2.4等比数列教案

2.4等比数列教案（一）

授课类型：新授

教学目标

（一） 知识与技能目标

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式．

（二） 过程与能力目标

1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入：

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1111，2，4，8，16，…，263; ① 1，2，4，8，…； ②

1，

20,202,203，…； ③

1.0198,1.10982,1.10983...... ④

对于数列①，an=2 ;

n1anan11n1 =2（n≥2）．对于数列②， an=2；

an1an12（n≥2）．

对于数列③，an=20 ;

n1anan1=20（n≥2）．

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2. 等比数列的通项公式:

ana1qn1(a1,q0)，

anamqnm(am,q0)，

anABn(A,B0)

an1q (nN,q0)3．｛an｝成等比数列an

4．求下面等比数列的第4项与第5项：

2132,.,;(4)2,1,2（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）328，…….

三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？

（2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？

（4）常数列都是等比数列吗？

四交流展示

1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan1=q（q≠0）

an1注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛an｝成等比数列an=q（nN，

q≠0．）

(2) 隐含：任一项an0且q0

(3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

ana1qn1(a1,q均不为0)2.等比数列的通项公式1:

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2；

a4a3q(a1q2)qa1q3；… … … … … … …

anan1qa1qn1(a1，q0)．

a3a2a4anqqqqaaaa迭乘法：由等比数列的定义，有：1；2；3；…；n1

a2a3a4anqn1n1aaq(a1，q0)aaaan1n1 所以123，即

等比数列的通项公式2:

anamqnm(am，q0)

五精讲精练

例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

a32a22161833a128,a8.21qq3q33 2 解：122点评：考察等比数列项和通项公式的理解

变式训练一：教材第52页第1

例2．求下列各等比数列的通项公式：

(1) a12,a38; (2) a15,且2an13an

an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n解：(1)

a3a1qq24q2

(2)

qan13an23又：a15an5()n12

点评：求通项时，求首项和公比

变式训练二 ：教材第52页第2

例3．教材P50面的例1。

例4． 已知无穷数列10,10,10,10051525n15,，

求证：（1）这个数列成等比数列；

1 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的10；

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

n15an10105n2an1105证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．

1an101n41011aan5an510n51010 （2），即：．

n15 （3）

apaq10p1510q1510pq25，∵p,qN，∴pq2．

∴pq11且pq1N，

10pq25∴

1n510，（第pq1项）．

变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结：

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

阅读教材第48～50页；

2.4等比数列教案（二）

学校：临清二中 学科：数学 编写人：李丽丽 一审：李其智 二审：马英济

授课类型：新授

教学目标

（一） 知识与技能目标

进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；

（二） 过程与能力目标

利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质

（三） 方法与价值观

培养学生应用意识．

教学重点，难点

（1）等比数列定义及通项公式的应用；

（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．

教学过程

二．问题情境

1．情境：在等比数列

{an}中，（1）

2a5a1a9是否成立？

2a5a3a7是否成立？

（2）

2anan2an2(n2)是否成立？

2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？

三．学生活动

对于（1）∵

a5a1q4，

a9a1q8，∴

2a1a9a12q8(a1q4)2a5，

2a5a1a9成立．

同理 ：

2a5a3a7成立．

对于（2）

ana1qn1，

an2a1qn3，

an2a1qn1，

2an2an2a1qn3a1qn1a12q2n2(a1qn1)2an∴，

2anan2an2(n2)成立．

一般地：若mnpq(m,n,q,pN)，则

amanapaq．

四．建构数学

1．若{an}为等比数列，mnpq(m,n,q,pN)，则

amanapaq．

由等比数列通项公式得：

ama1qm1 , ana1qn1，

apa1qp1 ,aqa1qq1，

2mn2pq2aaaqaaaqpq1故mn1且，

2 ∵mnpq，∴

amanapaq．

amqmn2．若{an}为等比数列，则an．

amqmn由等比数列的通项公式知：，则an ．

五．数学运用

1．例题：

例1．（1）在等比数列

{an}中，是否有

2anan1an1（n2）？

（2）在数列

{an}2ann中，对于任意的正整数（n2），都有an1an1，

那么数列{an}一定是等比数列．

an1an解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{an}是等比数列，∴anan1，

即

2anan1an1（n2）成立．

（2）不一定．例如对于数列0,0,0,，总有

2anan1an1，但这个数列不是等比数列．

例2． 已知{an}为GP，且a58,a72，该数列的各项都为正数，求{an}的通项公式。

a71q75q221q84，又数列的各项都是正数，故2，解：设该数列的公比为q，由a5得

11an8()n5()n822则 ．

例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

a,a,aq解：由题意可以设这三个数分别为q，得：

aqaaq27a32aa2a2q291a2(11q2)9122qq

∴9q82q90，即得q9或

13，

422q219，

∴q3或

q故该三数为：1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1．

a,a,aq说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为q．

例4． 如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n个图形的边长和周长．

解：设第n个图形的边长为an，周长为cn．

1由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的3，∴数列{an}1是等比数列，首项为1，公比为3．

1an()n13． ∴

要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数．

第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的

4倍，

∴第n个图形的边数为34．

n114cn()n1(34n1)3()n133．

2．练习：

1．已知{an}是等比数列且an0，a5a69，

则log3a1log3a2log3a10 ．

a4a7512a3a81242．已知{an}是等比数列，，，且公比为整数，则a10 ．

3．已知在等比数列中，a34，a654，则a9 ．

五．回顾小结：

1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．

六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．

七板书设计