数值分析试卷及答案

1 求A的LU分解，并利用分解结果求解 由紧凑格式

故

从而

故

2 求证：非奇异矩阵不一定有LU分解

证明 设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，

显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故

，而

，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证

阶顺序主子式

时才能保证A一定有LU分解。

A能做LU分解，只有在A的前3 用追赶法求解如下的三对角方程组 解 设有分解 由公式 其中从而有

分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有

故 ，，，

故 ，，，

4 设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数

证明 （1）因A正定对称，故当时，，而当时，

（2）对任何实数，有

，则

（3）因A正定，故有分解故对任意向量

和

，总有

综上可知，是一种向量范数。

5 设

（1）计算条件数（2）若近似解

，

；

，已知方程组的精确解为

，计算剩余；

（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？

解 （1）

（2）

（3）由事后误差估计式，右端为

而左端

很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用

大小作为检验解

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余的准确度是不可靠的。

6 矩阵第一行乘以一数成为证明 设

，则

，证明当时，有最小值

又

故

从而当时，即时，有最小值，且

7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中

解 对雅可比方法，迭代矩阵

故雅可比法收敛。

对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，

，故高斯-赛德尔法收敛。

因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。

8 设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。

解 雅可比法的迭代矩阵

，

故雅可比法收敛的充要条件是高斯-赛德尔法的迭代矩阵

。

，

故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是9 设求解方程组

的雅可比迭代格式为

。

，其中

，求证：若

，则

相应的高斯-赛德尔法收敛。 证明 由于

是雅可比法的迭代矩阵，故

又，故，

即法收敛。

，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔

10 设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：（1）对任意初始向量 （2）

收敛到

，的解。

收敛；

证明 （1）所给格式可化为

这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。

设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则

与

因

正定，故

，从而

做内积，有

，格式收敛。

（2） 设即三

收敛到

收敛到，则即，

的解。

1 设证明 以

和

且

为插值节点建立

．求证：

的不超过一次的插值多项式

应用插值余项公式有

2 求一个次数不高于4次的多项式

，使它满足

．

解法一（待定参数法） 满足的Hermite插值多项式为

设，令得

于是

解法二（带重节点的Newton插值法） 建立如下差商表 这样可以写出Newton插值公式

3 设处

与

，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点

的值，并估计误差．

解 步长，．在区间上的线性插值函数

分段线性插值函数定义如下

，

各区间中点的函数值及插值函数值如表所示 上

估计误差：在区间而

令故有结论

得的驻点，于是

，

右端与无关，于是有

，

四

1 确定参数小值．

和，使得积分取得最小值，并计算该最

解 本题实质上是求，关于权函数的二次最佳平方逼近多项式．

选切比雪夫多项式为基函数进行计算： 于是得

的二次最佳平方逼近多项式

进而有参数最小值 就是平方误差：

．

2 对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据． 假设忽略来自行星的干扰，坐标应满足其中

为参数，

为离心率，试用最小二乘法拟合

和

，并给出平方误差．

解 由于 关于参数 和

是非线性的，变形为

，这样有下表的数据． 记，得拟合模型．

求解法方程组 得

进而有，拟合方程为

平方误差3 求函数

为

在指定区间上关于

的最佳平方逼近多项式．

解 对

利用勒让德正交多项式

做线性变换

为基建立

，即

的一次最佳平方逼近多项式

的最佳平方逼近为 五

1 确定

所具有的代数精确度。 解 令

中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式

，代入公式两端并令其相等，得

解得 令

，得

令，得故求积公式具有3次代数精确度。

2 计算积分，若复化梯形公式，问区间应分多少等份才能使截断误差不超过 ？若改

用复化辛普森公式，要达到同样精确度，区间应分多少等份？ 解 由于

，故对复化梯形公式，要求

即 。取，即将区间分为213等份时，用复化梯形公式计算，截断误差

不超过。

用复化辛普森公式，要求

即

3 确定求积公式

。取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度。

中的系数

确度尽量高，并给出解 这是一个带权

的表达式。公式中

。

，使代数精

的且带导数值的求积公式。为了积分方便，设该求积公式对准确成立，得

化简得

解得

又因为

故求积公式

具有3次代数精确度。 下面估计求积公式的余项。 设在

上三次

插值多项式为

，即

满足

因前述求积公式具有3次代数精确度，故它对于是准确成立的，且

因此有 注意到

在

上不变号，故余项

4 已知。

（1）推导以这3个点作为求积节点在上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式所具有的代数精确度； （3）用所求公式计算。

解 （1）过这3个点的插值多项式

故

其中

故所求的插值型求积公式为

（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将积公式，有

故上述求积公式具有3次代数精确度。

（3）

由于该求积公式具有3次代数精确度，从而为的精确度。

5设

。

求证：（1）

（2）

（提示：直接使用泰勒展开即可得证） 七

1 对于迭代函数

，试讨论：

。

代入上述求

（1） 当（2）

为何值时，取何值时收敛最快？

产生的序列收敛于；

（3） 分别取计算的不动点，要求

解 （1）时迭代收敛。

，根据定理7.3，当，亦即

（2）由定理7.4知，当，即时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。

（3）分别取 ，并取

，迭代计算结果如表7-4所示。

0 1 6 12 13 1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 0 1 2 3 4 1.2 1.39799 1.414120505 1.414213559 1.414213562 此时都达到。事实上，

在

上具有二阶连续导数，且满足条件

2（牛顿迭代法收敛性定理）设（1）（2）在（3）

上满足

；

； 。 单调收敛于

在

内的唯一实根在是

内有根

在

，并且是平方收敛的。 。又由条件（2）知内的唯一实根。

则由牛顿迭代法产生的序列证明 因在

在

上连续，由条件（1）知，方程

在

上严格单调，因而

上恒正或恒负，所以

条件（1）（2）共有四种情形： （1）（2）（3）

（4）

仅就（1）进行定理证明，其余三种情况证明方法类似。 由

，

可知

，再由

知单增且。又由牛顿迭代法

知

由台劳展开的 其中由

介于

，

之间。利用

以及前面证明的

得

有

一般地，设再由台劳 及

，得

，则必有且

根据归纳法原理数列取

单调下降有下界

，

，因此有极限。设

即

，对迭代式。

两端

的极限，并利用的连续性知

由上述证明知，有关系式，即对于单根，牛顿迭代法是平方收敛的。

3 给定函数迭代过程证明 由于

，对于一切，均收敛于

存在且

的根

.

，证明对于范围内的任意定数，

，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代

函数，

，

。由此可得

。由及得故

即4 设

，试确定函数

和

，使求解

且以

为迭代函数的

迭代法至少三阶收敛。 解 要求是由

三阶收敛到

的根

，根据定理7.4，应有

于

得

故取

即迭代至少三阶收敛。