高二(下)期中数学复习之圆锥曲线综合问题

一、选择题

（下）数学复习之圆锥曲线综合问题

x2y2

1．已知双曲线2－2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，

ab则该双曲线的方程为( )

4

A．5x－y2＝1

5

2

x2y2

B.－＝1 5

D．5x2－y2＝1

4

y2x2

C.－＝1

x2y2

2．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )

5m

A．(0,1)

B．(0,5) D．[1,5)

C．[1,5)∪(5，＋∞)

x2y221的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线 上任意一点，则分3.双曲线2ab别以线段PF,A1A2为直径的两圆一定（ ） 1 A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能 4.定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数

y9x2图象上任意两个“左整D．13

点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数为（ ）

A．10

B．11

C．12

x2y25.已知M是椭圆221(ab0)上一点，两焦点为F1,F2，点P是MF1F2的内

ab心，连接MP并延长交F1F2于N，则

|MP|的值为（ ）

|PN| A．

aab22 B．

bab22 C．

a2b2b D．a2b2a x2y2

6．已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线

ab的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )

A．(1,2]

B．(1,2) C．[2，＋∞)

D．(2，＋∞)

x2y21的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点7．椭圆

1612在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ） （A）75° （B）60° （C）45° （D）30°

共10页 第1页

8若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线1

的斜率为，则椭圆的离心率为( )

2

1A. 2

B.

23 C. 22

D.6 2

9.一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在t1时刻测得它的影长为4米，在t2时刻的影长为1米。这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在t1、t2这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（ ）

(A) 1：1 (B) 2：1 (C) 3：1 (D) 2：1

10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点Ap2，0的直线与抛物线C交于M、N两点，过点M、N向直线x＝－p

2作垂线，垂足分别为P、Q，△MAP、△NAQ的面积分别为记为S2，那么( )

A．S1S2＝2∶1 B．S1S2＝5∶2 C．S1S2＝4∶1

D．S1S2＝7∶1

二、填空题

x211已知过双曲线a2－y2

b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，离心率e的取值范围是________．

12．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的焦点，设图(1)，(2)，(3)中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3.则e1、e2、e3的大小关系为13．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2

＋y24

＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，的面积为2－1的点P的个数为________．

双曲线x2y214.a2b21(a0,b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含

边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是

15、过抛物线

y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线

的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程

为______________。;

共10页 第2页

MA→＝2AN→，S1与

则双曲线的

F1、F2为________．

则使△PAB

且

三、解答题

x2y23

16．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－

ab2b)，B(a,0)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M→→→

为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足PN·QN＝0，且|PQ|＝10，求直线l的方程．

17．已知椭圆－6x－2y(1)求椭圆(2)若椭圆内存在动点范围．

18.已知椭圆的中心在坐标原点为一个正方形的顶点．过右焦点 (1)求椭圆的方程；(2)当直线(3)在线段求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．19. 已知椭圆长为半径的圆与直线的动点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）值；

（Ⅲ）说明轨迹是什么曲线．

20.已知双曲线C：x2a2＋y2

＝1(a>1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2

7＝0相切．

C的方程；

P，使|PF|，|PF→→

1|，|PO2|成等比数列(O为坐标原点)，求PF1·PF2的取值O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．

l的斜率为1时，求△POQ的面积；

OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，

x2y2C:3a2b21(ab0)的离心率为e3，以原点为圆心，椭圆短半轴xy20相切，A,B分别是椭圆的左右两个顶点， P为椭圆C上

若P与A,B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若OPOM，求点M的轨迹方程，并

x2y21的左、

右顶点分别为A1、A2，动直线l:ykxm与圆x2y21共10页 第3页

＋ 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2). （I）求k的取值范围，并求x2x1的最小值；

（II）记直线P的斜率为k2,那么k1k2是定值吗？证明你的结1A1的斜率为k1,直线P2A2论。

21.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的

位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题（1）设F1、F2是椭圆距离分别为d1、d（2）设F1、F2是椭圆 L:mxny试求d1·（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）

:x2M25d1·d:x2Ma2p0（m、2的值

y291的两个焦点，点y2b21(a不同时为10页

F1、F2到直线L:2xy50的L与椭圆M的位置关系

b0)的两个焦点，点F1、F2到直线

）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，

4页

2，试求2的值，并判断直线n0d共第圆锥曲线综合问题参

一.选择题.

1-5 DCBBA 6-10 CBBAC 二.填空题

11.1,2 12.e1e3e2 13. 3 14.1,5 15.y212x 三.解答题

c

a＝2，

16. (1)依题意有ab22＝3

a＋b2，

a2

＋b2

＝c2

.

解得a＝1，b＝3，c＝2.所以，所求双曲

2线的方程为x2－y

3＝1.

(2)当直线l⊥x轴时，|PQ→|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线

l的方程为y＝k(x－2)．

2

由x2－y3＝1(x>0)

y＝k(x－2)

得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①

因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有4k2

x1＋x2＝k2－3

>0，

2

x1x2

＝4k＋32k－3

>0，Δ＝(4k2)2

－4(3－k2

)(－4k2

－3)>0，

所以k2>3.②

因为PN→·QN→＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|PQ→|＝10，所以共10页 第5页

|PM|＝|MN|

x1＋x212k2

＝|MQ|＝2|PQ|＝5.又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝2＝2＝3，∴k2

k－3＝9，解得k＝±3.

∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．

即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

17. [解析]

(1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，

则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝3.由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝a2－1)，得直线AF2： |3＋c－c|x

＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF2与圆M相切，得＝3， cc2＋1x22

解得c＝2或c＝－2(舍去)．则a＝c＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y＝1.

3

2

2

(2)由(1)知F1(－2，0)、F2(2，0)，设P(x，y)，

由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，即(x2＋y2)2＝(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2，

x22x22

化简得：x－y＝1，则x＝y＋1≥1.因为点P在椭圆内，故＋y<1，即＋x－1<1，

33

2

2

2

2

33→→→→

∴x2<，∴1≤x2<，又PF1·PF2＝x2－2＋y2＝2x2－3，∴－1≤PF1·PF2<0.

22

x2y2

18. [解析] (1)由已知，椭圆方程可设为a2＋b2＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点x22

恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝2.所求椭圆方程为＋y＝1.

2(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

22x＋2y＝21由得，3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝.

3y＝x－1

112

∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝. 223

(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0x2＋2y2＝2

由可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0. y＝k(x－1)

2k2－24k2∴x1＋x2＝，xx＝. 1＋2k2121＋2k2→→→

MP＝(x1－m，y1)，MQ＝(x2－m，y2)，PQ＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形

→→→→→→⇔(MP＋MQ)⊥PQ⇔(MP＋MQ)·PQ＝0⇔(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0

共10页 第6页

⇔(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0 4k4kk⇔1＋2k2－2m＋k21＋2k2－2＝0⇔2k2－(2＋4k2)m＝0⇔m＝(k≠0)． 1＋2k21∴02

2

2

2

19. 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x2y2b2，

2c3，即a3c，b，即b2，又ea32x2y2222abc，解得a3，c1，所以椭圆方程为1．

3222x0y02222x01，即y0（Ⅱ）设P(x0,y0)(y00)， A(3,0)，B(3,0)，则，

33222222x0(3x0)2y02y0y02332， 则k1，k2，即k1k22x03x03x033x03x032∴k1k2为定值．

3∵直线xy20与圆相切，∴d（Ⅲ）设M(x,y)，其中x[3,3]．由已知

OPOM222及点P在椭圆C上可得

x2222x2x6222223， 整理得 (31)x3y6，其中x[3,3]．2222xy3(xy)32时，化简得y6，所以点M的轨迹方程为y6(3x3)，轨迹3x2y231，其中是两条平行于x轴的线段； ②当时，方程变形为

66332132， x[3,3]①当当0的部分； 当3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足3x3331时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭足3x3的3部分；

当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆． 20.解： （Ⅰ）l与圆相切,1m1k2 m1k „„„„ ①

22由ykxm222(1k)x2mkx(m1)0, , 得 22xy1共10页 第7页

1k204m2k24(1k2)(m21)4(m21k2)80 , 2mx1x2210k1k21,1k1,故k的取值范围为(1,1).

由于x1x22mk22222xx(xx)4xx， 211212221k21k1k0k21 当k20时，x2x1取最小值22. 6分

（Ⅱ）由已知可得A1,A2的坐标分别为(1,0),(1,0)，

k1y1y,k22， x11x21y1y2(kxm)(kx2m)1

(x11)(x21)(x11)(x21)2k1k2m212mkk2mk2m222kx1x2mk(x1x2)mk1k1 2x1x2(x2x1)1m122212k1k1m2k2k22m2k2m2k2m2k2m2， 2222m122k1mk222由①，得 mk1，

22k1k21(322)为定值. 12分

32221.解：（1）d1d2|425||425|9； „„„„„„2分

33x2y21消去y可得59x25010x1000； „„„„3分 联立方程2592xy50 (5010)24591000,所以直线L与椭圆M相交 „„„„4分

共10页 第8页

x2y21 （2）联立方程组a2b2,

mxnyp0 消去

y可得(a2m2b2n2)x22a2mpxa2(p2b2n2)0,(*)6分(2a2mp)24(a2m2b2n2)a2(p2b2n2)4a2b2n2(a2m2b2n2p2)0即p2a2m2b2nn.8分

222因为椭圆焦点F1(c,0),F2(c,0),其中c2a2b2;|mcp||mcp||pmc|2222m2n2mnmn|a2m2b2n2m2c2|2b.10分22mnd1d2x2y2 （3）设F1、F2是椭圆M:221(ab0)的两个焦点，点F1、F2到直线

ab0)的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧 L:mxnyp0(m,n不同时为那么直线L与椭圆相交的充要条件为：d1d2b2；直线L与椭圆M相切的充要条件为：d1d2b2；直线L与椭圆M相离的充要条件为：d1d2b2 „„14分 证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交(*)中0p2a2m2b2n2

p2m2c2a2m2b2n2m2c2d1d2b2;2222mnmnm2n2m2n22 同理可证:直线L与椭圆M相离d1d2b

mcpmcp直线L与椭圆M相切d1d2b2.16分 命题得证

（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）

x2y2 （4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线M:221ab的

两

个

焦

点

，

点

F1

、

F2

到

直

线

y3L:mxnyp0(m,n不同时为0)距离分别为d1、d2，且

F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：d1d2b；直线L与双曲线M相切的充要条件为：

2PH3O3Q3x共10页 第9页

（第20题） Md1d2b2；直线L与双曲线M相离的充要条件为：d1d2b2„„„„„20分

（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）

共10页 第10页