特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法

解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。

一. 比例法

x1ab(b0) x1abAD 分式：观察方程，形如：的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”

BC 例1. 解方程而直接求解。

解：原方程化为

(x1)(ab)(ab)(x1) 整理得2bx2a b0，x

例2. 解方程：

a b23x32x 3x12x2 解：原方程化为

(23x)(2x2)(32x)(3x1) 整理得13x7， x7 137是原方程的根。 13 经检验x

二. 换元法

y34y80 y2y3AD 分析：本题若移项，形如，如果用比例法则去分母后方程变为BC3y224y70，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现4y8y2y2y34，其中与互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 y3y3y3y2y3A，则原方程变形为 解：设

y2 例3. 解方程

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40 A 整理得A24

A A2

y32，解得y17； y2y312，解得y2 当A2时，

y331 经检验，y17，y2都是原方程的解。

3 当A2时，

例4. 解方程组

235xyxy 144yxxy(1)

(2)11，，因此可运用换元法， xyxy 分析：方程（1），（2）中都含有 设

11a，b xyxy 则方程组变形为

3b2a5 

b4a4 解这个二元一次方程组，求出a、b的值，代入

三. 倒数法

11和中，即可解出x，y的值。 xyxy1112，求x22____________。 x2x1111 分析：已知条件中，x，互为倒数22，其中2，互为倒数关系，利用此

x222 例5. 已知：x关系，可有下面解法。

112， x21x2，或x2

111x224444x 解：x

例6. 解方程：

2x13x217 3x22x14 分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，

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2x13x21y，则

3x22x1y11 解：原方程变形为y4

y41 y4或y

42x1 当y4时，则4，

3x29 解之得x1

1012x11 当y时，则，

43x246 解之得x2

596 经检验x1，x2是原方程的根。

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