一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）|﹣3|等于（ ） A．﹣3
B．﹣
C．3
D．
2．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ） A．3.9×1010
B．3.9×109
C．0.39×1011
D．39×109
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3x+2y＝5xy C．（x+y）2＝x2+y2
B．（x4）3＝x12 D．2x2÷2x2＝0
4．（3分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）
A．甲超市的利润逐月减少
B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加 C．8月份两家超市利润相同
D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市 5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．矩形的对角线互相垂直平分
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6．（3分）解分式方程A．1﹣3（x﹣2）＝4
﹣3＝
时，去分母可得（ ）
B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4 D．1﹣3（2﹣x）＝4
7．（3分）如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60° 的图象上（ ）
D．（2，﹣3）
8．（3分）下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数y＝A．（﹣1，2）
B．（1，﹣2 ）
C．（2，3）
9．（3分）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值可以为（ ）
A．1
B．1.2
C．1.4
D．1.6
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）二次根式
中x的取值范围是 ．
12．（3分）一组数据：3，8，6，7，6，5的中位数是 ． 13．（3分）因式分解：（m2+1）（x﹣y）﹣2m（x﹣y）＝ ．
14．（3分）若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的边数是 ．
15．（3分）古代有个数学问题，意思是“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”你的答案是每头牛 两． 16．（3分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为9，则勒洛三角形的周长为 ．
17．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边于对角线AC重合，点B落在点F处，且EF＝3，则AB的长为 ．
18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和 其中正确结论的是 （填序号）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：2cos30°+（）1﹣
﹣+20190
），其中x＝2．
20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（x+
21．（8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图新建的醴陵320国道（用直线l表示），进入株洲城区的AB路段设有区间测速，所有车辆限速60千米/小时（约为16.7米/秒），数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝40米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°． （1）求AB的长；
（2）若上午9时测得一汽车从点A到点B用时5.5秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
22．（8分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条箴的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学
的概率．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
24．（8分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：CD2＝CE•AC； （2）若AB＝4，AC＝4
，求AE的长．
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+m﹣1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，若A点坐标为（x1，0），B点坐标为（x2，0）（x1≠x2）． （1）求m的取值范围；
（2）如图1，若x12+x22＝17，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题： ①如图1，请连接AC，求证：△ACB为直角三角形．
②如图2，若D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）|﹣3|等于（ ） A．﹣3
B．﹣
C．3
D．
【分析】利用绝对值的定义解答即可． 【解答】解：|﹣3|＝3， 故选：C．
2．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（ ） A．3.9×1010
B．3.9×109
C．0.39×1011
D．39×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：39000000000＝3.9×1010． 故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3x+2y＝5xy C．（x+y）2＝x2+y2
B．（x4）3＝x12 D．2x2÷2x2＝0
【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，完全平方公式的应用，以及合并同类项的方法，逐项判断即可． 【解答】解：∵3x+2y≠5xy， ∴选项A不符合题意；
∵（x4）3＝x12， ∴选项B符合题意；
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴选项C不符合题意；
∵2x2÷2x2＝1， ∴选项D不符合题意． 故选：B．
4．（3分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）
A．甲超市的利润逐月减少
B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加 C．8月份两家超市利润相同
D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市
【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得． 【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确； B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确； C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；
D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误； 故选：D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．矩形的对角线互相垂直平分
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】分别根据全等三角形的判定、矩形的性质、正方形的性质以及平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项不合题意； B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项不合题意；
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，故本选项符合题意；
D．两组对边分别平行（或两组对边分别相等）的四边形是平行四边形，故本选项不合题意． 故选：C． 6．（3分）解分式方程﹣3＝
时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）＝4 B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4 C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4
D．1﹣3（2﹣x）＝4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）＝﹣4， 故选：B．
7．（3分）如图，在⊙O中，CD为⊙O的切线，切点为C，已知∠B＝25°，那么∠D为（
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】连接OC，根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：连接OC， ∵∠B＝25°，
∴∠COD＝2∠B＝50°， ∵CD为⊙O的切线， ∴∠DCO＝90°，
∴∠D＝90°﹣50°＝40°， 故选：B．
8．（3分）下列哪个选项表示的点有可能在反比例函数y＝
的图象上（ ）
）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2 ） C．（2，3） D．（2，﹣3）
【分析】先计算三个点的横纵坐标的乘积，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点C在反比例函数图象上．
【解答】解：因为﹣1×2＝﹣2＜0，1×（﹣2）＝﹣2＜，2×3＝6＞0，2×（﹣3）＝﹣6＜0，而a2+1＝x•y＞0，
所以点C（2，3）可能在反比例函数y＝故选：C．
9．（3分）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（ ）
的图象上，
A．
B．
C．
D．
＝
，
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得＝值．
【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴∴
＝+
，＝
＝+
， ＝
＝1．
，从而可得
+
＝
+
＝1．然后把AB＝1，CD＝3代入即可求出EF的
∵AB＝1，CD＝3， ∴
+
＝1，
∴EF＝． 故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值可以为（ ）
A．1
B．1.2
C．1.4
D．1.6
【分析】把y＝3代入y＝2x得到x＝1.5，根据已知可得B点应该在直线y＝2x的右侧，从而分析出n的取值范围，依此判断即可． 【解答】解：当y＝3时，x＝1.5． 若直线y＝2x与线段AB有公共点，
则B点应该在直线y＝2x的右侧，即n≥1.5， ∴n的值可以为1.6． 故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）二次根式
中x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1．
12．（3分）一组数据：3，8，6，7，6，5的中位数是 6 ．
【分析】把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间的两个数的平均数就是此组数据的中位数；
【解答】解：把给出的此组数据中的数按从小到大的顺序排列为：3、5、6、6、7、8， 最中间的两个数的平均数是：（6+6）÷2＝12÷2＝6； 故答案为：6．
13．（3分）因式分解：（m2+1）（x﹣y）﹣2m（x﹣y）＝ （x﹣y）（m﹣1）2 ． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣y）（m2+1﹣2m）＝（x﹣y）（m﹣1）2， 故答案为：（x﹣y）（m﹣1）2
14．（3分）若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的边数是 9 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，根据题意列方程，解之即可． 【解答】解：设该正多边形的边数为n，根据题意列方程，得 （n﹣2）•180°＝1260° 解之，得n＝9．
∴该正多边形的边数是9． 故答案为：9
15．（3分）古代有个数学问题，意思是“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”你的答案是每头牛
两．
【分析】设每头牛值金x两，每只羊值金y两，根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 依题意，得：
，
解得：．
故答案为：．
16．（3分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为9，则勒洛三角形的周长为 9π ．
【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：勒洛三角形的周长＝故答案为：9π．
17．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边于对角线AC重合，点B落在点F处，且EF＝3，则AB的长为 6 ．
×3＝9π，
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝8﹣3＝5， 在Rt△CEF中，CF＝设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6， 故答案为：6
18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a； ③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和 其中正确结论的是 ①④ （填序号）．
＝4，
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y＝a（x﹣1）
2
﹣4a，则可对①进行判断；计算x＝4时，y＝a•5•1＝5a，则根据二次函数的性质可对
②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，则方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）， ∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 即y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x＝4时，y＝a•5•1＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a）， ∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确． 故答案为①④．
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：2cos30°+（）1﹣
﹣
+20190
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×＝
+1．
）÷（x+
），其中x＝2．
+2﹣2+1
20．（6分）先化简，再求值：（1﹣
【分析】首先计算括号里面分式的加减法，再计算除法，化简后，再代入x的值即可． 【解答】解：原式＝（
﹣
）÷[
+
]，
＝＝＝
•
÷
，
，
，
＝．
当x＝2时，原式＝
21．（8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图新建的醴陵320国道（用直线l表示），进入株洲城区的AB路段设有区间测速，所有车辆限速60千米/小时（约为16.7米/秒），数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝40米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°． （1）求AB的长；
（2）若上午9时测得一汽车从点A到点B用时5.5秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【分析】（1）由三角函数定义求出AC、BC，即可得出答案； （2）求出该汽车的速度，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△APC中，∠APC＝71°， ∵tan∠APC＝tan71°＝
≈2.90，
∴AC≈40×2.90＝116（米）， 在Rt△BPC中，∠BPC＝35°， ∵tan∠BPC＝
tan35°＝≈0.70，
∴BC≈40×0.70＝28（米）
∴AB＝AC﹣BC＝116﹣28＝88 （米）； 答：AB的长约为88米；
（2）该汽车的速度约为：∴该车没有超速．
＝16m/s＜16.7m/s，
22．（8分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条箴的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）总人数＝3÷它所占全体团员的百分比；发4条的人数＝总人数﹣其余人数； （2）列举出所有情况，看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可． 【解答】解：（1）该班团员人数为：3÷25%＝12（人）； 发4条箴言的人数为：12﹣2﹣2﹣3﹣1＝4（人）；
该班团员所发箴言的平均条数为：（2×1+2×2+3×3+4×4+1×5）÷12＝3（条）． 补图如下：
（2）画树状图如下：
发3条箴言条的同学 选出的2位同学 发4条箴言条的同学
男 女 女 女
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
（女，男） （女，女） （女，女） （女，女） ．
男
男
女
由上得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P＝
23．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论；
（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．
【解答】（1）证明：①∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DC＝BC， ∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF， ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×4×5＝10．
24．（8分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m）， ∴m＝2×1+6＝8， ∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），∴8＝， ∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（∵0＜n＜6， ∴
＜0，
|+||）×n＝×（﹣
+）×n＝﹣（n﹣3）2+
，
，n），
∴S△BMN＝×（|
∴n＝3时，△BMN的面积最大．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：CD2＝CE•AC； （2）若AB＝4，AC＝4
，求AE的长．
【分析】（1）证明△CDE∽△CAD可得结论．
（2）理由相似三角形的性质，勾股定理求出AC，CE即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， 而∠ODB＝∠CDE， ∴∠B＝∠CDE， ∴∠CAD＝∠CDE， 而∠ECD＝∠DCA， ∴△CDE∽△CAD； ∴
＝
，
∴CD2＝CE•AC．
（2）解：在Rt△AOC中，∵AB＝4， ∴OA＝2，AC＝4∴OC＝
， ＝
＝6，
∴CD＝OC﹣OD＝6﹣2＝4， ∵CD2＝CE•AC，
∴CE＝2，
﹣2
＝2
．
∴AE＝AC﹣CE＝4
26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+m﹣1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，若A点坐标为（x1，0），B点坐标为（x2，0）（x1≠x2）． （1）求m的取值范围；
（2）如图1，若x12+x22＝17，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题： ①如图1，请连接AC，求证：△ACB为直角三角形．
②如图2，若D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）△＝（）2﹣4×（﹣）（m﹣1）＝+2m﹣2＝2m+，即可求解； （2）∵x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2（m﹣1），又x12+x22＝17，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝17，即可求解；
（3）①AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，即可求解；
②分△PBD∽△BAE、△PBD∽△EAB两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）△＝（）2﹣4×（﹣）（m﹣1）＝+2m﹣2＝2m+， 由题可得2m+＞0， ∴m＞﹣；
（2）∵x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2（m﹣1）， 又x12+x22＝17，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝17∴32+4（m﹣1）＝17， ∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（3）①证明：令y＝0，﹣x2+x+2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0） 令x＝0，y＝2， ∴C（0，2），
∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25
∴AC2+BC2＝AB2∴△ACB为直角三角形； ②根据抛物线的解析式易知：D（1，3）， 联立直线AE、抛物线解析式：∴E（6，﹣7），
∴tan∠DBO＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝1，即∠EAB＝45°， ∴∠DBA＝∠EAB，
若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况： ①△PBD∽△BAE； ②△PBD∽△EAB． 易知BD＝3由①得：由②得：∴P（
，EA＝7，即，即
，0）． ，AB＝5，
，即PB＝，即PB＝
，OP＝OB﹣PB＝
．
，
解得
或
，
，OP＝OB﹣BP＝﹣
，0）或（﹣
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