广丰区二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

广丰区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

2． 已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0）

3． 已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A．

4． 已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，①∀n∈N*，fn（x）≤

恒成立

]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（ ）

B．

C．4

D．

②若fn（x）为常数函数，则n=2 ③f4（x）在[0，

]上单调递减，在[

，

]上单调递增．

A．0 B．1 C．2 D．3

5． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）

A． B． C． D．

26． 已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

|PQ|等于（ ）

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A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大. 7． 以椭圆

+

=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为

=

，则

﹣S

（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足（ ） A．2

B．4

C．1

D．﹣1

8． 已知两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与﹣2共线，则=（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣

D．

9． 从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

10．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

211．已知集合M{x|2x5x0,xZ}，N{0,a}，若MN，则a（ ） A．1 B． C．1或 D．1或2 12．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（ ） A．3

B．6

C．7

D．8

二、填空题

13．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）

14．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为 （用数字作答）

15．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是 ．

x2x,x0,16．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数fx{x在其定义域上恰有两

lnx,x0a第 2 页，共 17 页

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个零点，则正实数a的值为______．

17．C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，过原点的直线l与函数y=的图象交于B，则|

18．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

，

+

|= ．

三、解答题

19．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．

（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

20．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；

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21．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域； （2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．

22．已知函数

（1）求f（x）的周期． （2）当

23．如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，且椭圆C的短轴长为2．

．

时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

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24．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2点

（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论． （Ⅱ）证明：AM⊥PM．

，M为BC的中

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广丰区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．

2． 【答案】A

x1

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a﹣得，f（1）=5，

，

，

=2

则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．

3． 【答案】A

22

【解析】解：由题意双曲线kx﹣y=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，

又由于双曲线的渐近线方程为y=±故

=，∴k=，

x

∴可得a=2，b=1，c=故选：A．

，由此得双曲线的离心率为，

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．

4． 【答案】 D

【解析】解：①∵x∈[0，

]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=

≤

，因此正确；

②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，

2

当n≠2时，令sinx=t∈[0，1]，则fn（x）=

+，当t∈

=g（t），g′（t）=﹣

=

当t∈

时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；

时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．

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22222

=sin4x+cos4x=③f4（x）（sinx+cosx）﹣2sinxcosx=1﹣

=，

=+，当x∈[0，

，

]

]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D．

]上单调递减，当x∈[]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5． 【答案】A

【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：

222

∵a=b+c，∴c=

=，

，

∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．

6． 【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

7． 【答案】 A

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【解析】解：∵椭圆方程为+=1，

∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）， ∴双曲线方程为

，

设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵∴

=，

整理得：

化简得：5x=12y﹣15， 又∵∴5

解得：y=或y=∴P（3，），

∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0， ∴点M到直线PF1的距离d=

易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，

结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心． 故

﹣

=

=

=2，

=1，

，

2

﹣4y=20，

=，

=5，

（舍），

故选：A．

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【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】解：两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与﹣2共线， ∴存在非0实数k使得m+n=k（﹣2）=k﹣2k，或k（m+n）=﹣2， ∴

则=﹣． 故选：C．

，或

，

【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9． 【答案】C

【解析】解：从1，2，3，4中任取两个数，有（1，2），（1，3）， （1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况， 其中一个数是另一个数两倍的为（1，2），（2，4）共2个， 故所求概率为P== 故选：C

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．

10．【答案】C

2222

【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x+y=4外，可得x0+y0＞4，

求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=故直线和圆C相交，

＜=2，

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故选：C．

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

11．【答案】D 【解析】

试题分析：由Mx2x25x0,xZx5x0,xZ2,1，集合N0,a， 2又MN，a1或a2，故选D． 考点：交集及其运算． 12．【答案】B

【解析】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8， ∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4， ∴公差d=∴a7=a1+6d=2+4=6 故选：B．

=，

二、填空题

13．【答案】 真命题

【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题， 故答案为：真命题．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．

14．【答案】 15

【解析】解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），

∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，

根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种 故答案为：15．

【点评】本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．

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15．【答案】

．

，

【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6， 则d=故答案为：

．

≥3

．

，

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．

16．【答案】e

x2xx0【解析】考查函数fx{，其余条件均不变，则： axlnx当x⩽0时,f（x）=x+2x，单调递增， f（−1）=−1+2−1<0,f（0）=1>0，

由零点存在定理,可得f（x）在（−1,0）有且只有一个零点； 则由题意可得x>0时,f（x）=ax−lnx有且只有一个零点，

lnx有且只有一个实根。 xlnx1lnx令gx， ,g'x2xx即有a当x>e时,g′（x）<0,g（x）递减; 当00,g（x）递增。 即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为

1， e如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象

1. e回归原问题，则原问题中ae.

只有一个交点时,则a

点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，

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当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 17．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|

2

再根据A为抛物线x=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），

+|=2||，

∴2||=4，

+

|=2|

|是解题的关键．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|

18．【答案】

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

x

当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

≤a＜1或a≥2 ．

，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x﹣3x+2）=4（x﹣）﹣1，

2

2

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（1）（a，b）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况

2

函数y=f（x）有零点，△=b﹣4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件

，（1，﹣1），（1，1），（1，

所以函数y=f（x）有零点的概率为（2）函数y=f（x）的对称轴为（3，4），共13种情况满足条件

，在区间[1，+∞）上是增函数则有

2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为

【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．

20．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD， ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD； （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD． 取AO中点M，连OG，EO，EM， ∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO， 故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求 在RT△EOM中，EM=∴tan∠EOM=

OM=1

，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．

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【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．

21．【答案】

【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]， 由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]， 故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’ （2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]， ∴x∈[﹣1，4]， ∴2x+5∈[3，13]，

故函数f（x）的定义域为：[3，13]．

22．【答案】 【解析】解：（1）∵函数∴函数f（x）=2sin（2x+∴f（x）的周期T=即T=π （2）∵∴

∴﹣1≤sin（2x+最大值2，2x

=π ， ）≤2 =

，此时

，

）．

．

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最小值﹣1，2x= 此时

【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得

解得a=2，b=1，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，

设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由22

得（1+4k）x﹣4kx﹣3=0，

∴x1+x2=又

．

，x1x2=，

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=所以S△PMN=令h（t）=则t=

，t∈[，则t≥

2，k=

．

，

，+∞），则h′（t）=1﹣

=）=

＞0，所以h（t）在[，

，+∞），单调递增，

，即k=0时，h（t）的最小值，为h（

．

所以△PMN面积的最大值为

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（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上． 又O为△PMN的中心，所以从而|MN|=

，|PM|=

，可知Q（0，﹣），M（﹣

，

），N（

，

）．

，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾． （3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=又O为△PMN的中心，则

，可知

．

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，

2222

又x1+4y1=4，x2+4y2=4，两式相减得kMN=

，

从而kMN=所以kOP•kMN=

． •（

）=

≠﹣1，

所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾． 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

24．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP； 证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形， 所以CM平行且相等于DN， 所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP， 所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM，

，

，M为BC的中点

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在△AME中，AE=

222

所以AE=AM+ME，

=3，ME==，AM==，

所以AM⊥ME， 所以AM⊥平面PME 所以AM⊥PM．

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．

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