中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，1，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
2． 抛物线y＝x2+4x+5是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（ ）A．向左平移1个单位 C．向右平移1个单位
B．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
3．∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（ ） A．0＜cosα≤
B．0＜cosα≤
C．
cosα＜1
D．≤cosα
；
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a④b＞1．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
5．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝9．则k的值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
，2），点A在x轴上，
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2
点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2
；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7； ③在运动过程中，∠CDP是一个定值； ④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（其中正确结论的个数是（ ）
，0）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在钝角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D为BC边的中点，G为△ABC的重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD的长度的取值范围是（ ）
A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ．
10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，
以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6， 点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 ．
12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为 ．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是 ．
15．如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．如果在点P运动的过程中，使△PQR成为等腰三角形，则x的值是 ．
三、解答题（共70分） 17．（18分）解下列各题： （1）已知＝＝≠0，求
的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边长与腰长的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，且AB＝1，求CE的长．
18．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他 们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．
（2）你认为甲、乙俩采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？
19．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数； （3）若AC＝4，
，求CF的长．
20．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是
以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
21．（16分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x＝2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连接OP并延长交抛物线于点B，连接AO、AB． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是 （请在横线上直接写出答案即可）．
参
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，1，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】让“下滑数”的总个数除以两位数的总个数即为所求的概率．
解：根据题意：两位数的个数是99﹣10+1＝90个，而是“下滑数”的数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45个，所以任取一个两位数，是“下滑数”的概率是选A．
2． 抛物线y＝x2+4x+5是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（ ）A．向左平移1个单位 C．向右平移1个单位
B．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
＝．故
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1）， ∴是抛物线y＝x2+1向左平移2个单位得到， 故选：B．
3．∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（ ） A．0＜cosα≤
B．0＜cosα≤
C．
cosα＜1
D．≤cosα
【分析】根据∠α是△ABC三个内角中的最小角可得0°＜∠α≤60°，再根据特殊角的三角函数值可得答案．
解：∵∠α是△ABC三个内角中的最小角， ∴0°＜∠α≤60°， ∵cos60°＝，cos0°＝1， ∴故选：C．
，
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a④b＞1．其中正确的结论是（ ）
；
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x＝﹣
＜0，
∴a、b同号，即b＞0， ∴abc＜0， 故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2， ∴a+b+c＝2； 故本选项正确； ③∵对称轴x＝﹣解得：＜a， ∵b＞1， ∴a＞， 故本选项错误； ④当x＝﹣1时，y＜0，
＞﹣1，a＞0，
∴a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b， 又∵a+b+c＝2， ∴a+c＝2﹣b， ∴2﹣b＜b， ∴b＞1 故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④； 故选：D．
5．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝9．则k的值是（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设反比例函数解析式为y＝（k＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、
，再证明△CEB∽
△CDA，利用相似比得到＝＝＝，则DE＝CE，由OD：OE＝a：2a＝1：2，
则OD＝DE，所以OD＝OC，根据三角形面积公式得到S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，然后利用反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得|k|＝3，易得k＝6． 解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图， 设反比例函数解析式为y＝（k＞0）， ∵A、B两点的横坐标分别是a、2a， ∴A、B两点的纵坐标分别是、∵AD∥BE，
，
∴△CEB∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴DE＝CE，
∵OD：OE＝a：2a＝1：2， ∴OD＝DE， ∴OD＝OC，
∴S△AOD＝S△AOC＝×9＝3， ∴|k|＝3， 而k＞0， ∴k＝6． 故选：B．
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，
点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2
；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7； ③在运动过程中，∠CDP是一个定值； ④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（其中正确结论的个数是（ ）
，0）．
A．1个 B．2个 C．3个
；故①正确；
D．4个
【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝＝OC2+OD2＝22+（
）2＝7，故②正确；
，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝
PE＝
a，求得CE＝BC﹣BE＝2
﹣
a＝
（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝故③正确；
，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，
④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，
Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（
，0）．故④错误．
，2），
解：①∵四边形OABC是矩形，B（2∴OA＝BC＝2
；故①正确；
②∵点D为OA的中点， ∴OD＝OA＝
，
）2＝7，故②正确；
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a， 在Rt△BEP中，tan∠CBO＝
＝
＝
，
∴BE＝PE＝a， ﹣
a＝
（2﹣a），
∴CE＝BC﹣BE＝2∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD， ∴
＝
，
＝
＝
＝
，
∴tan∠PDC＝
∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2∴OA＝2
，2），四边形OABC是矩形， ，AB＝2，
＝
，
∵tan∠AOB＝
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝120°， ∴∠ODC＝60°， ∴OD＝
OC＝
，
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD， ∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； 当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′， ∵∠AOB＝30°， ∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°， ∴∠CP′O＝105°， ∵∠COP′＝60°， ∴∠OCP′＝15°， ∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°， ∴BC＝BP′＝2
，
，
∴OD′＝OP′＝4﹣2∴D（2
﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2故选：C．
﹣4，0）或（
，0）．故④错误，
7．如图，在钝角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D为BC边的中点，G为△ABC的重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD的长度的取值范围是（ ）
A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
【分析】根据A点变动，度数不动，可把∠A置于以BC为弦的圆中，求DG的取值即可．解：在图中30°的弓形弧BC
令MB⊥BC，NC⊥BC，
由题意知，A点在不含端点的BM、CN上．且BD＜AD＜DM， 在Rt△BCM中，BC＝1，∠BMC＝30°， ∴BM＝
＝
，
，
＝
在Rt△BDM中，BD＝，BM＝∴DM＝故
＜DG＜
， ． ＝
∴＜DG＜故选：C．
8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解） 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2， ∴OH＝OC＝1，CH＝在Rt△CKH中，CK＝∴CQ的最大值为1+故选：D．
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ﹣5或 ．
【分析】将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分m＜0、0≤m≤2以及m＞2三种情况画出函数图象，由当0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝．
当＜0，即m＜0时，x＝0时y取最大值（如图1所示）， ∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合题意，舍去）；
当0≤≤1，即0≤m≤2时，x＝时y取最大值（如图2所示），
，
，
＝
，
∴﹣4m＝﹣5， 解得：m3＝；
当＞1，即m＞2时，x＝1时y取最大值（如图3所示）， ∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合题意，舍去），m5＝1（不合题意，舍去）． 综上所述，m的值为﹣5或． 故答案为：﹣5或．
10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，AC于E、F，以AD为直径作⊙O分别交AB、连接EF，则线段EF长度的最小值为
．
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝由垂径定理可知EF＝2EH＝故答案为：
．
，
×
＝
，
11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6， 点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是 9 ．
【分析】首先证明点O是△ABC的内心，由r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE，即可解决问题．
解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点， ∵AD＝AC，BE＝BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A， ∴O是△ABC的内心，
则r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE＝3， ∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r＝9， 故答案为9．
12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故答案为：2
13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为
．
＝2，
【分析】如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，可以得到△BGF∽△PGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，
进而求出每个小正方形的边长． 解：如图所示：
∵正方形ABCD边长为25， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝25，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则∠4＝∠5＝90°， ∴四边形APGB是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，PG＝AB＝25，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠FGB， ∴△BGF∽△PGE， ∴∴
＝
，
＝，
∴GB＝5． ∴AP＝5． 同理DE＝5．
∴PE＝AD﹣AP﹣DE＝15， ∴EG＝
＝5
， ．
∴小正方形的边长为故答案为：
．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是 2
．
【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．由△FCD∽△DCB，推出
＝
＝，推出DF＝BD，推出BD+AD＝DF+AF，根据DF+AD≥AF即可解
决问题；
解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．
∴CD＝4，CF＝2，CB＝8， ∴CD2＝CF•CB， ∴
＝
，
∵∠FCD＝∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴
＝
＝，
∴DF＝BD， ∴BD+AD＝DF+AF， ∵DF+AD≥AF，AF＝∴BD+AD的最小值是2故答案为2
．
＝2，
，
15．如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径
的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝ ．
【分析】连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题； 解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．
∵DF＝DC，OF＝OC， ∴OD垂直平分线段CF， ∴CK＝KF＝
＝
，OK＝
＝，
∵OB＝OC，CK＝KF， ∴BF＝2OK＝∵BC是直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CBH＝90°，
∴∠CBF+∠FCB＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°， ∴∠HBF＝∠FCB，∵∠BFH＝∠BFC＝90°， ∴△BFH∽△CFB， ∴BF2＝CF•FH＝故答案为
．
． ，
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于
R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．如果在点P运动的过程中，使△PQR成为等腰三角形，则x的值是
、6、
．
【分析】根据题画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM＝RM．由于∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°即∠1＝∠C．根据三角函数即可求出x的值； ②当PQ＝RQ时，﹣x+6＝
，x＝6；
③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR＝CE＝AC＝2．由于tanC＝
＝
，x＝
．
解：存在，设BQ＝x，QR＝y， ∵QR∥AB，
∴∠QRC＝∠A＝90°． ∵∠C＝∠C， ∴△RQC∽△ABC， ∴
＝
，∴＝
，
∴y＝﹣x+6， 分三种情况：
①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM＝RM． ∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°， ∴∠1＝∠C． ∴cos∠1＝cosC＝∴
＝，
＝，
∴＝，
∴x＝．
，
②当PQ＝RQ时，﹣x+6＝∴x＝6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM， ∴EM∥PQ，
当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点， ∴EN＝MN， ∴ER＝RC，
∴点R为EC的中点， ∴CR＝CE＝AC＝2． ∵tanC＝
＝
，
∴＝，
∴x＝．
或6或
时，△PQR为等腰三角形．
综上所述，当x为
三、解答题（共70分） 17．（18分）解下列各题： （1）已知＝＝≠0，求
的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边长与腰长的比值为黄金分割
比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，且AB＝1，求CE的长．
【分析】（1）设＝＝＝k，进而得到a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入计算即可； （2）根据完全平方公式、sin2A+sin2B＝1计算即可； （3）根据黄金比值为
依次计算即可．
解：（1）设＝＝＝k， 则a＝6k，b＝5k，c＝4k， ∴
＝
＝
＝；
（2）∵sinA+sinB＝， ∴（sinA+sinB）2＝∴2sinBsinA＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A﹣2sinBsinA+sin2B＝， ∴sinA﹣sinB＝±
；
，即sin2A+2sinBsinA+sin2B＝
，
（3）∵△ABC是黄金三角形，AB＝1， ∴BC＝
AB＝
，
∵△BDC是黄金三角形， ∴CD＝
BC＝
×
＝
，
∵△DEC是黄金三角形， ∴EC＝
CD＝
×
＝
﹣2．
18．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他 们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；
如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．
（2）你认为甲、乙俩采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？
【分析】（1）利用列举法整数展示所有6种可能的结果；
（3）利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小．
解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：
（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；
（2）列表如下：
顺序 上、中、下 上、下、中 中、上、下 中、下、上 下、上、中 下、中、上
甲 上 上 中 中 下 下
乙 下 中 上 上 上 中
甲乘上、中、下三辆车的概率都是； 而乙乘上等车的概率＝＝，
所以乙乘坐舒适程度为上等的车的可能性大．
19．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE． （1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC＝4，，求CF的长．
【分析】（1）易证∠OEC＝∠OCE，∠OEC＝∠ECD，从而可知∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，由于OE∥BC，所以∠AEO＝∠AGC＝60°，所以∠EAO＝∠AEO＝60°； （3）易证
，由于
，所以
＝，由圆周角定理可知∠AEC
＝∠FDC＝90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案． 解：（1）∵OC＝OE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵OE∥BC， ∴∠OEC＝∠ECD， ∴∠OCE＝∠ECD， 即∠ACE＝∠DCE，
（2）延长AE交BC于点G， ∵∠AGC是△ABG的外角， ∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°， ∵OE∥BC，
∴∠AEO＝∠AGC＝60°， ∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO＝60° （3）∵O是AC中点 ∴
，
∵，
∴＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠FDC＝90°， ∵∠ACE＝∠FCD ∴△CDF∽△CEA， ∴
＝
， CA＝
∴CF＝
20．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝
，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是
以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是
等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可． （3）设BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得
＝
，列出方程即可解决问题．
解：（1）如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A＝40°， ∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②当AD＝AC时，如图3中，∠ACD＝∠ADC＝∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③当AC＝CD时，如图4中，∠ADC＝∠A＝48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃． ∴∠ACB＝96°或114°． （3）由已知AC＝AD＝2， ∵△BCD∽△BAC，
＝66°，
∴∴（
＝，设BD＝x，
）2＝x（x+2），
∵x＞0， ∴x＝
﹣1，
∵△BCD∽△BAC， ∴
＝
＝×2＝
， ﹣
．
∴CD＝
21．（16分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x＝2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连接OP并延长交抛物线于点B，连接AO、AB． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的
路线长度是 （请在横线上直接写出答案即可）．
【分析】（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过原点O且对称轴是直线x＝2，知c＝0，﹣＝2，求得b的值即可得出答案；
（2）设点B（a，a2﹣4a），由y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4知A（2，﹣4），利用勾股定理和两点距离公式可求a的值，即可求t的值；
（3）当点P运动时，△AOB的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动，则点M所经过的路线是一条线段，分别求出t＝4和t＝5时，圆心M的坐标，即可求解． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2， ∴c＝0，﹣＝2， 则b＝﹣4、c＝0，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；
（2）设点B（a，a2﹣4a）， ∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴点A（2，﹣4）， ∵OB为斜边
∴OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2， 解得a＝2（舍）或a＝， ∴B（，﹣
），
则直线OB解析式为y＝﹣x， 当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3）， ∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；
（3）∵当点P运动时，△AOB的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动， ∴点M所经过的路线是一条线段，
当t＝4时，点P运动到（2，0），此时点M是OA的垂直平分线和直线x＝2的交点， ∵点A（2，﹣4），点O（0，0） ∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，
∴OA的垂直平分线的解析式为y＝x﹣， ∴当x＝2，y＝﹣， ∴点M（2，﹣），
当t＝5时，点P运动到P'（2，1），
∵P'（2，1），点A（2，﹣4），点O（0，0） ∴AP'＝5，OA＝2
，OP'＝
，
∵AP'2＝25＝OA2+OP'2， ∴OP'⊥OA，
∴直线OP'的解析式为：y＝x，
∴联立方程组
∴或
∴点B'（，），
∵此时△AB'O的外接圆的圆心M'是AB'的中点， ∴点M'（∴MM'＝故答案为
． ，﹣）
＝
，
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