卷
一、选择题（共10小题）.
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ） A．2是常量，C、π、R是变量 C．C、2是常量，R是变量 3．下列计算正确的是（ ） A．x2+x2＝x4 C．（x2y）3＝x6y
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（﹣x）2•x3＝x5
B．2π是常量，C、R是变量 D．2是常量，C、R是变量
4．空气的密度是0.001293g/cm3，将数据0.001293用科学记数法表示为（ ） A．0.1293×10﹣3 C．1.293×10﹣3
B．0.1293×10﹣6 D．1.293×10﹣6
5．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
6．如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ） A．2
B．8
C．
D．2
7．如图，直线AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AP于点P，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的路程为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（ ）
A．m+n B．2m+2n C．m+2n D．2m+n
10．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算：﹣2a2b3•（﹣3a）＝ ．
12．一个不透明的盒子中装有4张卡片，这4张卡片的正面分别画有等腰三角形，线段，圆和三角形，这些卡片除图形外都相同，将卡片搅匀．从盒子中任意抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率是 ．
13．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以1cm/秒 的速度向点C运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度向点C运动，P，Q任意一点达到C点时，运动停止，在运动过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（秒）之间的关系为 ．
14．定义一种新运算A※B＝A2+AB．例如（﹣2）※5＝（﹣2）2+（﹣2）×5＝﹣6．按照这种运算规定，（x+2）※（2﹣x）＝20，则x＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点D交AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，AC＝16， 连接AF并延长，交BC于点G．若△ABC的周长等于42，则BG长为 ．
三、解答题（本大题共2个小题，共13分） 16．计算
（1）（2020﹣π）0﹣|﹣3|+（﹣2）2． （2）（a﹣1）2﹣（a+3）（a﹣3）．
17．化简求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x+y）]÷（﹣2y），其中|2x﹣1|+（y+3）2＝0．四、解答题（本大题共7个小题，共52分） 18．补充完成下列推理过程：．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B． 求证：AD＝DE． 证明：∵AB＝AC ∴∠B＝∠C（ ）
∵∠ADC＝∠B+∠ （ ） 且∠ADE＝∠B
∴∠ADC＝∠ADE+∠ 又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE ∴∠BAD＝∠CDE 在△BAD和△CDE中． ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CDE ＝
∴△BAD≌△CDE（ ） ∴AD＝DE（ ）
﹣
19．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′； （2）直接写出线段BB′的长度； （3）直接写出△ABC的面积．
20．2020年6月14日是第17个世界献血者日，今年的活动主题是“安全血液拯救生命”，使用的活动口号为“献血，让世界更健康”，意在关注个人献血为改善社区其他人的健康所做的贡献．为此，成都市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”，“B型”，“AB型”，“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型 人数
A x
B 20
AB 10
O y
（1）这次随机抽收的献血者人数为 人，m＝ ； （2）求x，y的值；
（3）请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人．其血型是O型的概率是多少？若这次活动中有8000人义务献血，大约有多少人是O型血？
21．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．
（1）求证：AB＝GF；
（2）若GD═10，AD＝3，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．
22．在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系：
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 天； （2）求新，旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在生产过程中，x为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
23．如图1，两种长方形纸片的长分别为b和c，宽都为a，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形ABCD和四边形EFGH都为正方形，设空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．
（1）直接写出a，b，c的等量关系式；
（2）用含a，c的代数式表示图中阴影部分的面积S2； （3）若S1﹣S2＝6a2，求b与c的数量关系．
24．在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．
（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE； （2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：AF＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜
想
PC
与
BD
的
数
量
关
系
并
证
明．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A．
2．在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（ ） A．2是常量，C、π、R是变量 C．C、2是常量，R是变量
B．2π是常量，C、R是变量 D．2是常量，C、R是变量
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
解：∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的； ∴变量是C，r，常量是2π． 故选：B．
3．下列计算正确的是（ ） A．x2+x2＝x4 C．（x2y）3＝x6y
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（﹣x）2•x3＝x5
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
解：x2+x2＝2x2，A错误； （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，B错误； （x2y）3＝x6y3，C错误；
（﹣x）2•x3＝x2•x3＝x5，D正确； 故选：D．
4．空气的密度是0.001293g/cm3，将数据0.001293用科学记数法表示为（ ） A．0.1293×10﹣3 C．1.293×10﹣3
B．0.1293×10﹣6 D．1.293×10﹣6
【分析】根据题意用科学记数法表示出来即可．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
﹣
解：0.001293＝1.293×103，
故选：C．
5．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围即可得出结论． 解：设三角形的第三边为x， ∵三角形两边长为2，5，
∴根据三角形的三边关系得，5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∴第三边不能是7， 故选：D．
6．如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为（ ） A．2
B．8
C．
D．2
【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可． 解：如果xm＝2，xn＝，
那么xm+n＝xm×xn＝2×＝． 故选：C．
7．如图，直线AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AP于点P，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ACD＝80°，再根据CP⊥AP，即可得∠2的度数． 解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠1＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°， ∵CP⊥AP， ∴∠P＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°， ∴∠2＝∠ACD＝∠ACP＝80°﹣40°＝40°． 则∠2的度数为40°． 故选：B．
8．小明从家出发，徒步到书店购买文具，购好文具后骑共享单车原路返回，设他从家出发后所用的时间为t（分），离家的路程为S（米）．则S与t之间的关系大致可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，把小明的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
解：小明的整个行程共分三个阶段：
①徒步从家到书店购买文具，s随时间t的增大而增大； ②购文具逗留期间，s不变；
③骑共享单车返回途中，速度比徒步速度大，比徒步时的直线更陡，离家距离为0； 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（ ）
A．m+n B．2m+2n C．m+2n D．2m+n
【分析】根据角平分线的定义和性质求出CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，求出∠B＝∠BAD＝∠CAD，求出∠B＝30°，求出BE，再求出答案即可．
解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD， ∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2m， ∴BE＝AE＝m， ∵BE＝m，BC＝n，
∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n， 故选：A．
10．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算：﹣2a2b3•（﹣3a）＝ 6a3b3 ． 【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可．
解：﹣2a2b3•（﹣3a）＝6a3b3， 故答案为：6a3b3．
12．一个不透明的盒子中装有4张卡片，这4张卡片的正面分别画有等腰三角形，线段，圆和三角形，这些卡片除图形外都相同，将卡片搅匀．从盒子中任意抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率是
．
【分析】等腰三角形、线段、圆是轴对称图形，由概率公式
解：∵等腰三角形、线段、圆是轴对称图形，三角形不是轴对称图形， ∴从盒子中任意抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率是； 故答案为：．
13．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以1cm/秒 的速度向点C运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度向点C运动，P，Q任意一点达到C点时，运动停止，在运动过程中，△PCQ的面积S（cm2）与运动时间t（秒）之间的关系为 S＝（10﹣t）（8﹣t）（0＜t＜8） ．
【分析】求出PC，CQ，利用三角形的面积公式求解即可． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，∠C＝90°， 由题意0＜t＜8，PC＝（10﹣t）cm，CQ＝（8﹣t）cm， ∴S＝•PC•CQ＝（10﹣t）（8﹣t）（0＜t＜8）． 故答案为S＝（10﹣t）（8﹣t）（0＜t＜8）．
14．定义一种新运算A※B＝A2+AB．例如（﹣2）※5＝（﹣2）2+（﹣2）×5＝﹣6．按照这种运算规定，（x+2）※（2﹣x）＝20，则x＝ 3 ．
【分析】先根据新定义规定的运算法则得出（x+2）2+（x+2）（2﹣x）＝20，再将左边
利用完全平方公式和平方差公式去括号，继而合并同类项、移项、系数化为1可得答案．解：根据题意得（x+2）2+（x+2）（2﹣x）＝20， ∴x2+4x+4+4﹣x2＝20， ∴4x+8＝20， 4x＝12， 解得x＝3， 故答案为：3．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点D交AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F， 连接AF并延长，交BC于点G．若△ABC的周长等于42，AC＝16，则BG长为 5 ．
【分析】根据作图过程可得，AG平分∠BAC，根据AB＝AC，可得AG是BC的垂直平分线，得BG＝CG，根据△ABC的周长等于42，AC＝AB＝16，即可得BG的长． 解：根据作图过程可知： AG平分∠BAC， ∵AB＝AC，
∴AG是BC的垂直平分线， ∴BG＝CG，
∵△ABC的周长等于42，AC＝AB＝16， ∴BG+CG＝10， ∴BG＝5． 故答案为：5．
三、解答题（本大题共2个小题，共13分） 16．计算
（1）（2020﹣π）0﹣|﹣3|+（﹣2）﹣2．
（2）（a﹣1）2﹣（a+3）（a﹣3）．
【分析】（1）先算零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再去括号合并同类项即可求解． 解：（1）（2020﹣π）0﹣|﹣3|+（﹣2）﹣2 ＝1﹣3+ ＝﹣1；
（2）（a﹣1）2﹣（a+3）（a﹣3） ＝a2﹣2a+1﹣（a2﹣9） ＝a2﹣2a+1﹣a2+9 ＝﹣2a+10．
17．化简求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x+y）]÷（﹣2y），其中|2x﹣1|+（y+3）2＝0．【分析】根据整式的混合运算进行化简，再代入值求解即可． 解：原式＝（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy+2y2）÷（﹣2y） ＝（4xy+2y2）÷（﹣2y） ＝﹣2x﹣y，
∵|2x﹣1|+（y+3）2＝0， ∴2x﹣1＝0，y+3＝0， ∴x＝，y＝﹣3，
∴原式＝﹣2×﹣（﹣3）＝2． 四、解答题（本大题共7个小题，共52分） 18．补充完成下列推理过程：．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B． 求证：AD＝DE． 证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（ 等边对等角 ）
∵∠ADC＝∠B+∠ BAD （ 三角形的外角性质 ） 且∠ADE＝∠B
∴∠ADC＝∠ADE+∠ BAD 又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE ∴∠BAD＝∠CDE 在△BAD和△CDE中． ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CDE BD ＝ CE
∴△BAD≌△CDE（ AAS ）
∴AD＝DE（ 全等三角形的对应边相等 ）
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，由三角形的外角性质和已知证出∠BAD＝∠CDE，证△BAD≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质即可得出结论． 解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质）， 且∠ADE＝∠B，
∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD， 又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE， ∴∠BAD＝∠CDE， 在△BAD和△CDE中．∴△BAD≌△CDE（AAS）
∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；
故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．
，
19．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． （1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′； （2）直接写出线段BB′的长度； （3）直接写出△ABC的面积．
【分析】（1）由轴对称的性质，直接可作图； （2）由作出的图，直接可求BB'；
（3）△ABC的面积＝长方形面积减去三个直角三角形面积． 解：（1）如图： （2）由图可求BB'＝6； （3）S＝4×5﹣
﹣
﹣
＝
；
20．2020年6月14日是第17个世界献血者日，今年的活动主题是“安全血液拯救生命”，使用的活动口号为“献血，让世界更健康”，意在关注个人献血为改善社区其他人的健康所做的贡献．为此，成都市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”，“B型”，“AB型”，“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作
了两幅不完整的图表：
血型 人数
A x
B 20
AB 10
O y
（1）这次随机抽收的献血者人数为 100 人，m＝ 20 ； （2）求x，y的值；
（3）请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人．其血型是O型的概率是多少？若这次活动中有8000人义务献血，大约有多少人是O型血？
【分析】（1）根据AB型的人数和所占百分比即可求出这次随机抽收的献血者人数进而可以求出m的值；
（2）根据扇形统计图和表格数据即可求x，y的值；
（3）根据抽样结果可得从献血者人群中任抽取一人．其血型是O型的概率，根据血型是O型的概率即可求出这次活动中有8000人义务献血，大约有多少人是O型血． 解：（1）∵10÷10%＝100， 20÷100＝20%，
答：这次随机抽收的献血者人数为100人，m＝20； 故答案为：100，20； （2）x＝100×25%＝25， y＝100﹣25﹣20﹣10＝45； （3）血型是O型的概率是：
＝
，
＝3600（人）．
，若这次活动中有8000人
所以8000×
答：从献血者人群中任抽取一人．其血型是O型的概率是义务献血，大约有3600人是O型血．
21．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝
AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D． （1）求证：AB＝GF；
（2）若GD═10，AD＝3，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△ABE≌△GFE，可解答；
（2）根据等腰三角形和平行线的性质得：∠C＝∠DFC，所以DF＝DC，设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，根据DG＝10列方程可解答；
（3）连接AF，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得△ADF的面积，同理得△AFG的面积，由（1）中△ABE≌△GFE，则△ABE与△GFE的面积相等，利用面积和可得结论．
【解答】（1）证明：∵GD∥BA， ∴∠BAE＝∠G， 在△ABE和△GFE中， ∵
，
∴△ABE≌△GFE（AAS）， ∴AB＝GF；
（2）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵GD∥BA， ∴∠B＝∠DFC， ∴∠C＝∠DFC， ∴DF＝DC，
设DC＝x，则AB＝AC＝3+x， ∵DG＝10，
∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10， ∴x＝， ∴DC＝； （3）解：连接AF，
∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC， ∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝， ∴S△ADF：7＝3：， ∴S△ADF＝6，
同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG， 即6：S△AFG＝：∴S△AFG＝
，
，
由（1）知：△ABE≌△GFE， ∴S△ABF＝S△AFG＝∴S△ABC＝
+6+7＝
，
．
22．在疫情期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万个）与生产时间x（天）的关系：
（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了 2 天； （2）求新，旧设备每天分别生产多少万个口罩？
（3）在生产过程中，x为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
【分析】（1）图象中甲对应的函数图象在1≤x≤3时，其产量y保持不变，据此可得答案；
（2）结合图象，用产量除以所用时间求解可得答案； （3）分停产前和停产后分别列出方程求解可得．
解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天， 故答案为：2．；
（2）新设备：4.8÷1＝4.8（万个/天），乙设备：16.8÷7＝2.4（万个/天）， 答：甲设备每天生产4.8万个口罩，乙设备每天生产2.4万个口罩； （3）①2.4x＝4.8，解得x＝2； ②2.4x＝4.8（x﹣2），解得x＝4；
答：在生产过程中，x为2或4时，新旧设备所生产的口罩数量相同．
23．如图1，两种长方形纸片的长分别为b和c，宽都为a，将它们拼成如图2所示的图形，其中四边形ABCD和四边形EFGH都为正方形，设空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．
（1）直接写出a，b，c的等量关系式；
（2）用含a，c的代数式表示图中阴影部分的面积S2； （3）若S1﹣S2＝6a2，求b与c的数量关系．
【分析】（1）根据大正方形的边长＝正方形EFGH的边长+2×小长方形的宽可得答案；（2）根据“阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积﹣4个直角三角形的面
积”列式求解可得；
（3）由S1﹣S2＝6a2得ab×2+a（a+c）+c2﹣（a2+2ac）＝6a2，化简得出c＝2a，结合b＝2a+c可得答案． 解：（1）由图知b＝2a+c；
（2）S2＝b2﹣ab×2﹣a（a+c）×2﹣c2 ＝（2a+c）2﹣a（2a+c）﹣a（a+c）﹣c2 ＝4a2+4ac+c2﹣2a2﹣ac﹣a2﹣ac﹣c2 ＝a2+2ac；
（3）∵S1﹣S2＝6a2，
∴ab×2+a（a+c）+c2﹣（a2+2ac）＝6a2， ∴a（2a+c）+a2+ac+c2﹣a2﹣2ac＝6a2， ∴c＝2a， 又∵b＝2a+c， ∴b＝2c．
24．在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．
（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE； （2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：AF＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜
想
PC
与
BD
的
数
量
关
系
并
证
明．
【分析】（1）证明△ABD≌△AEC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝AE； （2）延长CE到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，证得△ABE是等边三角形，同理，△DBF是等边三角形，则可得出结论；
（3）在CP上取点E，使CE＝BD，连接AE，证明△APE≌△PFD（AAS），得出PE
＝DF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD，
∴180°﹣∠ADC＝180°﹣∠ACD， 即∠ADB＝∠ACE， 在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴AB＝AE；
（2）延长CE到E，使CE＝BD，由（1）知，AB＝AE，
∴∠E＝∠B＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣∠E﹣∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， 同理，△DBF是等边三角形， ∴AB＝BE．BF＝BD＝CE， ∴AB﹣BF＝BE﹣CE， 即AF＝BC；
（3）猜想：PC＝2BD，
理由如下：在CP上取点E，使CE＝BD，连接AE，
由（1）可知：AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝60°，
∴∠AEP＝180°﹣∠AEB＝120°， ∵DF＝DB，∠DFB＝∠B＝60°， ∴∠PDF＝∠DFB+∠B＝120°， ∴∠AEP＝∠PDF， 又∵PA＝PF， ∴∠PAF＝∠PFA，
∵∠APE＝180°﹣∠B﹣∠PAF＝120°﹣∠PAF， ∠PFD＝180°﹣∠DFB﹣∠PFA＝120°﹣∠PFA， ∴∠APE＝∠PFD， 在△APE和△PFD中，
，
∴△APE≌△PFD（AAS）， ∴PE＝DF， 又∵DF＝DB， ∴PE＝DB， 又∵PC＝PE+CE， ∴PC＝2BD．
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