高考数学二轮复习双曲线学案(含解析)

双曲线问题考向一双曲线的定义与焦点三角形 1.在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点动点具备的几何条件，即“到两定点焦点的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用

2.在焦点三角形中，注意定义.余弦定理的活用，常将||PF1||PF2||2a平方，建立与|PF1|.|PF2|间的联系

1.xx全国，11已知F

1.F2是双曲线E1的左.右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为ABCD2答案A解析解法一由MF1x轴，可得M，|MF1|.由sinMF2F1，可得cosMF2F1，又

tanMF2F1，，b2ac，c2a2b2c2a2ac0e2e10，e.解法二设MF1m，则MF23m，F1F222m2aMF2-MF12m，2cF1F222m所以e

22.xx大纲卷，9已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1ABCD答案A解析由题意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，所以cosAF2F

13.xx湖南卷，14设F1，F2是双曲线C1a0，b0的两个焦点，P是C上一点若|PF1||PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为________答案解析不妨设点P在双曲线C的右支

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上，由双曲线定义知|PF1||PF2|2a，又因为|PF1||PF2|6a，由得|PF1|4a，|PF2|2a，因为ca，所以在PF1F2中，PF1F2为最小内角，因此PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理可知，

|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1||F1F2|cos30，即4a216a24c28ac.所以c22ac3a20，两边同除以a2得，e22e

30.解得e.考向二双曲线的标准方程

1.xx全国，5已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A1，3B1，C0，3D0，答案A解析原方程表示双曲线，且焦距为4，或由得m21，n1，3无解

2.xx北京卷，11设双曲线C经过点2，2，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________答案1；y2x解析根据题意，可设双曲线Cx2，将2，2代入双曲线C的方程得3，C的方程为

1.渐近线方程为y2x.与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为0考向三与渐近线有关的双曲线问题

1.

【xx全国卷理16】

已知双曲线C的左.右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，，则C的离心率为____________

【答案】

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2分析解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.解析如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得，，又OA与OB都是渐近线，得又，又渐近线OB的斜率为，该双曲线的离心率为解法2如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得，取Bx,bax，x2b2a2x2c2，xa，所以Ba,b因为F1Ab，所以OAa，BF12b，BF22aSBF1F2122a2b122cb，所以e

22.

【xx年高考全国卷理数】

双曲线C1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD

【答案】 A 【解析】

由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则， 3.xx全国，11已知双曲线Cy21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|AB3C2D4答案B解析由题意分析知，FON

30.所以MON60，又因为OMN是直角三角形，不妨取NMO90，则ONF30，于是FNOF2，FMOF1，所以|MN|

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3.4.xx全国，11设F1，F2是双曲线C1a0，b0的左.右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1||OP|，则C的离心率为

A.B2 C.

D.答案C解析一由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e.解析二由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.过F1作渐近线的垂线，垂足为Q.因为P.Q关于原点对称，|QF1|b，|QO|a，|PQ|2a.在RtPQF1中，QF12PQ2PF12b24a26a2，则b22a2，c23a2e.5.xx全国，15已知双曲线C1a0，b0的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为________答案解析如图，由题意知点Aa，0，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d.又MAN60，MANAb，MAN为等边三角形，dMAb，即b，a23b2，e.考向四双曲线的离心率问题

1.xx全国，11已知A，B为双曲线E的左.右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为AB2CD答案D解析设双曲线方程为1a0，b0，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M2a，a将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.2.

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【xx年高考全国卷理数】

设F为双曲线C的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点若，则C的离心率为ABC2D

【答案】

A解析设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，，，又点在圆上，，即，故选A考向五与其他知识交汇的双曲线问题

1.xx全国，9若双曲线C1a0，b0的一条渐近线被圆x22y24所截得的弦长为2，则C的离心率为A2BCD答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为2，0，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a

2.所以C的离心率e

2.2.xx天津卷，5已知双曲线1a0，b0的两条渐近线与抛物线y22pxp0的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则pA1BC2D3答案C解析由已知得双曲线离心率e2，得c24a2，b2c2a23a2，即ba.又双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的准线方程为x，所以A，B，于是|AB|.由AOB的面积为可得，所以p2444，解得p2或p2舍去，故选

C.3.xx山东卷，11抛物线C1yx2p0的焦点与双曲线C2y21的右焦点的连线交C1于

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第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则pABCD答案D解析设抛物线C1的焦点为F，则F.设双曲线C2的右焦点为F1，则F12，0直线FF1的方程为yx，设M，因为M在直线FF1上，x0.yx2，yx，C1在M点处的切线斜率为x0，又y21的渐近线方程为yx，故由题意得x0，将.联立得p，故选

D.8

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