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高等数学讲义 第一章 函数

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求 1.理解函数的概念．

2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．

3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构. 4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义

定义1 设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数xD,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y是x的函数,记作yf(x).数集D称为该函数的定义域, x称为自变量, y称为因变量.

当自变量x取数值x0时，因变量y按照法则f所取定的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0).当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=yyf(x),xD称为函数的值域.

定义2 设D与B是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f，使得对D中任何一个实数x，在B中都有惟一确定的实数y与x对应，则对应规则f称为在D上的函数，记为

f:xy 或 f:DB,

y称为x对应的函数值，记为

yf(x),xD,

其中，x称为自变量，y称为因变量.

由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数yf(x)中，f表示函数，f(x)是对应于自变量x的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x处的函数值y称为函数，并用yf(x)的形式表示y是x的函数.但应正确理

x4x10就是一个特定的函数，f确定解，函数的本质是指对应规则f.例如f(x）的对应规则为

32f()()34()210

就是一个函数.

(2) 函数的两要素

函数yf(x)的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是由对应规则f来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如yx与zv，就是相同的函数.

2． 函数的三种表示方法

(1) 图像法

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2

(2) 表格法 (3) 公式法

在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数

在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如

就是一个定义在区间(,5]上的分段函数.

② 用参数方程确定的函数 用参数方程 x1,x0,f(x)x2,0x2,lnx,2x5,x(t)（tΙ）

y(t)cost(0t)表示.

sint表示的变量x与y之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数

y1x2(x[1,1])可以用参数方程y③ 隐函数

如果在方程F(x,y)0中，当x在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y值存在，则称方程F(x,y)0在区间I内确定了一个隐函数.例如方程

exxy10就确定了变量y是变量x之间的函数关系.

注意 能表示成yf(x)(其中f(x)仅为x的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如exy10可以化成显函数

x1exxyy.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如exye0.

x3． 函数的四种特性

设函数yf(x)的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.

函数的四种特性表 函数的特性 奇 偶 定 义 图像特点 设函数yf(x)的定义域D关于原点对称，若对任意xD满偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图第 2 页 共 50 页

性 足f(x)f(x),则称f(x)是D上的偶函数；若对任意xD满足f(x)f(x),则称f(x)是D上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数 形关于原点对称 单 调 性 单调增加的函数的图像表现为自左至右是单则称函数yf(x)是区间(a,b)上的单调增加函数；当x1x2时，调上升的曲线; 单调减少的函数有f(x1)f(x2),则称函数yf(x)是区间(a,b)上的单调减少的图像表现为自函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数左至右是单调下降的曲线 yf(x)是区间(a,b)上的单调函数，则称区间(a,b)为单调区间 若对任意x1,x2(a,b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2), 如果存在M0，使对于任意xD满足f(x)M则称函数yf(x)是有界的 图像在直线有 界 性 yMyM之间 如果存在常数T，使对于任意xD，xTD，有与周 期 性 f(xT)f(x)则称函数yf(x)是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期 4． 基本初等函数

六种基本初等函数见下表

六种基本初等函数表 解析表达式 yC（C为常数） yxa（a为常数） yax（a0且a1,a为常数） ylogax（a0且a1,a为常数） 在每一个周期内的图像是相同的 函数 常函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx, yarcsecx,yarccscx 5. 反函数、复合函数和初等函数

二、主要解题方法

1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y=16x2+lnsinx ，

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(2) y=

xarcsin(1).

23x21

小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定

义域时应遵守以下原则：

(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；

(III)在对数中真数大于零；

(IV)反三角函数 arcsinx,arccosx，要满足x1；

(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.

(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数

(1) ysin21x12 ， （2） yln(tanex22sinx).

小结 （I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.

（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法

例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.

例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A，A是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s，底宽为x，试建立s与x的函数模型.

小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.

建立函数模型的具体步骤可为 ：

(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.

(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.

(3) 具体写出解析式yf(x)，并指明其定义域.

三、学法建议

1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法.

2．本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微 积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高. 3．从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.

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第二章 极限与函数

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．了解极限的描述性定义．

2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质． 3．会用两个重要极限公式求极限． 4．掌握极限的四则运算法则．

5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．

6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）．

7．会用函数的连续性求极限． （二）内容提要 １．极限的定义

(1) 函数极限、数列极限的描述性定义

极限定义表 类型 描述性定义 设函数yf(x)在 极限记号 xx时函数f(x)的极限xb(b为某个正实数)时limf(x)A或 有定义，如果当自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A，则称A为f(x)A(x) x（读作“x趋于无穷”）时函数f(x)的极限 x时函数f(x)的极限 设函数yf(x)在(a,)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于正无穷”）时函数f(x)的极限 xlimf(x)A或 f(x)A(x) x时函数f(x)的极限 设函数yf(x)在(,a)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为xlimf(x)A或 f(x)A(x) x（读作“x趋于负无穷”）时函数f(x)的极限 xx0时函数ˆ0,)内有设函数yf(x)在点x0的去心邻域N(xxx0limf(x)A或 f(x)的 相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，极限第 5 页 共 50 页

ˆ0,)内无限接近于x0时，f(x)A(xx0) 定义，如果当自变量x在N(x

则称A为当xx0（读作“x趋近于x0”）时函数f(x)的极限 设函数yf(x)在点x0的左半邻域(x0,x0)xx0xx0limf(x)A或 f(x)A(xx0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从x0左侧无限 接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的左极限 设函数yf(x)的右半邻域(x0,x0)内有定时函数f(x)的极限或f(x00)A xx0limf(x)A或 f(x)A(xx0)xx0时函数f(x)的极限义，如果当自变量x在此半邻域内从x0右侧无限接近于 x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数或f(x00)A A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的右极限 对于数列un，若当自然数n无限增大时，通项un数列un的极限 无限接近于某个确定的常数,则称A为当n趋于无穷时数列un的极限，或称数列un收敛于A 若数列xn的极限不存在，则称数列xn发散 （2）单侧极限与极限的关系定理

nlimunA或 unA(n) nlimun不存在 f(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A． ①limxxx②limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A． xx0xx0xx0（３）极限存在准则

①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限． ②夹逼准则

ˆ0,)时，有g(x）f(x)h(x)，且lim若当xN(xg(x)A，limh(x)A，则xxxx00limf(x)A． xx02. 极限的四则运算法则

设limf(x)及limg(x)都存在，则

xx0xx0第 6 页 共 50 页

(1) limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；

xx0xx0xx0(2) limf(x)g(x)limf(x)limg(x),

xx0xx0xx0 limCf(x)Climf(x) (C为任意常数);

xx0xx0(3) limxx0f(x)f(x)lim (limg(x)0)． xxxx00g(x)g(x)上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．

3． 两个重要极限 (1) limsinu(x)sinx1（其中u(x)代表x的任意函数）． 1, 一般形式为limu(x)0u(x)x0xx1(2) lim1e,

xx1一般形式为lim1u(x)u(x)４． 无穷小量与无穷大量 （１）无穷小量

在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果limf(x)0，则称当xx0时,f(x)是无穷小量．

xx0u(x)． e （其中u(x)代表x的任意函数）

注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无

论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．

（２） 无穷大量

在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大．

应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号limf(x)，

xx0表示“当xx0时, f(x)是无穷大量” ．

（３）无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．

（４）无穷小量的运算

① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量． ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量． ③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量． ④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量． （5）无穷小量的比较

下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．

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无穷小量的比较表

设在自变量xx0的变化过程中，(x)与(x)均是无穷小量 无穷小的比较 定 义 记 号 (x)是比(x)高阶的无穷小 (x)lim0 xx(x)0(x)(x)（xx0） lim(x)与(x)是同阶的无穷小xx 0(x)C(C为不等于零的常数)(x) a(x)与(x)是等阶无穷小

（６） 极限与无穷小量的关系定理

xx0lim(x)a(x)(x)~(x)1 （xx0） limf(x)A的充分必要条件是f(x)A(x)，其中a(x)是当xx0时的无穷小xx0量．

（７） 无穷小的替换定理

设当xx0时，1(x)~2(x)，1(x)~2(x)，limxx02(x)存在，则

2(x)xx0lim1(x)2(x)． 1(x)2(x)5．函数的连续性

⑴ 函数在一点连续的概念

① 函数在一点连续的两个等价的定义：

定义１ 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量xxx0趋

于零时，对应的函数增量也趋于零，即 limylimf(x0x)f(x0)0，

x0x0则称函数

f(x)在点x0处连续，或称x是f(x)的一个连续点．

00limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续． 定义２ 若xxf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处左连续；若 ② 左右连续的概念 若xlimx0xx0limf(x)f(x0)，则称函数

f(x)在点x0处右连续．

⑵ 函数在一点连续的充分必要条件

函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续．

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由此可知，函数f(x)在点x0处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数f(x)在点x0的某邻域内有定义， ② limf(x)存在，

xx0③ 这个极限等于函数值f(x0)． ⑶ 函数在区间上连续的概念

在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．

⑷ 间断点

若函数f(x)在点x0处不连续，则称点x0为函数f(x)的间断点． ⑸ 间断点的分类

设x0为f(x)的一个间断点，如果当xx0时，f(x)的左极限、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；否则，称x0为f(x)的第二类间断点．

对于第一类间断点有以下两种情形：

① 当limf(x)与limf(x)都存在，但不相等时，称x0为f(x)的跳跃间断点；

xx0xx0② 当limf(x)存在，但极限不等于f(x0)时，称x0为f(x)的可去间断点．

xx0⑹ 初等函数的连续性定理

基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的． ⑺ 闭区间上连续函数的性质

① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．

② 根的存在定理 设f(x)为闭区间a,b上的连续函数，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点(a,b)，使得f()0．

③ 介值定理 设f(x)是闭区间a,b上连续函数，且f(a)f(b)，则对介于f(a)与f(b)之间的任意一个数，则至少存在一点(a,b)，使得f()．

二、主要解题方法

1．求函数极限方法

(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例1 求下列函数的极限： （1）limx2x24x2，

1xsina,x0,（2）fx 当a为何值时，f(x)在x0的极限存在. xx0,2,1x解 (1)limx2x2x24limx22x1,

(x2)(x2)4第 9 页 共 50 页

x2limx2x24limx2x21,

(x2)(x2)4因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．

（2）由于函数在分段点x0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x0处的左极限与右极限．于是，有

x0limf(x)lim(xsinx0x011a)lim(xsin)limaa，

x0xxx02 limf(x)lim(1x)1，

x0为使limf(x)存在，必须有limf(x)=limf(x)，

x0x0x0因此 ，当a=1 时， limf(x)存在且 limf(x)=1．

x0x0小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有

左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在． （3）利用极限运算法则求极限

例2 求下列函数的极限：

2x23x2921(1)lim ， (2)lim2 ， (3) lim() ， 2x1x1x3x11x1xx5x6(4)lim5x1x22x ．

解 (1) lim2x3=

x1x1lim(2x23)x1lim(x1)x1=1． 2(2) 当x3时，分子、分母极限均为零，呈现

0型，不能直接用商的极限法则，可先0分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．

x29(x3)(x3)x3原式=lim2limlim6．

x3x5x6x3(x3)(x2)x3x2(3) 当x1时，

2121的极限均不存在，式呈现型，不能,1x21x1x21x直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即

原式=lim(x1212(1x))lim 22x11x1x1xlim(1x)11lim．

x1(1x)(1x)x11x2(4) 当x时，分子分母均无极限，呈现

形式．需分子分母同时除以x，将无 第 10 页 共 50 页

穷大的x约去，再用法则求

5原式=limx1x5． 21x小结 （I）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．

（II）求函数极限时，经常出现

0 等情况，都不能直接运用极限运算法则，0,,必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．

（i）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限，

（ii）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限， （iii）对分子、分母进行因式分解，再求极限，

（iv）对于当x时的

型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．

（3）利用无穷小的性质求极限 例3 求下列函数的极限

x21xsinx（1）lim ， （2）lim．

3xx1x11x解（1） 因为lim(x1)0 而lim(x1)0，求该式的极限需用无穷小与无穷大关

x1x12系定理解决．因为limx1x1x1，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是0x1x21x21x21． 无穷大量，即 limx1x1（2）不能直接运用极限运算法则，因为当x时分子，极限不存在，但sinx是

1有界函数，即sinx1而 limx1x3xlimx113xx因此当x时，0，

x1x3为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得

xlimxsinx1x30.

小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限

存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．

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（4）利用两个重要极限求函数的极限 例4 求下列函数的极限： （1）limcosxcos3x1x ， （2）lim(1)． 22x0xxx解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限

2sinxsin2xsinxsin2x=limlim(4)144． 2x0x0xx2xx1x1x1x1x11（2）解一 原式=lim(1)(1)lim(1)lim[(1)]=ee1，

xx0xxxxx原式=lim1(x2)(x)0]=e1． 解二 原式=lim[(12)xx小结 （I）利用lim1sinu(x)sinx0的形1求极限时，函数的特点是型，满足limu(x)0x0u(x)x0式，其中ux为同一变量；

11x（II）用lim(1)求极限时，函数的特点1型幂指函数，其形式为1(x)(x)型,

xxx为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；

（III）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作

变量代换，使之成为重要极限的标准形式。

(5) 利用等价无穷小代换求极限

常用等价无穷小有

当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,

x1cosx~12x,2x~sin2x~tan2x． 2 ， （2）lim例5 求下列函数的极限 （1）lim1cosxx03x2tanxsinx． 3x0x12x1cosx1212解 （1）lim= （． x0,1cosx~x）lim22x0x0263x3xtanxsinxsinx(1cosx)lim（2）lim= 33x0x0sinxxcosxsinx(1cosx)1lim2x0xcosx x2sin2=limx0x2x2

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1xx= （x0,sin2~） ． 222小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分

子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错．

如上题 lim2tanxsinxxxlim0, 即得一错误结果． 33x0x0sinxx（6）利用函数的连续性求极限

例6 求下列函数的极限 （1） limx2sinxex1x2x2sinxexx2 ， （2）limarcsin(xxx)．

x2解 (1) 因为

1x2是初等函数，在x2处有定义，

所以 limx2sinxe24sin2e2x21x25，

(2) 函数arcsin(x2xx)看成由 ysinu,u有理化

x2xx 复合而成，利用分子11， 2xlim(x2xx)limxx2xxxlimx111x然后利用复合函数求极限的法则来运算

xlimarcsin(x2xx)limarcsinx1111xarcsinlim1111xx

=arcsin1π． 26小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．

2．判断函数连续性的方法

由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性．

例 7 讨论函数

x1f(x)xsinx,,

x0x0， 在点x0处的连续性．

解 由于函数在分段点x0处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点x0处

的左极限与右极限．

第 13 页 共 50 页

因而有limf(x)limx0,limf(x)limxsinx0x0x0x010， x而f(0)0,即

x0limf(x)limf(x)f(0)0，

x0由函数在一点连续的充要条件知f(x)在x0处连续．

三、学法建议

1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活 多样．因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习．

2．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系．

3．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性．

第三章 导数与微分

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系.

重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要

1.导数的概念 ⑴导数

设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量x(x0)，x0x仍在该邻域内时，相应地，函数有增量yf(x0x)f(x0)，若极限

limf(x0x)f(x0)y limx0xx0x存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限值为f(x)在点x0处的导数，记为f(x0)，也可记为y(x0),yxx0,dydf或，即 xxxxdxdx00f(x0x)f(x0)yf(x)limlim0 . x0xx0x若极限不存在，则称yf(x)在点x0处不可导.

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若固定x0，令x0xx，则当x0时，有xx0，所以函数f(x)在点x0处的导数f(x0)也可表示为

f(x0)limx0⑵ 左导数与右导数

① 函数f(x)在点x0处的左导数 f(x0)＝limf(x)f(x0).

xx0x0yf(x0x)f(x0). limxx0x② 函数f(x)在点x0处的右导数

f(x0)＝limx0yf(x0x)f(x0). limxx0x③函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处的左导数和右导数都存在且相等．

２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线

在曲线上点M的附近，再取一点M1，作割线MM1，当点M1沿曲线移动而趋向于M时，若割线MM1的极限位置MT存在，则称直线MT为曲线在点M处的切线．

⑵导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数表示曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率. 关于导数的几何意义的3点说明:

①曲线yf(x)上点(x0,y0)处的切线斜率是纵标变量

y对横标变量x的导数.这一点

在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.

ylim②如果函数yf(x)在点x0处的导数为无穷(即x0x,此时f(x)在x0处不可

导),则曲线yf(x)上点(x0,y0)处的切线垂直于x轴.

③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x轴的切线. 3.变化率

函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.

4.可导与连续的关系

若函数yf(x)在点x处可导，则yf(x)在点x处一定连续.但反过来不一定成立，即在点x处连续的函数未必在点x处可导.

5. 高阶导数

⑴二阶导数

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函数yf(x)的一阶导数yf(x)仍然是x的函数，则将一阶导数f(x)的导

d2y数(f(x))称为函数yf(x)的二阶导数，记为f(x)或y或2，即

dx2ddydy=(y) 或 y. =2dxdxdx⑵n阶导数

(n1)阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4，,(n1),n）分别记 为

(4)(n1)(x),f(n)(x)， ,f(x) , ,ff(x)

或y, y(4) , ,y(n1),y，

nd3yd4ydn1ydny或3, 4 , n1, n， dxdxdxdx二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6 . 微分 ⑴微分的定义

如果函数yf(x)在点x处的改变量yf(xx)f(x)，可以表示成 yAxo(x)，

其中o(x)是比x(x0)高阶的无穷小，则称函数yf(x)在点x处可微，称Ax为y的线性主部，又称Ax为函数yf(x)在点x处的微分，记为dy或df(x)，即dyAx.

⑵微分的计算

df(x)f(x)dx，其中dxx,x为自变量.

⑶一阶微分形式不变性

对于函数f(u),不论u是自变量还是因变量,总有df(u)f(u)du成立. 7. 求导公式 微分公式

表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.

表3.1求导与微分公式 求导公式 c0 (c为常数) (x)x1 (为实数) (ax)axlna (ex)ex (logax)1 xlna基本初等函数求导公式 1(lnx) x(sinx)cosx (cosx)sinx 基本初等函数微分公式 微分公式 dc0 (c为常数) d(x)x1dx (为实数) d(ax)axlnadx d(ex)exdx d(logax)1dx xlnad(lnx)1dx xd(sinx)cosxdx d(cosx)sinxdx 第 16 页 共 50 页

(tanx)sec2x d(tanx)sec2xdx d(cotx)csc2xdx (cotx)csc2x (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx d(secx)secxtanxdx d(cscx)cscxcotxdx (arcsinx)(arccosx)11x11x22d(arcsinx)11x2dx d(arccosx)d(arctanx)11x2dx (arctanx)1 21x1 1x2(arccotx)1dx 21x1d(arccotx)dx 21x

对求导公式作如下两点说明:

(1) 求导公式{f[(x)]}表示函数f[(x)]对自变量x的导数，即

{f[(x)]}=

df[(x)], dx(2) 求导公式f[(x)]表示函数f[(x)]对函数(x)的导数，即

f[(x)]=

8. 求导法则 微分法则 ⑴求导法则,微分法则见下表3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法

df[(x)].

d(x)表3.2 求导与微分法则表

求导法则 函数的四则运算求导法则 微分法则 函数的四则运算微分法则 u(x)(x)u(x)(x) du(x)(x)du(x)d(x) du(x)(x)(x)du(x)u(x)dv(x) dcu(x)cdu(x) (c为常数) u(x)(x)u(x)(x)u(x)(x) cu(x)cu(x) (c为常数) 第 17 页 共 50 页

u(x)u(x)(x)u(x)(x)((x)0)(x)2(x) u(x)(x)du(x)u(x)d(x)d((x)0)2 (x)(x)1(x)2(x)(x)((x)0) 1d(x)d((x)0) 2(x)(x)设函数yf(u)，u(x),则函数复合函数yf(u)的微分为dyf(u)du，此式又称微分法则 为一阶微分形式不变性 dy设yf(u)，u(x)，则复合函复合函数数yf(x)的导数为 求导dydydu法则 dxdudx 参数方程确定的函数的导数 反函数求导法则 dy(t)x(t)若参数方程确定了y是x的函数，则dydt 或 = dx(t)dxdxy(t)dt设yf(x)的反函数为x(y)，则f(x)1((y)0)或 dy1 (y)dxdxdy9. 微分近似公式

（1）微分进行近似计算的理论依据

对于函数yf(x),若在点x0处可导且导数f(x0)0，则当x很小时，有函 数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式ydy.

(2) 微分进行近似计算的4个近似公式

设函数yf(x)在点x0处可导且导数f(x0)0，当x很小时，有近似公式

ydy，即

f(x0x)f(x0)f(x0)x，

f(x0x)f(x0)f(x0)x，

令x0xx，则

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

特别地，当x00，x很小时，有

f(x)f(0)f(0)x .

二、主要解题方法

1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求yxx在x0处的导数. 解 由导数的定义知

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f(0)limx0f(0x)f(0)xx0limlimx0. x0x0xx例2 求 f(x)ln1x，，x

x0x0 ，的导数.

解 当x0时，f(x)1 ， 1x当x0时，f(x)1，

当x0时，f(0)lim所以 f(0)limx0x0f(x)f(0)f(x)f(0)， limx0x0xx01， x1ln(1x)0f(0)limlimln(1x)xlne1，

x0x0x因此 f(0)1，

1于是 f(x)1x1,,

x0,x0.

小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按

初等函数的求导公式求得.

2． 用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法

例3 设f(x)xx3x13x23,求f(x).

1613解 f(x)xx3x13xxx1x，

21151436f(x)xxx3.

363例 4 设yln(xx1) 求 y. 解 利用复合函数求导法求导，得

y[ln(xx21)]1xx12(xx1)2

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1xx211xx211xx12[1(x21)]

12x21xx12[1(x21)]

1x12[1].

小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数f(x)在点x0可导，否则法则失效.如yxx在x0点，用四则运算法则求导，y(0)不存在，但由例1知 yxx在x0的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.

3．对数求导方法

x(x21)例 5 已知 y= ，求y. 2(x2)解 两边取对数，得：lny两边对同一自变量x求导，得

x1lnxln(x21)2ln(x2)， x11112x2y2[lnxln(x21)2ln(x2)][2]， yxxx1x2xxyx(x21)1x(x21)122[ln].

(x2)2x2(x2)2x2x21x(x2)小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经

过乘、除、乘方、开方构成的.

4．隐含数的求导法

例 6 已知 arctanxlnx2y2,求y. y解 两端对x求导，得

1x()xy1()2y1x2y2(x2y2)，

y2yxy222xyy1xy222x2yy2xy22，

整理得 (yx)yyx ，故 y第 20 页 共 50 页

yx， yx

上式两端再对x求导，得

y(y1)(yx)(y1)(yx)(yx)2

yyyxyxyyxyyx(yx)22xy2y， 2(yx)=

将 yyx代入上式，得 yx2xyyx2y2xy2x22y22xy2(x2y2)yx. 332(xy)(yx)(yx)小结 在对隐函数求二阶导数时，要将y的表达式代入y中，注意，在y的最后表达式中，切不能出现y.

5．由参数方程所确定的函数的求导法

xtcost，d2y例7 设 求 . 2dx，ysintdy(sint)cost解 ， dx(tcost)1sintd2ydydcostdcostdtcost1()()() dx2dxdx1sintdt1sintdx1sintdxdtsint(1sint)cos2t11.

(1sint)21sint(1sint)2小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分dy、dx，然后作比值

dy，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪dx个变量求导.

6．求函数微分的方法

例8 求函数yxelntanx的微分.

解一 用微分的定义dyf(x)dx求微分， 有

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dy(xelntanx)dx[elntanxxelntanxelntanx(12x)dx. sin2x1sec2x]dx tanx 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 dyd(xelntanx)elntanxdxxdelntanx

elntanxdxxelntanxd(lntanx)

elntanxdxxelntanxelntanxdxxelntanxelntanx(11d(tanx) tanx11dx 2tanxcosx2x)dx. sin2x小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.

7．利用微分求近似值

例9 求sin29的近似值.

解 设f(x)sinx ，由近似公式f(x0x)f(x0)f(x0)x，得 sin(x0x)sinx0cosx0x， 取 x0 ，则有 ,x61800 sin2913()0.4849. 22180例10 有一批半径为1cm的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9gcm3）

解 所镀铜的体积为球半径从1cm增加0.01cm时，球体的增量.故由v镀铜的体积为 vdv(πr)43πr知，所3433r1r4π0.010.04π，

质量为 m0.04π8.9g1.2g.

小结 利用公式f(x0x)f(x0)f(x0)x计算函数近似值时，关键是选取函数

f(x)的形式及正确选取x0,x.一般要求 f(x0),f(x0)便于计算，x越小，计算出函

数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，x必须换成弧度.

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8．求曲线的切线方程

5的切线，使该切线平行于直线2xy8. 433252解 方程 (x1)(y)两端对x求导，得 2(x1)2(y)y0 ，

224例11 求曲线(x1)(y)2232y(32y)22x， y22x，

32y由于该切线平行于直线 2xy8,所以有

22x2 ，1x(32y) ，x2y40 ，x42y.

32y因为切线必在曲线上，所以，将x42y代入曲线方程得

[(42y)1](y)23225， 45y215y100，y23y20，

解之 y11,y22 ，此时 x142(1)2,x242(2)0， 切点的坐标为(2,1),(0,2)，切线的斜率分别为

k1y(2,1)22x32y(2,1)22222，

32(1)1k2y(0,2)22x32y(0,2)2022，

32(2)1因此得切线的方程分别为

y12(x2) ， 即 2xy30， y22(x0) ， 即 2xy20.

9．求函数的变化率

例 12 落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是

6ms，问2s末受到扰动的水面面积的增大率为多少？

解 设最外圈波纹半径为r，扰动水面面积为S，则 Sπr 两边同时对 t求导，得 从而

2dSdrπ2r dtdt2πrt2612πrt2，

dSdt2πrt2drdtt2第 23 页 共 50 页

又

dr， 6为常数，故 r6t（类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系）

dtdSdt12π12144π(ms).

t222因此 rt212，故有

因此，2s末受到扰动的水面面积的增大率为144π(ms).

小结 对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.

三、学法建议

1．本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的 求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.

2． 要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连 续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点x可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点x可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量y与自变量改变量x之比的极限limyf(x)，微分

x0x是函数增量的线性主部ydyo(x)Axo(x)，在概念上两者有着本质的区别.

3． 复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果 呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式

dydydu必须弄清每一项是dxdudxdydx,f[(x)]dy

d(x)对哪个变量求导，如 yf[(x)],yf[(x)], 因为 y理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质.

4．利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率kdydx及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，

xxdsdvd2s,加速度a.再有一类是用一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度vdtdtdt2微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系yf(x)，正确选取x0及x，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.

第四章 微分学的应用

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

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1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限.

3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.

5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.

重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.

（二）内容提要

1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle）定理

如果函数yf(x)满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b]上连续; ②在开区间(a,b)内可导; ③f(a)f(b),

则至少存在一点(a,b),使f()0.

⑵ 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数yf(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续； ②在开区间(a,b)内可导,

则至少存在一点(a,b)，使得f()⑶ 柯西（Cauchy）中值定理

如果函数f(x)与g(x)满足下列两个条件： ①在闭区间[a,b]上连续；

②在开区间(a,b)内可导，且g(x)0,x(a,b), 则在(a,b)内至少存在一点，使得

f(b)f(a),或f(b)f(a)f()(ba).

ba 2.洛必达法则 如果

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f(b)f(a)f().

g(b)g(a)g()

①limf(x)0,limg(x)0;

xx0xx0② 函数f(x)与g(x)在x0某个邻域内（点x0可除外）可导，且g(x)0； f(x)lim③ xxg(x)A(A为有限数,也可为,或),则

0

xx0limf(x)f(x)limA. xx0g(x)g(x)注意 上述定理对于x时的型未定式也有相应的法则.

3. 函数的单调性定理

0型未定式同样适用,对于xx0或x时的0设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则有 ①若在(a,b)内f(x)0，则函数f(x)在[a,b]上单调增加； ②若在(a,b)内f(x)0，则函数f(x)在[a,b]上单调减少. 4 . 函数的极值、极值点与驻点

⑴ 极值的定义 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点

x(xx0)，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的极大值；如果对于该邻域内任

一点x(xx0)，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点x0称为函数f(x)的极值点.

⑵ 驻点 使f(x)0的点x称为函数f(x)的驻点.

⑶ 极值的必要条件 设函数f(x)在x0处可导，且在点x0处取得极值，那么

f(x0)0.

⑷ 极值第一充分条件

设函数f(x)在点x0连续，在点x0的某一去心邻域内的任一点x处可导,当x在该邻域内由小增大经过x0时，如果

①f(x)由正变负，那么x0是f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的极大值； ②f(x)由负变正，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是f(x)的极小值；

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③f(x)不改变符号，那么x0不是f(x)的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件

设函数f(x)在点x0处有二阶导数，且fx00，fx00，则x0是函数f(x)的极值点，f(x0)为函数f(x)的极值，且有

①如果f(x0)0，则f(x)在点x0处取得极大值； ②如果f(x0)0，则f(x)在点x0处取得极小值.

5.函数的最大值与最小值

在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.

6. 函数图形的凹、凸与拐点

⑴曲线凹向定义 若在区间(a,b)内曲线yf(x)各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线yf(x)各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在(a,b)内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.

⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间(a,b)内具有二阶导数，

① 如果在区间(a,b)内f(x)0，则曲线yf(x)在(a,b)内是上凹的. ② 如果在区间(a,b)内f(x)0，则曲线yf(x)在(a,b)内是下凹的.

⑶拐点 若连续曲线yf(x)上的点P(x0,y0)是曲线凹、凸部分的分界点，则称点P是曲线yf(x)的拐点.

7. 曲线的渐近线

⑴水平渐近线 若当x(或x或x)时，有f(x)b（b为常数），则称曲线yf(x)有水平渐近线yb.

⑵垂直渐近线 若当xa(或xa或xa)（a为常数）时，有f(x)，则

称曲线yf(x)有垂直渐近线

xa.

f(x)lim[f(x)ax](其中自变量的变， bxx⑶斜渐近线 若函数yf(x)满足alimx化过程

x可同时换成x或x)，则称曲线yf(x)有斜渐近线

yaxb.

第 27 页 共 50 页

二 、主要解题方法

1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法 例1 求下列极限 （1）limx0cosxln(x3)xcotx111lim （2） （3）lim[2ln(1x)]

x0xx3ln(exe3)x2x1cosx

xx0xx0解 （1）由于x0时，xcotx1，故原极限为型，用洛必达法则

tanx0xcotx1xcosxsinx所以 lim lim22x0x0xxsinxxcosxsinx lim （分母等价无穷小代换）

x0x3cosxxsinxcosxlim x03x2（4）lim(nxlnx) （5） lim（2） 此极限为所以 limx31sinx1. limx033x，可直接应用洛必达法则 cosxln(x3)ln(x3)limcosxlim = x3x3ln(exe3)ln(exe3)1exe3 cos3limxlim

x3ex3x31cos3limexcos3 . 3x3e0或型. 0（3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成

lim[x011xln(1x)2ln(1x)]limlimx0x0xxx2 lim111x 2x1x111lim.

x02x(1x)x02(1x)2（4）所求极限为0型，得

x0limxlnxlimx0nlnxx1n （

型） 第 28 页 共 50 页

=limx01x1n1xn1=limx0nxx11nnlimxx010. n型，用洛必达法则，得 xcosx1sinx不存在， limlimxxx111cosxxcosx1x但 limlim1limcosx101. xxxxx1（5）此极限为

小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：

（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于

0或未定型，0若不是未定型，就不能使用法则；

（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；

f(x)f(x)（3）当lim不存在时，并不能断定lim也不存在，此时应使用其他方法求

g(x)g(x)极限.

2 . 单调性的判别与极限的求法

例2 试证当x1时，eex.

证 令f(x)eex，易见f(x)在(,)内连续，且f(1)0f(x)ee.

x当x1时，f(x)ee0可知f(x)为(,1]上的严格单调减少函数，即

xxxf(x)f(1)0.

当x1时，f(x)ee0，可知f(x)为[1,)上的严格单调增加函数， 即f(x)f(1)0.

故对任意 x1,有f(x)0,即 eex0. eex.

xxxx4x3的单调性与极值. 例 3 求函数y4解 函数的定义域为(,). yx3xx(x3)，

322第 29 页 共 50 页

令 y0,驻点 x10,x23 列表 x (,0)  0 0 (0,3)  3 0 极小 (3,) + y y 由上表知，单调减区间为(,3)，单调增区间为(3,)，极小值 y(3)求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中

27 4y3x26x,yx00 不能确定x0处是否取极值， yx390,得y(3)27是极小值. 4小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数f(x)；利用导数判定f(x)的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对f(x)0、f(x)及f(x)同时不存在的点不能使用.

3. 求函数的凹向及拐点的方法

例4 求函数yln(1x)的凹向及拐点. 解 函数的定义域 (,)，

22x2(1x2)2x2x2(1x2) y， , y222221x(1x)(1x) 令 y0,得y1， 列表

x (,1) 1 0 拐点 (1,1) + 1 0 拐点 (1,) y     y 

由此可知，上

凹区间(1,1),下凹区间(,1)(1,)，曲线的拐点是(1,ln2).

小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在

第 30 页 共 50 页

使y不存在的点取得.

4. 求函数的最大值与最小值的方法

例5 求函数 y(2x5)x在区间[1,2]上的最大值与最小值 . 解 函数在[1,2]上连续， 由于y2310(x1)3x13，

令 y0， 则 x1 ，y在x0处不存在. 故

ymaxmax{f(1),f(2),f(0),f(1)}

max{7,2,0,3}0, yminmin{7,2,0,3}7.

小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出f(x)在(a,b)内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.

5 . 求曲线渐近线的的方法. 例6 求下列曲线的渐近线

2323x22x2lnx（1）y （2）y .

x1x解 （1）所给函数的定义域为(0,).

1lnx由于 limlimx0，

xxx1lnx可知 y0为 所给曲线y的水平渐近线.

xlnx由于 lim，

x0xlnx可知 x0为曲线y的铅直渐近线.

x（2） 所给函数的定义域(,1),(1,).

x22x2x22x2， limf(x)lim， 由于 limf(x)limx1x1x1x1x1x1可知 x1为所给曲线的铅直渐近线（在x1的两侧f(x)的趋向不同）.

第 31 页 共 50 页

f(x)x22x2lim1a， 又 limxxxx(x1)x22x2x2limf(x)axlim[x]lim1b， xxxx(x1)x1所以 yx1 是曲线的一条斜渐近线.

6 . 函数图形的描绘

x2例 7 作出函数 y的图形. 2(x1)解 函数的定义域(,1)(1,)，

y2xx1x22x12x142xx13，

2(x1)32x3(x1)224x y， 64(x1)(x1)令 y0, y0， 解得 x10,x2列表

1. 2x (,1) 1 (1,0) 0 1(0,) 2+ + 1 2+ 0 1(,) 2+ y + +  + 0 + y fx  极小 拐点 由上表可知： 极小值f(0)1， 拐点 (,).

（3）渐近线

1129x2limylim1， xx(x1)2所以 y1是水平渐近线，

y 第 32 页 共 50 页

-1 O x

x2limylim， x1x1(1x)2所以 x1是铅直渐近线.

（4）作图如图所示.

7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法

例 8 一条边长为a的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的

方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？

解 设截取的小方块的边长为 x(0x v(x)x(a2x)ax4ax4x v(x)a8ax12x 令 v(x)0， 得驻点 x1222223a)，则方盒子的容积为 2aa,x2 （不合题意，舍去） 62a2a因此， 当x时 v(x)取得最大值.

6由于在(0,)内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.

故当正方形薄片四角各截去一个边长是大 .

a的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最6小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数f(x)，若根据实际问题本身可以断定可导函数f(x)一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部f(x)有惟一的极值点，则该极值点一定是最值点.

三 、学法建议

1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.

2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有 指明的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.

3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例1 中的几点注意，并且和教科书第二章求极 限的方法结合起来使用.

4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.

第五章 不定积分

一、本章学习要求与内容提要

第 33 页 共 50 页

（一）学习要求

1．了解原函数、不定积分的概念及其性质． 2．掌握不定积分的基本公式．

3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．

重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法．

难点 不定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要

1．原函数与不定积分 （1）原函数

设函数yf(x)在某区间上有定义，若存在函数F(x)，使得在该区间任一点处，均有

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,

则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数．

关于原函数的问题，还要说明两点:

①原函数的存在问题：如果f(x)在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）．

②原函数的一般表达式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)C是f(x)的全部原函数，其中C为任意常数．

(2)不定积分

若F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，则f(x)的全体原函数F(x)C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分，记为

f(x)dx，即

f(x)dxF(x)C

积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：

①[f(x)dx]f(x)或d[f(x)dx]f(x)dx,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消．

②F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C,此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C．对于这两个式子，要记准，要熟练运用．

2．不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下：

x1(1)kdxkxC(k为常数) (2)xdxC(1)

1第 34 页 共 50 页

1(3)dxlnxC (4)exdxexC

xax(5)adxC; (6)cosxdxsinxC;

lnax(7)sinxdxcosxC; (8) (9)12dxsecxdxtanxC;2cosx12 (10)secxtanxdxtanxC; sin2xdxcscxdxcotxC; dx1-x2(11)cscxcotxdxcscxC; (12)arcsinxC;

(13)dxarctanxC.

1x23．不定积分的性质

（1）积分对于函数的可加性，即

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx,

可推广到有限个函数代数和的情况，即 [f1(x)f2(x)fn(x)]dx(2)积分对于函数的齐次性，即

f(x)dxf12(x)dxfn(x)dx．

k0． kf(x)dxkf(x)dx 4．分部积分公式 udvuvudv．

二、主要解题方法

1．直接积分法

12x2xx2dx例1 计算（1） ， （2）(cossin)dx． 21x22解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即

12x222x23dxdxdx2dx3 ==2x3arctanxC 2221x1x1x（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式=[1sinx]dx=dx+sinxdx=xcosxC．

小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需

要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．

2．换元积分法

（1）第一换元积分法(凑微分法）

f[(x)](x)dx=f[(x)]d(x)u（x）f(u)du积分F(u)C

第 35 页 共 50 页

回代F[(x)]C.

例2 计算 （1）

1adx， （2）x(1x)dx． x21x解 （1） 选择换元函数ux使所给积分化为基本积分axdx形式，再求出结果．

 为此，令 u1x1dx，则 du2，于是 xxu1xaaaudxC． C===adux2lnalna1为简便起见，令 u 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,

xaa1dx1ad()dxC== （． d() 称为凑微分）x22xlnaxx（2）

1x1x1x1x(1x)dx=21d(x)=2arctanxC． 1x小结 凑微分法一般不明显换新变量u，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便．

（2）第二换元积分法

f(x)dxu（x）f[(t)](t)dt=F(t)Ct1xF[1(x)]C

（其中 (t)是单调可微函数）

例3 计算 （1）

111xdx ， （2）x21x2dx．

2解（1） 令1xt, 则 xt1 , dx2tdt,于是

原式=

2tt11dt==dt2dt2[dt1t1t1t]=2t2ln1tC

=21x2ln11xC.

（2） 设 xsint ,1x2cost,dxcostdt , 于是

sin2tcostdt=sin2tdt=1cos2tdt x 原式=cost21

t 1x2

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11dtcos2td(2t) 241111 =tsin2tCtsintcostC

24221x =arcsinx1x2C．

22 =

小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果．通常

当被积分函数含有根式 当被积分函数含有根式 当被积分函数含有根式

3. 分部积分法 分部积分的公式为

1(x2a2)2dx

a2x2时，可令 xasinx, a2x2时，可令 xatanx, x2a2时，可令 xasecx.

udv=uvvdu.

应用此公式应注意:

（1） v要用凑微分容易求出, （2）

vdu比udv容易求.

(x2例4 计算 （1）

1)edx ， （2） sec3xdx．

x2xx 解 （1） 选 ux1，dvedx， ve， du2xdx, 于是

xx 原式 (x1)e2xedx,

2对于

xexdx再使用分部积分法,

xx选ux， dvedx , 则 dudx，ve,从而

xexdx=xexexdx=xexexC．

xx2xx2(xeeC)(x2x1)eeC（C2C1）, 1原式=

x为了简便起见，所设 ux,ve 等过程不必写出来，其解题步骤如下:

xexdx=xdex=xexexdxxexexC.

3secxdx=secxd(tanx)=secxtanxtanxd(secx)

（2）

=secxtanxtanxsecxdx

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2

=secxtanx(sec2x1)secxdx

 =secxtanxsec3xdx+secxdx

 =secxtanxsec3xdx+lnsecxtanx, 式中出现了“循环”，即再出现了sec3xdx移至左端，整理得

13=[secxtanx+lnsecxtanx]+C． secxdx2小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有sin(lnx)dx以及上面所讲的sec3xdx等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，

合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数C．

三、学法建议

1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难

点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如 exdxd(ex) ，d(lnx)，

x11xdx2dx，

sinxdxd(cosx),sec2xdxd(tanx)等等．

2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．

如

(arcsinx)dx，先换元，令tarcsinx，再用分部积分法即可， (arcsinx)dx=t222costdt，也可多次使用分部积分公式．

3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．

第六章定积分

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．

3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．

5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．

重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分

第 38 页 共 50 页

部积分法．

难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．曲边梯形

所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念

设函数yf(x)在区间[a,b]上有定义，任取分点 ax0x1x2xn1xnb， 把区间[a,b]分成n个小区间[xi1,xi](i1,2,n)，记为

xixixi1(i1,2,,n),maxxi，

1in再在每个小区间[xi1,xi]上，任取一点i，取乘积f(i)xi的和式，即

f()x．

iii1n如果0时上述极限存在（即这个极限值与[a,b]的分割及点i的取法均无关），则称函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，并且称此极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记做

baf(x)dx，即

baf(x)dxlimf(i)xi，

0i1n其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区

a与b分别称为积分下限与积分上限，间，符号

ba f(x)dx读做函数f(x)从a到b的定积分．

关于定积分定义的说明：

①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如

π/20sinxdxπ/20sintdt，一般地有

baf(x)dx=f(t)dt．

ab②定积分的存在定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续或只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积．

（2）定积分的几何意义

第 39 页 共 50 页

设f(x)在[a,b]上的定积分为

baf(x)dx，其积分值等于曲线yf(x)、直线

xa,xb和y0所围成的在x轴上方部分与下方部分面积的代数和．

3．定积分的性质

（1）积分对函数的可加性，即

[f(x)g(x)dx]abbaf(x)dxg(x)dx,

abb可推广到有限项的情况，即

ba[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxfn(x)dx．

aab（2）积分对函数的齐次性，即

kf(x)dxkabbaf(x)dx (k为常数)．

（3）如果在区间[a,b]上f(x)1，则

ba1dxba．

b（4）（积分对区间的可加性）如果acb，则

bbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx．

acc注意：对于a,b,c三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有

af(x)dxf(x)dxf(x)dx．

accb（5）（积分的比较性质）如果在区间[a,b]上有f(x)g(x)，则

baf(x)dxg(x)dx．

ab（6）（积分的估值性质）设M与m分别是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值，则

m(ba)baf(x)dxM(ba)．

（7）（积分中值定理） 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

baf(x)dxf()(ba)．

4．变上限的定积分

（1）变上限的定积分

当x在[a,b]上变动时，对应于每一个x值，积分

xaf(t)dt就有一个确定的值，

xaf(t)dt因此是变上限的一个函数，记作

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(x)f(t)dt (axb)，

ax称函数(x)为变上限的定积分．

（2）变上限的定积分的导数

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则变上限定积分(x)xaf(t)dt在闭区间

[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即

ddx(x)f(t)dtf(x) (axb)． adxdx 5．无穷区间上的广义积分

设函数f(x)在[a,)上连续，任取实数ba，把极限lim在无穷区间上的广义积分，记做

bbaf(x)dx称为函数f(x)af(x)dxlimf(x)dx，

bab若极限存在，则称广义积分散．

af(x)dx收敛；若极限不存在，则称广义积分af(x)dx发

类似地，可定义函数f(x)在,b上的广义积分为

bf(x)dxlimf(x)dx．

aab函数f(x)在区间(,)上的广义积分为

f(x)dxcf(x)dxcf(x)dx，

其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分则广义积分

f(x)dx才是收敛的；否

f(x)dx是发散的．

6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，如果F(x)是f(x)的任意一个原函数，则

bbaf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，

以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．

7．定积分的计算 （1）定积分的换元法

设函数f(x)在[a,b]上连续，令x(t)，则有

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baf(x)dxx(t)af[(t)](t)dt，

其中函数应满足以下三个条件： ①()a,()b；

②(t)在[,]上单值且有连续导数；

③当t在[,]上变化时，对应x(t)值在[a,b]上变化．

上述公式称为定积分换元公式．在应用换元x(t)公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x换为新变量t时，原积分限也要相应换成新变量t的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．

（2）定积分的分部积分公式

设函数u(x),v(x)在区间[a,b]上均有连续导数，则

baudv(uv)avdu．

abb以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．

（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分

设函数f(x)在关于原点对称区间[a,a]上连续，则 ①当f(x)为偶函数时，②当f(x)为奇函数时，

aaaf(x)dx2f(x)dx，

0aaf(x)dx0．

利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．

二、主要解题方法

1．变上限的定积分对上限的求导方法

sinx例 1 已知 F(x)21tdt ， 求 F(x)．

x解 F(x)sinxx21tdt==cx21tdt+sinxcsinxc1tdt

x2c1tdt1tdt，

F(x)=1x2(2x)+1sinxcosx

=2x1x21sinxcosx．

小结 如果定积分上限是x的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积

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分的下限是x的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是x的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是x的函数，另一个定积分的下限也是x的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．

2． 利用换元积分法计算定积分的方法

例2 计算 （1）

1041xxdx ， （2）sec4xtanxdx ．

π40解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 tx ，xt2 ，dx2tdt ，

当x0时，t0，当x4时，t2，于是

1041xxdx=21t42tdt=[42t]dt 01t01t24tt24ln1tπ40π402044ln3.

（2）

secxtanxdx=sec3xd(secx)

4

小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代， 直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．

3． 利用分部积分法计算定积分的方法

分部积分公式为

1134sec4x01．444πbaudvuvavdu.

abb例3 计算（1）

10arctanxdx， （2）

1e21exlnxdx．

解（1）

10arctanxdx=xarctanx=

10xdx

01x2π1ln(1x2)10 421 =ln2 ．

4212（2） 由于在[,1]上lnx0；在[1,e]上lnx0，所以

e

e21exlnxdx=

11e(xlnx)dx+

e21xlnxdx

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x2 =1lnxd()+

2e1e21x2lnxd()

2e21x2x2x21x2lnx+lnx =[]1+[]24e24 =

111111414+）+（ee+） （44e22e24413134 =+e． 224e4 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.

4． 广义积分的计算方法

例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)

03x1dx ． dx ， (2)2220(x2)(1x)解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以

x11bd(1x2)bdxlim[]原式=lim==lim0 b2(1x2)b0(1x2)2b20(1x2)2b=lim[b111]=， 22(1b)22故所给广义积分收敛，且其值为

(2) 因为 x2时，

1． 21，所以x2为间断点．

(x2)2原式=lim102103dxdxlim+ 222022(x2)(x2) =lim[1012113]0+lim[]22

0x2x2211]+lim[1]=，

212201 =lim[10故广义积分发散．

小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例

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dx1=0(x2)2x2330=113=错误结果． 22三、学法建议

1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法

与分部积分法．

2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．

3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带．

4．计算定积分的着眼点是算出数值，因此我们除了应用牛顿–莱布尼茨公式及积分方法（换元法、分部积分法）计算定积分以外，还要尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性（对称区间上的定积分）以及递推公式

π20sinxdx=cosnxdx的已有结果来算出数

nπ20值．

5．应用牛顿–莱布尼茨公式计算有限区间定积分时，应注意不要忽略了被积函数在积分区间上连续或有第一类间断点的条件，否则会出现错误的结果．

第七章 定积分的应用

一 、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．掌握定积分的微元法.

2．会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3．会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4．会用定积分的微元法求变力所做的功. 5．会用定积分的微元法求液体的侧压力.

重点 定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积. 难点 定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用. （二）内容提要

1．定积分的微元法

(1)在区间a,b上任取一个微小区间x,xdx,然后写出在这个小区间上的部分量

Q的近似值,记为dQf(x)dx(称为Q的微元)；

a,b上无限“累加”（2）将微元dQ在　，即在a,b上积分，得

Q上述两步解决问题的方法称为微元法. 关于微元dQf(x)dx，我们有两点要说明：

baf(x)dx

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①f(x)dx作为Q的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是要求其差是关于x的高阶无穷小，即Qf(x)dxo(x).称做微元的量f(x)dx，实际上就是所求量的微分dQ.

②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部x,xdx上以“常代变”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元dQf(x)dx.

2.面积微元与体积微元 （1）面积微元

①由曲线yf(x)0,xa,xb及x轴所围成的图形,其面积微元dAf(x)dx,面积Abaf(x)dx.

②由上下两条曲线yf2(x),yf1(x) (f2(x)f1(x));及 xa,xb所围成的图形，其面积微元dAf2(x)f1(x)dx，面积Afab2(x)f1(x)dx.

③由左右两条曲线xg1(y),xg2(y) (g2(y)g1(y))及 yc,yd 所围成的图形，其面积微元dAg2(y)g1(y)dy，面积A应取横条矩形为dA，即取y为积分变量）.

（2）体积微元

不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积A(x)是x的已知连续函数，求该物体介于

gcd2(y)g1(y)dy（注意，这时

xa和 xb(ab)之间的体积.

用“微元法”.为求出体积微元dV，在微小区间x,xdx上视A(x)不变，即把

x,xdx上的立体薄片近似看作以A(x)为底，dx为高的柱片，于是其体积微元

dVA(x)dx，再在x的变化区间a,b上积分，则有VA(x)dx.

ab3．弧微元与平面曲线弧微分公式

设曲线yf(x)在a,b上有一阶连续导数,仍用微元法，取x为积分变量，在a,b上任取小区间x,xdx，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，得弧长微元为

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dsMT这里

ds(dx)2(dy)21y2dx,

(dx)2(dy)2x2(t)y2(t)dt.

二 、主要解题方法（微元法）

1．求平面图形的面积的方法 例1 求下列曲线所围成的图形的面积 (1)抛物线 y2x2与直线x2y4， (2)圆 x2y22ax.

解 (1)先画图，如图所示，

并由方程xy2 求出交点为（2，1），（82y2，

，2）. x4解一 取y为积分变量,y的变化区间为[1，2]， 在区间[1，2]上任取一子区间[y，y+dy ]， 则面积微元 dA=(2y42y2)dy, 则所求面积为

A=2(2y42y2)dy = （y2214yy3）231=9.

解二 取x为积分变量，x的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.

在区间[0，2]上任取一子区间[x，x +dx]， 则面积微元 dA1=[2x2]dx, 在区间[2，8]上任取一子区间[x，x +dx]， 则面积微元 dA2=[x212(x4)]dx , 于是得

A=A1+A2 A=2x022dx+A82(x2x22)dx 3=223x22+[222x230x2x]8342=9 .

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y （8,2）y2 x2y+dyy 0 (2,-1) x x2y4y（8,2）y 2x2O (2,-1) x x2y4

显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.

(2) 如图，利用极坐标计算.

的变化区间为[，]

则面积微元

dπ2π2r2acosdA =

12rd 212=(2acos)d, 2π2π2xx2y22ax于是所求图形的面积为

A=

21(2acos)2d 2π2π2=2acos2d,

π20π20利用对称性，得 A=4a2cosd=2a22π20(1cos2)d

1=2a（+sin2）

22=πa,

2事实上，r2acos表示一个半径为a的圆.面积 A=πa是正确的.

小结 计算面积时要注意：

（1） 适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形宜采用极坐标系.

（2）要考虑图形的对称性. （3）积分区间尽量少分块. 2．求旋转体体积的方法

例2 求由曲线xy4, 直线 x1,x4,y0绕x轴旋转一周而形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为

224dV=πydx=π()2dx,

x2y 于是，体积 V=π414()2dx xxy=4 O 第 48 页 共 50 页

1 x x+dx 4 x

=16π411dx 2x16π1x41=12π.

小结 求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限.

3． 求曲线的弧长的方法

2例3 (1)求曲线 yx2上从0到3一段弧的长度,

33xa(costtsint)(2)求圆的渐开线方程 ,上相应于t从0到π的一段弧的长度.

ya(sinttcost)解 (1) 由公式 s=

30ba1y2dx （ ab）知,弧长为

21xdx=(1x)23330s=1y2dx=30=

16214=. 333(2) 因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为 dsx2(t)y2(t)dt,

x(t)a(sintsinttcost)=atcost, y(t)a(costcosttsint)=atsint , 故

x2(t)y2(t)=a2t2cos2ta2t2sin2t=at ,

故所求弧长为

s=π0x(t)y(t)dt=22π0t2ππ2a. atdt=a()0=

224．求变力做功的方法

例4 设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下 被压缩3cm，求外力所做的功.

解 根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力F与伸长量（压缩量）x成正比，即

F =kx （k0为弹性系数）

按假设 当 x=0.005m时 ，F=1N， 代入上式得 k=2N/m,即有

F=200x,

所以取x为积分变量，x的变化区间为[0，0.03]，

功微元为 dW=F(x)dx=200xdx,

于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为 W=

0.030.03=0.09（J）. 200xdx=(100x2)00第 49 页 共 50 页

5．求液体对侧面的压力的方法

例5 一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为2a，2b（ab）,高为h，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力F.

解 取坐标系如图所示,

abxb, h取水深x为积分变量，x的变化区间为[0，h]，在[0，h]上任取一子区间[x，x +dx]，

则AB的方程为 y与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强

P=x (为水的比重), 小梯形上所受的水压

力

O x y dP=(2ydx)x=2x（

abxb）dx x+dx h小梯形上所受的总压力为

h x abxb)dx P2x(0hhab=2(x2bx)dx

0hhabx3x2habb1b)0=2（=2(）h2=（2ab）h2.

h32323三、学法建议

1．本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好

本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些实际问题，这也是本章的难点.

2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量F必须满足 （1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来.

3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.

4．用微元法解决实际问题应注意：

（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题；

（2）取好微元f(x)dx，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A的线性主 部，这关系到结果正确与否的问题.

（3）核对f(x)dx的量纲是否与所求总量的量纲一致.

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