2017年江苏省连云港市、徐州市高考数学三模试卷(有答案)AlMwKU

一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）

1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为 ． 2．设a，b∈R，

=a+bi（i为虚数单位），则b的值为 ．

﹣

=1的离心率是 ．

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“”的概率是 ．

5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为 ．

6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ． 7．已知实数x，y满足

，则的取值范围是 ．

8．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜上的单调减区间是 ．

）的图象过点（0，），则函数f（x）在[0，π]

9．Sn为{an}的前n项和．在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中，若a1=则q的值为 ．

，且S5=S2+2，

10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为 ．

11．BC平行于x轴，B和C分别在函数y1=3logax，如图，已知正方形ABCD的边长为2，顶点A，y2=2logax和y3=logax（a＞1）的图象上，则实数a的值为 ．

12．已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，则实数a的取值范围是 ．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）2+（y﹣m）2=3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是 ．

14．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=最大值时，的值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=（1）求cosB的值； （2）求CD的长．

，BC=13．

，c=2．当取得

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：AB∥EF；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A，B，

过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）． （1）若QF=2FP，求直线l的方程；

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且透光区域的面积为S．

（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．

≥，设∠EOF=θ，

19．已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1=1，S2=4，对任意的n∈N*，都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn．证明：an＞bn； （3）若{bn}为等比数列，b1=a1，b2=a2，求满足

=ak（k∈N*）的n值．

20．已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2． （1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣求m的值；

（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲

21．MN交于点C，如图，圆O的弦AB，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．

，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是

，

B.选修4-2：矩阵与变换 22．已知矩阵A=

C.选修4-4：坐标系与参数方程 23．在极坐标系中，已知点A（2，段AB最短时，求点B的极坐标．

D.选修4-5：不等式选讲

24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3

．

），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线

，若A

=

，求矩阵A的特征值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P． （Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；

（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．

[选修4-5：不等式选讲]

26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）． （1）写出f（2），f（3），f（4）的值； （2）求f（n）．

2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷

参与试题解析

一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）

1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ． 【考点】1D：并集及其运算． 【分析】利用并集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}， ∴A∪B={﹣1，0，1，2，7}， 集合A∪B中元素的个数为5． 故答案为：5．

2．设a，b∈R，

=a+bi（i为虚数单位），则b的值为 1 ．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：∵a，b∈R，∴a+bi=∴b=1． 故答案为：1．

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a2、b2的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为则a2=4，b2=3， 则c=

=

，

；

﹣

=1，

﹣

=1的离心率是

．

=

=i．

=a+bi（i为虚数单位），

则其离心率e==

故答案为：

．

4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“”的概率是

．

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n=件个数m=1，由此能求出能组成“”的概率．

【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字． 将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n=能组成“”包含的基本事件个数m=1， ∴能组成“”的概率p=故答案为：．

5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为 6 ．

．

=6，

=6，能组成“”包含的基本事

【考点】EF：程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结论． 【解答】解：分析流程图所示的顺序知： k=2，22﹣14+10=0，

不满足条件k2﹣7k+10＞0，执行循环体； k=3，32﹣21+10=﹣2，

不满足条件k2﹣7k+10＞0，执行循环体； k=4，42﹣28+10=﹣2，

不满足条件k2﹣7k+10＞0，执行循环体； k=5，52﹣35+10=0，

不满足条件k2﹣7k+10＞0，执行循环体； k=6，62﹣42+10=4，

满足条件k2﹣7k+10＞0，退出循环，输出k=6． 故答案为：6．

6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 5.2 ． 【考点】BC：极差、方差与标准差．

【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可． 【解答】解：数据3，6，9，8，4的平均数为： =×（3+6+9+8+4）=6， 方差为：

s2=×[（3﹣6）2+（6﹣6）2+（9﹣6）2+（8﹣6）2+（4﹣6）2]=故答案为：5.2．

7．已知实数x，y满足【考点】7C：简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率求解．

【解答】解：由约束条件

作出可行域如图， ，则的取值范围是 [

，] ．

=5.2．

的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，

联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2）， 又

，

．

，]．

∴的取值范围是[故答案为：[

，]．

8．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜上的单调减区间是 [

，

]【或（

）的图象过点（0，，

）也正确】 ．

），则函数f（x）在[0，π]

【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】根据函数f（x）图象过点（0，

）求出φ的值，写出f（x）解析式，

再根据正弦函数的图象与性质求出f（x）在[0，π]上的单调减区间． 【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜∴f（0）=2sinφ=∴sinφ=

；

，

，

）的图象过点（0，

），

又∵0＜φ＜∴φ=

，

∴f（x）=2sin（2x+令∴解得

+2kπ≤2x++2kπ≤2x≤+kπ≤x≤

≤

）；

+2kπ，k∈Z， +2kπ，k∈Z， +kπ，k∈Z；

，

]．

令k=0，得函数f（x）在[0，π]上的单调减区间是[故答案为：[

，

]【或（

，

）也正确】．

9．Sn为{an}的前n项和．在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中，若a1=则q的值为

．

，且S5=S2+2，

【考点】：等比数列的前n项和． 【分析】由a1=得出．

【解答】解：∵a1=∴a3+a4+a5=∴q2+q﹣1=0， 解得q=故答案为：

10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为

．

． ．

，且S5=S2+2，q＞0．

，且S5=S2+2，q＞0．可得a3+a4+a5=

（1+q+q2）=2，代入化简解出即可

（1+q+q2）=2，

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高，由此能求出三棱锥P﹣ABA1的体积． 【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=3，点P在棱CC1上， ∴点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高，即为h=

=

=，

=

=

． =

，

三棱锥P﹣ABA1的体积为：V=故答案为：

．

11．BC平行于x轴，B和C分别在函数y1=3logax，如图，已知正方形ABCD的边长为2，顶点A，y2=2logax和y3=logax（a＞1）的图象上，则实数a的值为 ．

【考点】4N：对数函数的图象与性质．

【分析】设B（x，2logax），利用BC平行于x轴得出C（x2，2logax），利用AB垂直于x轴 得出 A（x，3logax），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logax=x2﹣x=2，求出x，再求a 即可．．

【解答】解：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′=2logax，∴x′=x2，

∴正方形ABCD边长=|BC|=x2﹣x=2，解得x=2．

AB垂直于x轴，3logax）由已知，∴A（x，，正方形ABCD边长=|AB|=3logax﹣2logax=logax=2，即loga2=2，∴a=故答案为：

12．已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，则实数a的取值范围是 （1，5] ． 【考点】3W：二次函数的性质．

【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出． 【解答】解：△=4（a﹣2）2﹣4a=4a2﹣20a+16=4（a﹣1）（a﹣4）．

（1）若△＜0，即1＜a＜4时，x2﹣2（a﹣2）x+a＞0在R上恒成立，符合题意； （2）若△=0，即a=1或a=4时，方程x2﹣2（a﹣2）x+a＞0的解为x≠a﹣2， 显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；

（3）当△＞0，即a＜1或a＞4时，∵x2﹣2（a﹣2）x+a＞0在（﹣∞，1）∪（5，+∞）恒成立， ∴

，解得3＜a≤5，

．

，

又a＜1或a＞4，∴4＜a≤5． 综上，a的范围是（1，5]． 故答案为（1，5]．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）2+（y﹣m）2=3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是 ∅ ． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．

m）【分析】求出G的轨迹方程，得两圆公共弦，由题意，圆心（﹣2，到直线的距离d=＜

，即可求出实数m的取值范围．

【解答】解：设G（x，y），则 ∵AB=2GO， ∴2

=2

，

化简可得x2+y2+2x﹣my+m2+=0， 两圆方程相减可得2x﹣my+m2+=0

由题意，圆心（﹣2，m）到直线的距离d=故答案为∅．

＜，无解，

14．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=最大值时，的值为 2+

．

，c=2．当取得

【考点】9V：向量在几何中的应用． 【分析】根据正弦定理用A表示出b，代入

=2bcosA，根据三角恒等变换化简得出当

取最大值时A的值，再计算sinA，sinB得出答案． 【解答】解：∵C=由正弦定理得

，∴B=

=﹣A， ，

∴b=∴

sin（﹣A）=2cosA+sinA， sin2A

=bccosA=2bcosA=4cos2A+

sin2A

=2+2cos2A+

==

（sin2A+sin（2A+

cos2A）+2 ）+2，

， 时，

∵A+B=∴当2A+此时，B=∴sinA=sinsinB=sin（∴

，∴0＜A＜=﹣即A==

取得最大值，

=sin（

）=

=

．

=2+

）=﹣=

=．

，

．

故答案为2+

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=（1）求cosB的值； （2）求CD的长．

，BC=13．

【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）在△ABC中，求出sinA=

=．，sin∠ACB=

．

可得cosB=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB； （2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=在△BCD中，由余弦定理得，CD=

【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=，A∈（0，π）， 所以sinA=

=．

sin∠ACB．

．

同理可得，sin∠ACB=．

所以cosB=cos[π﹣（A+∠ACB）]=﹣cos（A+∠ACB） =sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB =

；

sin∠ACB=

．

（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=又AD=3DB，所以DB=

．

在△BCD中，由余弦定理得，CD==

=9

．

16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：AB∥EF；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．

【考点】LZ：平面与平面垂直的性质．

【分析】（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．

（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥EF． 【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD． 又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC．

又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，

所以AB∥EF．

（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD． 又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF． 又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+

=1的左、右顶点分别为A，B，

过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）． （1）若QF=2FP，求直线l的方程；

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c，可得F的坐标，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q的纵坐标，再由向量共线的坐标表示，可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程；

（2）运用韦达定理可得y1+y2，y1y2，my1y2，由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，

运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在． 【解答】解：（1）因为a2=4，b2=3，所以c=所以F的坐标为（1，0），

=1，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1， 代入椭圆方程则y1=

若QF=2FP，即则解得m=

+

=1，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0， ，y2==2+2•，

x﹣2y﹣

=0． ，y1y2=﹣

，

，

=0，

．

故直线l的方程为

（2）由（1）知，y1+y2=﹣所以my1y2=﹣

=（y1+y2），

由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1， 所以

=

•

=

=

=，

故存在常数λ=，使得k1=k2．

18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且透光区域的面积为S．

（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB

≥，设∠EOF=θ，

的长度．

【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．

【分析】（1）过点O作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于θ的解析式S，并求出θ的取值范围；

（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性， 求出比值最大时对应边AB的长度．

【解答】解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ； 又OH=OFsinθ=sinθ， FH=OFcosθ=cosθ，

∴S=4S△OFH+4S阴影OEF=2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ； ∵

≥，∴sinθ≥，∴θ∈[

，

）；

，

）；

∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[

（2）由S矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ， ∴设f（θ）=

+=

+，θ∈[

， ，

），

则f′（θ）=﹣sinθ+=

=

=；

≤θ＜

，∴sin2θ≤，

∵

∴sin2θ﹣θ＜0， ∴f′（θ）＜0， ∴f（θ）在θ∈[∴当θ=

，

）上是单调减函数；

+

，

时f（θ）取得最大值为

此时AB=2sinθ=1（m）；

∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[

19．已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1=1，S2=4，对任意的n∈N*，都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn．证明：an＞bn； （3）若{bn}为等比数列，b1=a1，b2=a2，求满足【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（2）方法一、设数列{bn}的公差为d，求出Sn，Tn．由恒成立思想可得b1＜1，求出an﹣bn，判断符号即可得证；

方法二、运用反证法证明，设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得a理可得d＞2，作差Tn﹣Sn，推出大于0，即可得证；

（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得Sn，Tn，化简差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．

【解答】解：（1）由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an，得2（Sn+1﹣Sn）=Sn+2﹣Sn+1+an， 即2an+1=an+2+an，所以an+2﹣an+1=an+1﹣an．

，推出小于3，结合等

≤b

，推

=ak（k∈N*）的n值．

，

）；所求AB的长度为1m．

由a1=1，S2=4，可知a2=3．

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． 故{an}的通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*． （2）证法一：设数列{bn}的公差为d， 则Tn=nb1+n（n﹣1）d，

由（1）知，Sn=n（1+2n﹣1）=n2． 因为Sn＞Tn，所以n2＞nb1+n（n﹣1）d， 即（2﹣d）n+d﹣2b1＞0恒成立， 所以

，即

，

又由S1＞T1，得b1＜1，

所以an﹣bn=2n﹣1﹣b1﹣（n﹣1）d=（2﹣d）n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1=1﹣b1＞0． 所以an＞bn，得证．

证法二：设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得a

≤b

，

则a1+2（n0﹣1）≤b1+（n0﹣1）d，即a1﹣b1≤（n0﹣1）（d﹣2）， 因为a1＞b1，所以d＞2．

所以Tn﹣Sn=nb1+n（n﹣1）d﹣n2=（d﹣1）n2+（b1﹣d）n， 因为d﹣1＞0，所以存在N

∈N*，当n＞N

时，Tn﹣Sn＞0恒成立．

这与“对任意的n∈N*，都有Sn＞Tn”矛盾！ 所以an＞bn，得证．

（3）由（1）知，Sn=n2．因为{bn}为等比数列， 且b1=1，b2=3，

所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以bn=3n﹣1，Tn=（3n﹣1）． 则

=

=

=3﹣

， ＜3．

因为n∈N*，所以6n2﹣2n+2＞0，所以

而ak=2k﹣1，所以=1，即3n﹣1﹣n2+n﹣1=0（*）．

当n=1，2时，（*）式成立；

当n≥2时，设f（n）=3n﹣1﹣n2+n﹣1，

则f（n+1）﹣f（n）=3n﹣（n+1）2+n﹣（3n﹣1﹣n2+n﹣1）=2（3n﹣1﹣n）＞0， 所以0=f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…， 故满足条件的n的值为1和2．

20．已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2． （1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣求m的值；

（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；

（3）根据OA和OB的关系，问题转化为p（x）=

﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是

，

﹣x2lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=，设q（x）=x2（e﹣lnx），根据函

数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可． 【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f′（x）=因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0， 所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0， 所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）． （2）h（x）=+2x﹣当0＜x＜

，则h′（x）=

，令h′（x）=0，得x=

）上单调减；

，

+lnx+1，

时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，

当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）在（

）=2

m﹣

，

，+∞）上单调增．

所以[h（x）]min=h（①当h（2

（2m﹣1）≥m﹣

）=

[

，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值

+2（2=1或

=

﹣1）﹣1]=

，

即17m﹣26②当0＜

+9=0，解得﹣1）＜

（舍），所以m=1；

（2，即＜m＜时，

）=

（2

﹣1）=

，解得

=（舍），

函数y=h（h（x））的最小值h（综上所述，m的值为1． （3）由题意知，KOA=考虑函数y=所以函数y=

+lnx，KOB=，

，因为y′=在[1，e]上恒成立，

在[1，e]上单调增，故KOB∈[﹣2，﹣]，

+lnx≤e在[1，e]上恒成立，

所以KOA∈[，e]，即≤即

﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，

﹣x2lnx，则p′（x）=﹣2lnx≤0在[1，e]上恒成立，

设p（x）=

所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=， 设q（x）=x2（e﹣lnx），

则q′（x）=x（2e﹣1﹣2lnx）≥x（2e﹣1﹣2lne）＞0在[1，e]上恒成立， 所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e， 综上所述，m的取值范围为[，e]．

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲

21．MN交于点C，如图，圆O的弦AB，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．

【考点】NB：弦切角．

【分析】连结AN，DN．利用圆周角定理，结合∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数． 【解答】解：连结AN，DN．

因为A为弧MN的中点，所以∠ANM=∠ADN． 而∠NAB=∠NDB，

所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB， 即∠BCN=∠ADB． 又因为∠ACN=3∠ADB，

所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°， 故∠ADB=45°．

B.选修4-2：矩阵与变换 22．已知矩阵A=

，若A

=

，求矩阵A的特征值．

【考点】OV：特征值与特征向量的计算．

【分析】利用矩阵的乘法，求出a，d，利用矩阵A的特征多项式为0，求出矩阵A的特征值．

【解答】解：因为A所以

==，

，解得a=2，d=1．

所以矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=（λ﹣4）（λ+1），

令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．

C.选修4-4：坐标系与参数方程 23．在极坐标系中，已知点A（2，段AB最短时，求点B的极坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】点A（2，

）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB最短时，

），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线

点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，求出交点，进而得出．

【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点A（2，

）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．

AB最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点， 联立

，得

，所以点B的直角坐标为（﹣1，1）．

．

所以点B的极坐标为

D.选修4-5：不等式选讲

24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3【考点】R6：不等式的证明．

【分析】利用基本不等式的性质进行证明．

【解答】证明：∵a3+b3+c3=a2b2c2，a3+b3+c3≥3abc， ∴a2b2c2≥3abc，∴abc≥3， ∴a+b+c≥3当且仅当a=b=c=

≥3

．

．

时，取“=”．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P． （Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；

（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】（Ⅰ）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；

（Ⅱ）求得M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．

【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1， ∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，

连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点， ∴|MP|=|PF|，

∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1， ∴曲线Г的方程为y2=4x；

（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k， 则切线方程为：y﹣n=k（x+1）， 联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0， 由直线和抛物线相切， 可得△=16﹣4k（4k+4n）=0， 即k2+kn﹣1=0，（*）

∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2， ∵k1=kAM，k2=kBM，

由方程（*）可知，kAM•kBM=k1•k2=﹣1， ∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．

[选修4-5：不等式选讲]

26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）． （1）写出f（2），f（3），f（4）的值； （2）求f（n）．

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；

（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=CU（A∪B）之一中，求出这n个元素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）可求． 【解答】解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；

（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=CU（A∪B）之一中， 则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种； 其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n， ∴A，B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1， 又（A，B）与（B，A）为一组“互斥子集”， ∴f（n）=

．

2017年5月24日