目的要求
1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系。 2、弦长公式的理解与灵活运用。
3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理,能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算,使解题过程得到优化。 本节重点:1、直线与曲线的位置关系; 2、数形结合思想的渗透。
本节难点:1、非封闭曲线,尤其是双曲线与直线位置关系的讨论; 2、充分运用新旧知识的迁移,从数与形两方面深刻理解相关结论,构建完整的知识体系;
3、在掌握共性的(方程法)基础上,注意个性(距离法),防止负迁移,做到特殊问题能特殊处理。 教学过程 一、要点归纳:
如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,方程法是通用的方法, 相应方程组的解的个数就是二者交点的个数,若有两个交点,则交点连线的长度就是相应的弦长。基本内容包括: (一)、位置关系的分类讨论: 1、直线与封闭曲线(圆与椭圆): 以直线与椭圆为例:
因为 ,所以可以直接讨论判别式: 直线与曲线相离(0个交点); 直线与曲线相切(1个交点); 直线与曲线相交(2个交点)。
注意:对于直线与圆的位置关系的讨论,除此之外,我们常 通过圆心和直线的距离 与半径 的大小关系来判定。 2、直线与非封闭曲线(双曲线与抛物线): 以直线与双曲线为例:
(1)、 即 时,方程有解,直线与渐近线平行,位置关系是相交,且只有一个交点。
(2)、 时,讨论判别式: 直线与曲线相离(0个交点); 直线与曲线相切(1个交点); 直线与曲线相交(2个交点)。
归纳指出:对于非封闭曲线,直线与其仅有一个交点,只是二者相切的一个必要条件,而非充分条件! (二)、直线与曲线相交——弦长问题: 设直线与曲线相交于 ,两交点坐标的来源 是方程组,下面的弦长公式很显然: (消元后是关于x的方程) 或 (消元后是关于y的方程)
结合图象,弄清楚公式的导出方法,是为至要!
特别指出:抛物线的焦点弦性质丰富多彩,以 为例,若直线过焦点 ,关键是注意两点: (1)、巧设直线方程: (2)、根据定义求弦长:
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