3

2、3= .

3、已知数a , b , c 在数轴上的对应点如图所示, 化简 b + | a +b |  | c|  | b  c | = __________ . 【題型3】数轴及实数大小比较

例1、如图，点A，B 在数轴上对应的实数分别为m,n，则A，B 间的距离是________（用含m,n的式子表示）.

A 0 B b

c O

a

例2、实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ） 1）b+c>0 2)a+b>a+c 3)bc>ac 4)ab>ac

变式：

1、已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则以下式子正确的有：____________.

b 0 a

c b a -2 -1 0 1 2

(1)ab0,(2)

11,(3)a3ab20 aba第 5 页 共 5 页

1的大小关系是（ ） x111222 A.xx B. xx C. xx D.不能确定

xxx22、若0、<、<=、>=)a.

4、如上图所示，数轴上A、B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ） A.a+b>0 B. ab>0 C.a-b>0 D.|a|-|b|>0

【題型4】科学记数法

科学记数法就是把一个数m表示成a×10的形式，其中1≤a10，n是整数

n2例1、（襄樊）据新华社报道，2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克，用科学记数法可表示为______千克．

例2、（定西）某种感冒病毒的直径是0.000 000 12米，用科学记数法表示为______米． 变式：

1、（辽宁丹东市）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.6108帕的钢材，那么4.6108的原数为（ ）

A．4 600 000 B．46 000 000 C．460 000 000 D．4 600 000 000 2、测得某人的一根头发直径约为0．000 071 54米，这个数据用科学记数法表示为（ ） A．7154×10米

－8

B．7.154×10米 C．0.7154×10米

－5－4

D．0.7154×10米

－5

例3、由四舍五入法得到的近似数0.409，下列说法中正确的是（ ） A.精确到百分位，有2个有效数字 B.精确到百分位，有3个有效数字 C.精确到千分位，有2个有效数字 D.精确到千分位，有3个有效数字 变式：

1、由四舍五入得到的近似数0.630，下列说法正确的是（ ）

A.精确到百分位，有2个有效数字 B．精确到千分位，有2个有效数字 C.精确到百分位，有3个有效数字 D. 精确到千分位，有3个有效数字 2、某种鲸的体重约为1.36×10kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到个位，有6个有效数字

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5

C．精确到千位，有6个有效数字 D.精确到千位，有3个有效数字 3、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001） 【题型5】非负数的概念

三大非负数的归纳：a0，a20，a0(a0) 例1、若a2与b3互为相反数，则ba的值是（ ） A.-6 B.

21 C.8 D.9 822例2、 已知a,b,c为实数，且axbxc0，a2abc(c3)20，求4x10x的值.

例3、若a2与b3互为相反数，则b的值是（ ）

a2 A.-6 B.

1 C.8 D.9 8y例4：已知2x1y24y40，求xxy的值.

例5：若2(x 变式：

1、方程|xy|+|x-y+1|=0的图象是（ ）

C.三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 B．两条直线：x=0，x-y+1=0 C．一个点和一条直线：（0，0），x-y+1=0 D．两个点（0，1），（-1，0） 2、如果|a+3|+（b-2）=0，那么代数式（a+b）

2

2007

y1z2)xyz，求x,y,z的值.

的值是________.

3、如果a是有理数，代数式|2a+1|+1的最小值是________.

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4、满足|a-b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是________.

5、已知实数a、b、c满足2|a+3|+4-b=0，c+4b-4c-12=0，则a+b+c的值为________. 6、如果（y-3）+|3x-2y|=0，那么（-y）的值为________. 7、若|x+y-5|+（xy-6）=0，则x+y的值为________.

8、已知（x+3）+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是________. 9、方程|4x-8|+x-y-m=0，当y＞0时，m的取值范围是________. 10、若|x-2|与（y+7）互为相反数，则y=________.

11、若x-2y9与|x-y-3|互为相反数，则x+y的值为________. 12、已知x、y是实数,3x4+（y-6y+9）=0，若axy-3x=y，则实数a的值是________. 22

x

2

2

2

2

2

x

y2

13、y4y4xy10，求xy的值.

214、若2xy2yzzz210，求xyz的值. 4

2215、若ab2a4b50，求ab的值.

ab

16、若a

17、已知a,b,c为实数，且ab52(a2b)，试求代数式ab的值.

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22211112ab2b24，求的值.

aba2b2

【題型6】实数混合运算中考点归纳

a01(a0)

a(n0) ann(n0) 常考底数

1111,2,,, 233a

特殊角三角函数

∠A sinA 30° 45° 60° cosA tanA

最简二次根式（分母有理化）:8,12,

11,„„ 232

例1、 计算：(cos60)1(1)2016|28| 变式：

计算：2(2)01、

2(tan301)0 21第 9 页 共 9 页

1计算：8201632 2、

01

计算：(1)3、

4、计算：(1)

2016

2016179(5)0()15

1－3π00

×( )＋(sin58°－ )＋|3－4cos60|

22

三、课后巩固

1、在实数2,sin30,022,,16中无理数的个数是（ ） 35 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、（河北）-8的倒数是（ ）

A.8 B.-8 C.

A C B 11 D. 885 2 0 3、如图所示：数轴上表示2，5的对应点分别为C,B,点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）

A.5 B.25 C.45 D.52

4、实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ） A．a＞b B．a=b C．|a|＞|b| D．|a|＜|b|

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5、 4.20万精确到( )

A.百位 B.千位 C.百分位 D.千分位

6、为保护水资源，某社区新建了雨水再生工程，再生水利用量达58600立方米/年,这个数据用科学计数法表示为(保留两个有效数字 )( )

A.5810 B.5.810 C.5.910 D.6.010 7、(山西)估算31-2的值( )

A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间

8、(呼和浩特)用四舍五入法要求对0.05049分别取近似值,其中错误的是( ) A.0.1(精确到0.1) B.0.05(精确到百分位） C.0.05(精确到千分位） D.0.050(精确到0.001）

9、（天津）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会，据统计自2010年5月1日开幕至5月31日，累计参观人数约为8030 000人将8030000用科学计数法表示应为（ ） A.80310 B.80.310 C.8.0310 D.0.80310

10、（昆明）据2010年5月11日云南省委、省政府召开的通报会通报，全省各级各部门已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为( ) A．3.210元

834444567B．0.3210元

10 C．3.210元

9 D．3210元

811、（金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ） A．a＜1＜－a

B．a＜－a＜1

A

0

1

C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1

（-4）的算术平方根是( ) 12、

A.4 B.4 C.2 D2 13、(济南)估计20的算术平方根大小在( )

A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 14、(无锡)使3x1有意义的x的取值范围是（ ）

2

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A.x1111 B.x C.x D.x 333315、(河北)在实数范围内,x有意义,则x的取值范围是（ ）

A.x0 B.x0 C.x0 D.x0 16、（绵阳）要使3-x1有意义，则x的取值范围是（ ） 2x1 A.

1111x3 B.x3,且x C.x3 D.x3 222217、(常州)下列运算错误的是( )

A.235 B.236 C.623 D.(2)22 18、(江西)化简3-（的结果是( ) 31-3） A.-3 B.3 C.3 D.3 19、下列根式中属于二次根式的是( ) A.

1 B.8 C.3 D.27 220、(河北）35，，-4,0这四个数中，最大的数是____________. 21、（北京）若二次根式2x1有意义，则x的取值范围是_____. 22、实数4的算术平方根是__________. 23、(威海)3-27的绝对值是____.

24、一个正数的平方根是3x2和5x6,则这个数是____. 25、（长沙）16的平方根是____.

26、给出四个数，-1，0，0.5，7，其中为无理数的是________. 27、若式子3x-4在实数范围内有意义，则x的取值范围是________. 28、实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简

a2-|a+b|的结果为________.

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29、(天津)化简18-8________. 30、(青岛)48-3___.

31、(昆明)8-1___. 232、（河南）若将三个数3,7,11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．

33、（河北）-5的相反数是_____，-5的倒数是_____，--2-1012345）

1的绝对值是____. 234、(镇江)在-3,0.2,1四个数中最大数是 ____；实数a、b在数轴上位置如图所示，则| a |、| b |的大小关系是 .

（-）（3-1） 35、计算-2

236、计算:（-2）212-8cos3003

213-10

（）-201543-tan60 37、(北京）计算

（2015-）（-）2cos6038、(呼和浩特)计算

39、（宁夏)计算：(3.14)18()12

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0013-10012-1052

121

40、（杭州改编）计算

213 （-24-12）362（-）sin45(2015) 41、（肇庆）计算-2

42、(清远)计算（-1）3-4

43、(珠海）计算（-3）--

44、（邯郸）计算

212-10020-112-1-9 21-23-220150（--）3tan300

2

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