河南省郑州市2017届高中毕业年级第一次质量预测(理数)

数 学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Mx|x21,Nx|2x1，则MN（ ）

A． B．x|0x1 C．x|x0 D．x|x1 2.若复数z满足

，则z的共轭复数为（ ） 2iz3i（i为虚数单位）

A．2i B．2i C．12i D．12i

23.命题“x0R,x0x010”的否定是（ ） A．xR,xx10 B．xR,xx10

22C．x0R,x0x010 D． x0R,x0x010

224.《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）

A．18 B．20 C. 21 D．25

5.我们可以用随机数法估计的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生0,1内的任何一个实数），若输出的结果为521，则由此可估计

的近似值为（ ）

A．3.119 B．3.126 C. 3.132 D．3.151

1

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．80 B．160 C. 240 D．480 7.设a01sinxdx，则ax的展开式中常数项是（ ）

xcosx的图像大致为（ ） 6A．-160 B．160 C. -20 D．20

12x8.函数fxx129.已知数列an满足a1a2a3an2nnN*，且对任意nN*都有

211a1a21t，则实数t的取值范围为（ ） anA．(,) B．[,) C.(,) D．[,)

131323234x2y21m恒成立，则m的最大值为10.设正实数x,y满足x,y1，不等式

y12x12（ ）

A．22 B．42 C. 8 D．16

x211.已知直线l与双曲线y21相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点，则

4OMON的值为（ ）

A． 3 B．4 C. 5 D．与P的位置有关

12.已知函数fxxxlnx，若kZ，且kx1fx对任意的x1恒成立，则k的最大值为（ ）

A．2 B．3 C. 4 D．5

二、填空题:本大题共4题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为1,3，则tan

 ． 42

x3y5014.已知实数x,y满足不等式组2xy40，则zxy的最小值为 ．

y2015.过抛物线y12的直线交抛物线于A,B两点，则x的焦点F作一条倾斜角为30°

4AB ．

16.若函数fx满足a、bR都有3fa2bfa2fb，且

3f11,f47，则f2017 ．

三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分） 已知ABC外接圆直径为430，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C60. 3abc的值；

sinAsinBsinC（Ⅱ）若abab，求ABC的面积.

（Ⅰ）求

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面梯形ABCD中，BC//AD，平面SAB平面

ABCD,SAB是等边三角形，已知AC2AB4,BC2AD2DC25.

（Ⅰ）求证：平面SAB平面SAC； （Ⅱ）求二面角BSCA的余弦值. 19. （本小题满分12分）

北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGO与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGO获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调

3

查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”. （Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？

男 女 合计 非围棋迷 围棋迷 合计 10 55

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望EX和方差DX.

nadbc附：K2，其中nabcd.

abcdacbd 2Px2k 0.05 0.01 k 3.841 6.635 22220. （本小题满分12分） 已知圆M:xyrr0与直线l:x3y40相切，设点A为圆上一动点，

ABx轴于B，且动点N满足AB2NB，设动点N的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点，求OPQ面积的最大值. 21. （本小题满分12分） 设函数fx1mxln1x.

（Ⅰ）若当0x1时，函数fx的图像恒在直线yx上方，求实数m的取值范围；

1001（Ⅱ）求证：e100010004.

4

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cos（为参数），在以O为极

ysin，半径为1的圆. 2点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为3,（Ⅰ）求曲线C1,C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求MN的取值范围.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知a0,b0，函数fxxaxb的最小值为4. （Ⅰ）求ab的值； （Ⅱ）求

1212ab的最小值. 49 5

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B.

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上 13. 23; 14. 13; 15.

16; 16.4033. 3

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由正弦定理可得：abc432R，……2分 sinAsinBsinC3所以a434343sinB，csinC. sinA，b333abc43(sinAsinBsinC)43． ……6分 sinAsinBsinC3(sinAsinBsinC)3(Ⅱ)由c43433sinC，得c2,……………8分 332222222由余弦定理得cab2abcosC，即4abab(ab)3ab，

又abab，所以(ab)3ab40，解得ab4或ab1（舍去）．……10分

2所以SABC

113absinC43．……………12分 22218． 解：（Ⅰ）证明：在BCA中，由于AB2,CA4,BC25, AB2AC2BC2,故ABAC．……………2分

平面SAB又平面SAB平面ABCD，平面ABCDAB，

AC平面ABCD，AC平面SAB，……………4分

又AC平面SAC，故平面SAC平面SAB ……………6分 （2）如图建立Axyz空间直角坐标系，A0,0,0,B2,0,0,

6

S1,0,3,C(0，4，，0)CS(1，4，3)，BC(2，4，0)，

AC0,4,0,……………8分

设平面SBC的法向量nx1,y1,z1, 由2x14y10 x14y13z10nCS0nBC0令y11,则x12,z12323, n2,1,．…10分 33设平面SCA的法向量mx2,y2,z2,

4y20mAC0由，令x23 ，m3,0,1. mCS0x24y23z20cosn,mnmnm219219,二面角B-SC-A的余弦值为. ……………12分

1919

19． 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，…1分 从而22列联表如下：

非围棋迷 围棋迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 ……………3分

将22列联表中的数据代入公式计算，得

n(adbc)2100(30104515)2100K3.030 (ab)(cd)(ac)(bd)75254555332因为3.030<3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分

(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为

1.由题意X42 3 1B3,，从而X的分布列为 3X P 0 1 27 6427 649 641 64……………10分

13139EX=np=3=. D(X)3. ……………12分

444416

20.（Ⅰ）设动点N(x,y)，A(x0,y0),因为ABx轴于B，所以B(x0,0)，……1分

7

设圆M的方程为M:xyr, 由题意得r22241322所以圆M的程为M:xy4.……………3分

2，

x0x,由题意, AB2NB，所以(0,y0)2(x0x,y)，所以，即

y2y,0x2y21 ，……………5分 将A(x,2y)代入圆M:xy4,得动点N的轨迹方程4x2y21, (Ⅱ)由题意设直线l3xym0,设直线l与椭圆交于4y3xm,22P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立方程2得13x83mx4m40，

2x4y4,192m2413(4m24)16(m213)0，解得m213，

2283m16(m213)43m213m2， x1,22613m4m213, ……………10分又因为点O到直线l的距离d，PQ2x1x22132SOPQ1m413m22m2(13m2)21. 221313OPQ面积的最大值为1.……………12分

21． （Ⅰ）令F(x)f(x)x(1mx)ln(1x)x，则F'(x)mln(1x)1mx1，1xmx2m1,……………2分 (1x)2mx2m110， ①当m时，由于x(0,1)，有F\"(x)2(1x)2于是F'(x)在x(0,1)上单调递增，从而F'(x)F'(0)0，因此F(x)在x(0,1)上单调递增，即F(x)0；……………3分 mx2m10， ②当m0时，由于x(0,1)，有F\"(x)(1x)2x(0,1)，F\"(x)于是F'(x)在x(0,1)上单调递减，从而F'(x)F'(0)0，

因此F(x)在x(0,1)上单调递减，即F(x)F(0)0不符；……………4分 ③当12m1m0时，令x0min{1,}，当x(0,x0]时， 2m 8

F\"(x)mx2m10，于是F'(x)在x(0,x0]上单调递减， 2(1x)从而F'(x)F'(0)0，因此F(x)在x(0,x0]上单调递减， 即F(x)F(0)0而且仅有F(0)0不符.

综上可知，所求实数m的取值范围是(,].……………6分 (Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：

21n5e恒成立，等价变形 对于任意的正整数n，不等式(1)n1221121)ln(1)0相当于（2）中m，x0的情形，……………8分 5nnn521F(x)在x(0,]上单调递减，即F(x)F(0)0；……………10分

21211取x(n2)，得：都有(1)ln(1)0成立；

n5nnn令n1000得证. ……………12分 (1

22. （本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程 x2y21. 解：（Ⅰ）消去参数可得C1的直角坐标方程为4曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)， 22∴C2的直角坐标方程为x(y3)1.………………4分 (2)设M(2cos,sin), 则|MC2|(2cos)2(sin3)24cos2sin26sin9 3sin26sin133(sin1)216. 1sin1，|MC2|min2,，|MC2|max4. 根据题意可得|MN|min211,，|MN|max415, 即|MN|的取值范围是1,5..………………10分 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为，xaxbabab， 所以f(x)ab，当且仅当(xa)(xb)0时，等号成立，又a（Ⅱ）由（1）知ab4,b4a， 0,b0，

所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为ab,所以ab4．.………………5分

1212121138161316162aba4aa2a(a)2, 49493699361313163611216当且仅当a时，a2,bb的最小值为．………………10分 13134913

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