甘肃省2019年高中会考[数学]考试真题与答案解析

一、选择题

本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1．下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）A．

B．

C．D．

答案解析：A．此图案是中心对称图形，符合题意；B．此图案不是中心对称图形，不合题意；C．此图案不是中心对称图形，不合题意；D．此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：A．

2．在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（　　）A．0C．﹣3

B．2D．﹣

答案解析：根据实数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．3．使得式子A．x≥4C．x≤4

答案解析：使得式子故选：D．

有意义的x的取值范围是（　　）

B．x＞4D．x＜4

有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4，即x的取值范围是：x＜4．

4．计算（﹣2a）2•a4的结果是（　　）A．﹣4a6C．﹣2a6

B．4a6D．﹣4a8

答案解析：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．

5．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（　　）

A．48°C．92°

B．78°D．102°

答案解析：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选：D．

6．已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（　　）A．（4，0）C．（﹣4，0）

B．（0，4）D．（0，﹣4）

【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案．答案解析：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，

解得：m＝2，∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．故选：A．

7．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）A．﹣1C．1或﹣1

B．0D．2或0

答案解析：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．

8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　）

A．°C．27°

B．°D．37°

答案解析：∵∠AOC＝126°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．

9．甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（　　）

参加人数

甲乙

45

平均数9494

中位数9395

方差5.34.8

A．甲、乙两班的平均水平相同B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D．甲班成绩优异的人数比乙班多

答案解析：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：A．

10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（　　）

A．①②③C．②③④

B．①②④D．③④⑤

答案解析：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：

＜1，∴2a+b＞0，故②正确；

③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞

时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．

二、填空题

11．分解因式：x3y﹣4xy＝　xy（x+2）（x﹣2）　．答案解析：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．不等式组

的最小整数解是　0　．，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

答案解析：不等式组整理得：则最小的整数解为0，故答案为：013．分式方程

＝

的解为　　．答案解析：去分母得：3x+6＝5x+5，

解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：．

14．在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　　．答案解析：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝设a＝

x，b＝3x，则c＝2

x，

，

∴cosB＝＝．故答案为：．

15．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　（18+2）cm2　．答案解析：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为为3，所以，其表面积为3×2×3+2×故答案为（18+2

）cm2．

＝18+2

（cm2）．

cm，三棱柱的高

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为　2﹣　．答案解析：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2

，∠A＝∠B＝45°，

∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝

，

＝2﹣

，

∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×故答案为：2﹣

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　　．答案解析：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，

∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝故答案为

，．

18．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝　1010　．答案解析：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．

三、解答题（一）

本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19．计算：（﹣）﹣2+（2019﹣π）0﹣答案解析：原式＝4+1﹣

tan60°﹣|﹣3|．

，＝1．

20．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

答案解析：如图，点M即为所求，

21．中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？答案解析：设共有x人，根据题意得：+2＝解得：x＝39，∴

＝15，

，去分母得：2x+12＝3x﹣27，

则共有39人，15辆车．

22．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

答案解析：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，

∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

23．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；

（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？答案解析：（1）树状图如图所示：（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，

由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为

＝，小利获胜的概率为

＝，

∴小明、小利获胜的概率一样大．

四、解答题（二）

本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

24．良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：

收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：

年级七年级八年级

x＜6001

60≤x＜80

105

80≤x＜90

48

90≤x≤100

11

（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）

分析数据：

年级七年级八年级

得出结论：

（1）根据上述数据，将表格补充完整；

（2）可以推断出　八　年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．答案解析：（1）七年级的平均数为：

平均数76.877.5

中位数7580

众数7581（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；

（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：

八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；

（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×（人）．

25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．

＝20

答案解析：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，

∵点A（﹣1，n）在y＝∴n＝2，∴A（﹣1，2），

上，

把A，B坐标代入y＝kx+b，则有解得

，

，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），

∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，

∴S△ABD＝×2×3＝3．

（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．

26．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．

答案解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．

27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

（1）求证：∠A＝∠ADE；

（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．

（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，

∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，

∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，

设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝

＝

．

28．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．

答案解析：

（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，

则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），

当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；

②当AB是四边形的对角线时，如图2，

AB中点坐标为（2，0）

设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：即：

＝2，解得：m＝2，

，

故点P（2，﹣1）；

故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，

设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．