.
二
1求A的LU分解，并利用分解结果求
解由紧凑格式
故
从而
故
2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设
非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑
矩阵，显然A为非奇异矩阵。假设A有LU分解，那么
故
，而
，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A
阶顺序主子式
非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前
时才能保证A一定有LU分解。
. .word.zl.
.
.
3用追赶法求解如下的三对角方程组
解设有分解
由公式
其中
分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有
从而有
故，，，
故
，，，
. .word.zl.
.
.
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量数
证明〔1〕因A正定对称，故当
〔2〕对任何实数，有
时，，而当时，
〔3〕因A正定，故有分解
，那么
故对任意向量和
，总有
综上可知，是一种向量数。
5 设
〔1〕计算条件数〔2〕假设近似解
，
；
，方程组的准确解为
，计算剩余；
〔3〕利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比拟，此结果说明了什么？
解〔1〕
〔2〕
〔3〕由事后误差估计式，右端为
. .word.zl.
.
.
而左端
很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用
这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余
大小作为检验解的准确度是不可靠的。
6矩阵第一行乘以一数成为证明设
，那么
，证明当时，有最小值
又
故
从而当时，即时，有最小值，且
7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比拟哪一种方
法收敛较快，其中
解对雅可比方法，迭代矩阵
. .word.zl.
.
.
，
故雅可比法收敛。
对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。
因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。
8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的
充要条件。
解雅可比法的迭代矩阵
，
故雅可比法收敛的充要条件是高斯-赛德尔法的迭代矩阵
。
. .word.zl.
.
.
，
故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是9设求解方程组假设证明由于
的雅可比迭代格式为
。
，其中
，求证：
，那么相应的高斯-赛德尔法收敛。 是雅可比法的迭代矩阵，故
又，故，
即，故故系数矩阵A按行严格对角占
优，从而高斯-赛德尔法收敛。
10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：〔1〕对任意初始向量〔2〕
收敛到
，
收敛；
的解。
证明〔1〕所给格式可化为
. .word.zl.
.
.
这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。
设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，那么
与做积，有
因
正定，故
，从而
，格式收敛。
〔2〕设即 三
收敛到
收敛到，那么的解。
即，
1 设证明以
和
且
为插值节点建立
．求证：
的不超过一次的插值多项式
应用插值余项公式有
. .word.zl.
.
.
2求一个次数不高于4次的多项式．
，使它满足
解法一〔待定参数法〕满足为
的Hermite插值多项式
设，令得
于是
解法二〔带重节点的Newton插值法〕建立如下差商表
这样可以写出Newton插值公式
3设，在
与
上取，按等距节点求分段线性插值函数，
计算各节点间中点处的值，并估计误差．
解步长函数
，．在区间上的线性插值
. .word.zl.
.
.
分段线性插值函数定义如下
，
各区间中点的函数值及插值函数值如表所示 估计误差：在区间
上
而
令得的驻点，于是
故有结论
，
右端与无关，于是有
，
. .word.zl.
.
.
四
1确定参数和，使得积分取得
最小值，并计算该最小值．
解此题实质上是求，关于权函数的二次最正确
平方逼近多项式．
选切比雪夫多项式为基函数进展计算：
于是得
的二次最正确平方逼近多项式
进而有参数．
最小值
就是平方误差：
. .word.zl.
.
.
2对彗星1968Tentax的移动在某个极坐标系下有如表所示的观察数据． 假设忽略来自行星的干扰，坐标应满足其中
为参数，为离心率，试用最小二乘法拟合
和，并给出平方误差．
解由于关于参数和是非线性的，变形为
，这样有下表的数据． 记，得拟合模型．
求解法方程组
得
进而有，拟合方程为
平方误差为
. .word.zl.
.
.
3 求函数项式．
在指定区间上关于
的最正确平方逼近多
解对做线性变换，即
利用勒让德正交多项式
为基建立
的一次最正确平方逼近多项式
的最正确平方逼近为
五
1确定
高，并指明求积公式所具有的代数准确度。 解令
，代入公式两端并令其相等，得
中的待定参数，使其代数准确度尽量
解得令
，得
. .word.zl.
.
.
令准确度。
，得故求积公式具有3次代数
2计算积分，假设复化梯形公式，问区间应分多少等份才能使截断误差不
超过解由于
？假设改用复化辛普森公式，要到达同样准确度，区间应分多少等份？
，故对复化梯形公式，要求
即。取，即将区间分为213等份时，用复化梯形公
式计算，截断误差不超过用复化辛普森公式，要求
。
即。取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达
精度。
3确定求积公式
中的系数
，使代数准确度尽量高，并给出
解这是一个带权
的表达式。公式中
。
的且带导数值的求积公式。为了积分方便，设该求积公式对
准确成立，得
. .word.zl.
.
.
化简得
解得
又因为故求积公式
具有3次代数准确度。 下面估计求积公式的余项设在
上三次
。
插值多项式为
，即
满足
。因前述求积公式具有3次代数准确度，故它
对于
是准确成立的，且
因此有
. .word.zl.
.
.
注意到
在
上不变号，故余项
4。
上的插值型求积公式；
〔1〕推导以这3个点作为求积节点在〔2〕指明求积公式所具有的代数准确度；
〔3〕用所求公式计算。
解〔1〕过这3个点的插值多项式
故其中
故所求的插值型求积公式为
. .word.zl.
.
.
〔2〕上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数准确度。再将
代入上述求积公式，有
故上述求积公式具有3次代数准确度。
〔3〕
由于该求积公式具有3次代数准确度，从而5设
为的准确度。
。
求证：〔1〕
〔2〕
〔提示：直接使用泰勒展开即可得证〕 七
1对于迭代函数〔1〕当〔2〕
为何值时，取何值时收敛最快？
，试讨论：
产生的序列收敛于；
〔3〕分别取解〔1〕
计算的不动点，要求
，
，根据定理7.3，当
亦即时迭代收敛。
. .word.zl.
.
.
〔2〕由定理7.4知，当收敛最快。
，即时迭代至少是二阶收敛的，
〔3〕分别取 0 1 6 12 13 1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 ，并取
0 1 2 3 4 ，迭代计算结果如表7-4所示。
1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562 此时都到达。事实上，
在
上具有二阶连续导数，且满足条件
2〔牛顿迭代法收敛性定理〕设〔1〕〔2〕在〔3〕
上满足
；
； 。 单调收敛于
在
的唯一实根
，并且是平
那么由牛顿迭代法产生的序列方收敛的。 证明因〔2〕知在
在在
上连续，由条件〔1〕知，方程上恒正或恒负，所以
在
在有根。又由条件是
上严格单调，因而
的唯一实根。
条件〔1〕〔2〕共有四种情形： 〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕
. .word.zl.
.
.
仅就〔1〕进展定理证明，其余三种情况证明方法类似。 由
，
可知
，再由
知
单增且
。
又由牛顿迭代法知
由台劳展开的
其中
介于，
之间。利用
得
由
以及前面证明的
有
一般地，设再由台劳
，那么必有且
及
，得
根据归纳法原理数列
单调下降有下界
，因此有极限。设
，对迭代式
两端取
。
的极限，并利用，的连续性知即
. .word.zl.
.
.
由上述证明知，有关系式的。
，即对于单根，牛顿迭代法是平方收敛
3给定函数的任意定数证明由于有根
，对于一切，，迭代过程
，
存在且
均收敛于
，证明对于围的根的根。由
.
是唯一的〔假定方程
及
为单调增函数，故方程
，
〕。迭代函数
得，。由此可得
故
即4设
，试确定函数
为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。
和
，使求解
且以
解要求三阶收敛到
于是由
的根，根据定理7.4，应有
得
故取
即迭代至少三阶收敛。
. .word.zl.
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