专题20 二次函数与实际问题：投球问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

一、单选题

1．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m)与飞行时间t（单位：s)具有函数关系为h20t5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为( )

A．3s 【答案】B 【分析】

B．4s C．5s D．6s

根据二次函数的图象与性质解题． 【详解】

解：依题意，令h0得020t5t2， 得t(205t)0，

解得t0（舍去）或t4，

即小球从飞出到落地所用的时间为4s， 故选：B． 【点睛】

本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

2．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h2t220t1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．4s

B．5s

C．6s

D．10s

【答案】B 【分析】

把h2t220t1化成顶点式，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意得：

h2t220t12t551，

∴当t=5s时，礼炮达到最高点； 故选B． 【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

3．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m，那么这条抛物线的解析式是（ ）

2

A．y=－x2+

8x+1 3B．y=－x2+

8x－1 3C．y=－x2－【答案】A 【分析】

8x+1 3D．y=－x2－

8x－1 3根据已知得出B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（3，0），代入解析式即可求出b，c的值，即可得出答案． 【详解】

解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是3m， ∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（3，0）， 将两点代入解析式得：

8c1b，解得：4， 93bc0c1∴这条抛物线的解析式是：y=-x2+

8x+1， 3故选：A． 【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出B，A两点的坐标是解决问题的关键．

4．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）

A．球不会过网 C．球会过球网并会出界 【答案】C 【解析】

B．球会过球网但不会出界 D．无法确定

分析：（1）将点A(0,2)代入ya(x6)2.6求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43（0比较大小可得．

详解：根据题意,将点A(0,2)代入ya(x6)22.6，得：36a+2.6=2（ 解得：a21 ，601 (x6)22.6；60∴y与x的关系式为y当x=9时,y12 962.62.452.43，60∴球能过球网， 当x=18时,y∴球会出界. 故选C.

点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 5．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．

12 1862.60.20，60725，若小球经过

48A．

3 7B．

4 7C．

3 4D．

4 3【答案】A 【分析】

首先根据题意得出m的值，进而求出t＝b的值即可求得答案． 2a【详解】

∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+

725，小球经过秒落地，

48∴t＝

7时，h＝0， 472725)+m+， 448则0＝﹣2×(

解得：m＝

12， 712b3=时，h最大， 7当t＝＝2a2273． 7故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，正确得出m的值是解题关键．

6．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-

1(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ） 12A．3m 【答案】D 【分析】

求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩. 【详解】

由题意得，当y=0时，

B．4m

C．8m

D．10m

1(x4)23=0， 12解得：x110，x22（舍去）

故选D. 【点睛】

本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键.

二、填空题

7．竖直上抛物体时，物休离地而的高度hm与运运动时间ts之间的关系可以近似地用公式

h5t2v0th0表示，其中h0m是物体抛出时高地面的高度，v0m/s是物体抛出时的速度．某人将

一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m． 【答案】21.5 【分析】

根据题意可得到h关于t的函数关系式，再将其化为顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：由题意得： h＝﹣5t2+20t+1.5 ＝﹣5（t﹣2）2+21.5， ∵a＝﹣5＜0，

∴当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5． 故答案为：21.5． 【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度ym与水平距离xm之间的关系为

y1(x4)23，由此可知铅球推出的距离是______m． 12【答案】10 【分析】

根据铅球落地时，高度为y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】 解：令y1(x4)23中，y=0， 121(x4)230， 12解得x110，x22（舍去）， 即铅球推出的距离是10m． 故答案为：10． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用中函数式自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题的关键．

9．一个小球被抛出后，如果距离地面高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h5t210t1，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米． 【答案】6 【分析】

直接利用配方法将一般式转化为顶点式，进而求得二次函数最大值即可得解． 【详解】

解：∵h5t210t15t16

2∴小球达到最高点时距离地面高度是6米． 故答案是：6 【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，正确利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．

10．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第_____秒． 【答案】11 【分析】

先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 【详解】

∵此炮弹在第6秒与第16秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x61611， 2∴炮弹所在高度最高时,时间是第11秒． 故答案为：11． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴是解题的关键．

11．一中学生在练习投掷铅球时，通过对自己某次铅球训练的录像进行分析，发现铅球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足关系式h【答案】9 【分析】

根据题意当h=0时，代入求解即可． 【详解】

221618xx，则该中学生铅球投掷的成绩是______米． 252525解：由题意得： 当h=0时，则有0221618xx， 252525解得：x11,x29，

∴该中学生铅球投掷的成绩是9米； 故答案为9． 【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

12．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度ym与运行的水平距离xm满足关系式yax6h．已知球网与O点的水平距离为9m，高

2度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是_________．

【答案】h8 3【分析】

根据当球正好过点（9，2.24）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（18，0），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案． 【详解】

解：当球过球网时y=a（x-6）2+h过（0，2）和（9，2.24），

36ah2，解得： 9ah2.246a675， h2.32y62x62.32， 67562x62.320， 675当y=0时，解得，x16261 （舍去），x26261＞18， ∴球过网时，球出界； ∴h2.32

当球到界时y=a（x-6）2+h过（0，2）和（18，0），

1a36ah2 ，解得：， 8144ah0h3y182x6， 38h ，

3∴球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是h8． 3故答案为：h8 3【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．

m）m）13．一名男生推铅球，铅球行进的高度y（单位：与水平距离x（单位：之间的关系y122xx1235，则这个男生这次推铅球的成绩是_______． 3【答案】10 【分析】

铅球落地时，高度y0，把实际问题可理解为当y0时，求x的值． 【详解】 当y0时，1225xx0， 1233解得：x110，x22（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故答案为：10． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．

14．小明推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y成绩是______m． 【答案】10 【分析】

根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】

解：令函数式y1(x4)23，则小明推球的121(x4)23中y=0，得 1201(x4)23， 12解得x1=10，x2=-2（舍去）． 即铅球推出的距离是10m． 故答案为：10． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－则他与篮底的距离l是_____m.

12

x＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，5

【答案】4 【分析】

根据题意可以求得当y=3.05时，抛物线y（（

12

x（3.5中对应的x的值，从而可以解答本题． 5【详解】

将y=3.05代入y（（

12

x（3.5，得 53.05=（

12

x+3.5（ 5解得,x=−1.5(舍去)或x=1.5（

（若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是：2.5+1.5=4(m)（

故答案为（4. 【点睛】

本题考查二次函数的应用.

16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ． 【答案】1.6． 【解析】

设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h,这个最大高度为h,则小球的高度y=a(t−1.1)2+h，由题意a(t−1.1)2+h=a(t−1−1.1)2+h，解得t=1.6.

故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同． 故答案为1.6.

三、解答题

17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式 yax4h ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

2

（1）当a=-

1 时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网． 24（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为功，求a的值．

12m的Q处时，乙扣球成5【答案】（1）①h=

51；②此球能过网，理由见解析；（2）a=- ． 35【分析】

（1）①将点P（0，1）代入y=-断；

1(x-4)2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判24（2）将(0，1)、(7，

12)代入y=a(x-4)2+h代入即可求得a、h． 5【详解】

（1）解：（当a=-

11 时，y=-(x-4)2+h，

2424将点P(0，1)代入，得：-

1×16+h=1， 24解得：h=

5 ； 3（把x=5代入y=-（1.625＞1.55， （此球能过网；

1155(x-4)2+ ，得：y=-×(5-4)2+ =1.625，

332424（2）把(0，1)、(7，

12 )代入y=a(x-4)2+h，得： 516ah1 12， 9ah51a5解得：，

21h5（a=-

1 ． 5【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

18．张强在一次投掷铅球时，铅球划过的路径刚好是一段抛物线，如图所示．已知张强刚出手时铅球离地面的高度为

5m，铅球运行的水平距离为4m时达到最高，高度为3m． 3（1）求抛物线的函数关系式；

（2）张强这次的投掷成绩大约是多少？

【答案】（1）y1225xx；（2）10m． 1233【分析】

（1）已知给出顶点坐标与y轴的交点坐标，利用抛物线的顶点式即可求出，然后化为一般式即可； （2）张强这次的投掷成绩就是y=0，解一元二次方程求出x，再进行取舍即可． 【详解】

（1）∵铅球运行的水平距离为4m时达到最高，高度为3m． ∴抛物线的顶点坐标为（4，3），

∵出手时铅球离地面的高度为

5m， 3∴A0，，

53设抛物线的顶点式为yax43， ∵抛物线过点A，

2∴

52a043， 31， 12解得ayy12x43， 121225xx； 1233（2）当 y=0时，

12x43=0， 12x46，

， x=10或x=2（不合题意舍去）张强这次的投掷成绩大约是10m． 【点睛】

本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数与一元二次方程的关系问题，掌握用待定系数法求二次函数解析式与解一元二次方程是解题关键．

19．愤怒的小鸟——为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，

像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒．而捣蛋猪为了躲避打击，将自己藏在各种障碍物后面，自此，双方展开了一番斗智斗勇的较量．

（1）如图1，愤怒的小鸟调整好位置后，恰好可以越过2m高的箱子(箱子宽度不计)，射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m，问出发时小鸟与箱子的距离？

（2）如图2，箱子的长宽不断发生变化，愤怒的小鸟按照原弹射轨迹(射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m)，当轨迹恰好经过B、C两点时，则AB+BC+CD的最大值是多少？

【答案】（1）出发时小鸟与箱子的距离为(33) m；（2）ABBCCD的最大值为【分析】

（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，再求得当y2时，x的值，结合题意可得答案； （2）设B点坐标为(x，15m． 2121x2x)，则C点坐标为(6x，x22x)，根据题意得到AB+BC+CD的33二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】

（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点， 设抛物线的解析式为：yax33， 把(0，0)代入得：a0330，

22解得：a1， 3∴抛物线的解析式为y112x33x22x， 33令y2，则12x332，即x323， 3解得：x133，x233(不合题意，舍去)，

答：出发时小鸟与箱子的距离为(33) m；

（2）设B点坐标为(x，121x2x)，则C点坐标为(6x，x22x)， 33∵B点、C点都在第一象限， ∴ABCD12x2x，BC6xx62x， 312x2x62x 3∴ABBCCD22x22x6

32315x，

322∴当x2315时，ABBCCD的最大值为m． 22【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．

20．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B． （1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长．

【答案】（1）y2(x0.4)3.32；（2）OD=1m． 【分析】

（1）设ya(x0.4)3.32（a0），将A（0，3）代入求解即可得出答案； （2）把y2.6代入（1）所求得的解析式中，解方程求出x，即可得出OD的长． 【详解】

（1）设ya(x0.4)3.32（a0），

222把A（0，3）代入得，3a(x0.4)3.32， 解得a2，

∴抛物线的函数表达式为y2(x0.4)3.32；

22（2）（把y2.6代入y2(x0.4)3.32，

2化简得(x0.4)0.36，

2解得x10.2（舍去），x21， ∴OD1m． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的

关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．

21．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A距离地面的高度是高度

16米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大925米的B处，实心球的落地点为C. 9（1）如图，已知ADCD于D，以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为________； （2）小明此次投掷的成绩是多少米？

【答案】（1）B3,25（2）8米 ；9【分析】

（1）根据题意直接写出坐标即可；

（2）求出二次函数表达式，求C点横坐标即可； 【详解】 （1）坐标系

25B3, 9（2）设抛物线的表达式为ya(x3)225(a0) 9由抛物线经过点

16A0, 9得

11625a(3)2解得a 999125y(x3)2

99y0时，x18，x22（舍）

答：小明此次投掷的成绩是8米 【点睛】

此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键

22．九年级的一名男生在体育课上测试推实心球成绩，已知实心球所经过的路线是某二次函数图象的一部分，如图所示，若这个男生出手处A点的坐标为(0,2)，实心球路线的最高处B点的坐标为B(6,5)．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）问该男生把实心球推出去多远？（结果保留根号） 【答案】（1）y1(x6)25；（2）(6215)m 12【分析】

（1）根据抛物线的顶点坐标，设其顶点式，由A坐标可得答案； （2）令y0，解方程求得x的值即可．

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为ya(x6)25(a0)，

A(0,2)在抛物线上，

代入得a1， 12抛物线的解析式为y令y0，即1(x6)25． 12（2）

1(x6)250，解得x16215（舍去），x26215 12OC6215．

答：该同学把实心球扔出(6215)m．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用，熟知利用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．

23．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发出的乒乓球的运动路线是固定不变的，在乒乓球运行时，设乒乓球与发球机的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：

x（米） … 0.4 0.8 1 0 3.2 … 2 y（米） … … 1 1.08 1.12 1.125 1 0.52 （1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数解析式，并求出函数关系式；

（2）乒乓球经发球机发出后，最高点离地面多少米？

（3）当球拍触球时，球离地面的高度为

5米． 8（此时发球机与球的水平距离；

（现将发球机向后平移了0.4米，为确保球拍在原位置接到，发球机需调高多少米？

【答案】（1）y＝﹣

1219x+x+1；（2）米；（3）（3米；（0.22米

488【分析】

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）运用对称性或配方法计算二次函数的顶点坐标的纵坐标即可；

（3）①球离地面的高度为可；

55米时发球机与球的水平距离，就是当y＝时，对应的x的值，代入解方程即88（先设发球机需调高m米，发球机向后平移了0.4米，就是相当于将抛物线向左平移了0.4米，表示出新的抛物线的解析式，将（3，

5）代入即可求出m的值． 8【详解】

解：（1）描点如下：

观察图形发现是二次函数，设y＝ax2+bx+c，

c1把（0，1）、（1，1.125）、（2，1）代入得：abc1.125，

4a2bc11a81解得：b，

4c1则解析式为：y＝﹣

121x+x+1；

48（2）由图表得：当x＝0或2时，y＝1，

对称轴为：直线x＝

02＝1， 2当x＝1时，y＝

9， 8∵a＝﹣

19＜0，y有最大值，是， 88∴乒乓球经发球机发出后，最高点离地面

9米； 8（3）（当y＝

5195时，﹣（x﹣1）2+＝，

8888（x﹣1）2﹣9＝﹣5， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2，

x1＝3，x2＝﹣1（舍去），

则此时发球机与球的水平距离为3米； （设发球机需调高m米， y＝﹣

12119x+x+1＝﹣（x﹣1）2+，

488819（x﹣1+0.4）2++m， 88平移后得：y＝﹣

由题意得（3，

5）仍在平移后的抛物线上， 8所以把（3，

5519）代入得：﹣（3﹣1+0.4）2++m＝，

8888解得m＝0.22，

答：发球机需调高0.22米． 【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，求出函数解析式是解题关键．

24．在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面

4米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一3部分，当球运动到最高点A时，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，其高度为3米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为(m,0)． （1）求抛物线的表达式(不要求写自变量的取值范围)．

（2）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围

【答案】（1）y1(x5)23；（2）6m8 15【分析】

（1）设抛物线解析式为y＝a（x−5）2＋3，将点（0，

4）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式； 3（2）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围． 【详解】

解答：解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−5）2＋3，

44）代入可得：＝a（0−5）2＋3， 331解得：a＝−，

1512故抛物线的解析式为：y(x5)3．

15将点（0，

(2)若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球， 此时−

1（m−5）2＋3＝2.4， 15解得：m1＝2，m2＝8， ∵运动员接球高度不够， ∴2＜m＜8，

∵OC＝6，乙运动员接球时不能触网， ∴m的取值范围为：6＜m＜8． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．

25．足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均．．．．．．速度到球门的左边框？

【答案】（1）y1.22x3.66x；（2）6m/s 【分析】

（1）设y关于x的函数关系式为yax2bx，依题可知：当x1时，y得a、b，即可得到y关于x的函数关系式； （2）令y【详解】

解：（1）设y关于x的函数关系式为yax2bx， 依题可知： 当x1时，y2.44；

2.44，解得x，然后求速度．

2.44；当x3时，y20，解

当x3时，y0．

a9ab3b2.440，

ab1.223.66，

y1.22x23.66x．

（2）

2.44y2.44， 1.22x23.66x，

x23x20，

x11，x22．

当x11时，球刚好踢出，还没到达球门处，不符合题意，舍去，

122平均速度至少为

【点睛】

6(m/s)．

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟悉相关性质是解题的关键．

26．小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2＋2.5．

（1）求铅球的落点与小明的距离；

（2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？

【答案】（1）（（（（（（（（（（（（8m；（2）会受到伤害

【分析】

（1）将点(0，1.6)代入y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5，解得k的值并根据题意作出取舍，从而可得抛物线的解析式，然后令y=0，解得x的值并作出取舍即可；

（2）将x=7代入（1）中的抛物线解析式，求得y值，再与1.5比较即可得出结论． 【详解】

（1）由题意知，点(0，1.6)在抛物线y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5上， ∴1.6=﹣0.1（0﹣k）2＋2.5， 解得：k=3或k=﹣3（舍去），

∴抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5， 当y=0时，﹣0.1（x﹣3）2＋2.5=0， 解得x1=8，x2=﹣2（舍去）， ∴铅球的落点与小明的距离为8m；

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5， ∴当x=7时，y=﹣0.1（7﹣3）2＋2.5=0.9， ∵0.9＜1.5，

∴一个身高为1.5m的小朋友会受到伤害． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数与一元二次方程的关系及求二次函数的值等知识点是解题的关键．

27．小亮推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示（二次函数图象的一部分）．

（1）求y与x之间的函数关系式； （2）求小亮推出铅球的水平距离．

【答案】（1）y1(x4)23；（2）小亮推出铅球的水平距离是10m． 12【分析】

2（1）设y与x之间的函数关系式为：ya(x4)3，将(0,)代入解析式中即可求出结论；

53（2）将y=0代入解析式中，结合实际意义即可得出结论． 【详解】

解：（1）设y与x之间的函数关系式为：ya(x4)3，

22∵点(0,)在ya(x4)3的图象上，

53∴

5a(04)23 31， 121(x4)23； 12解得，a∴y与x之间的函数关系式是：y（2）将y0代入y11(x4)23，得0(x4)23， 1212解得x12，x210

由图可知，小亮推出的距离为正值，x12，不符合题意，舍去，

故小亮推出铅球的水平距离是10m， 答：小亮推出铅球的水平距离是10m． 【点睛】

此题考查的是二次函数的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和实际意义是解题关键． 28．如图，有一款电脑屏幕弹球游戏，球每次运行在同一平面内，从O处发射小球，球将投入“篮筐”—正方形区域DABC边CD，AB为入口和出口，三个顶点为A（2，2）、B（3，2）、D（2，3），小球按照抛物线y=-x2+bx+c飞行，小球落地点P坐标（n，0）． （1）点C坐标为 ；

（2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）； （3）随着n的变化，抛物线的顶点在二次函数 的图象上运动；

（4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触“篮筐”AD、BC，请求出n的取值范围．

nn2【答案】（1）点C坐标为(3,3)；（2）N(,)；（3）y24【分析】

x2；（4）

711n 23（1）由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；

（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c求得b=n、c=0，据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；

nn2nn22

（3）由抛物线的解析式可得抛物线顶点坐标为（，），在y=x中，当x=时，y=，即可得出答

2244案；

（4）根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐”知：当x=2时y＞3，当x=3时y＜2，据此列出关于n的不等式组，解之可得． 【详解】

解：（1）∵A（2，2），B（3，2），D（2，3）， ∴AD=BC=1， 则点C（3，3）， 故答案为：（3，3）；

（2）把（0，0）（n，0）代入y=-x2+bx+c得：

c0， 2nbnc0bn解得：，

c0n2n2∴抛物线解析式为y=-x+nx=-（x-）+，

242

nn2∴顶点N坐标为（，）；

24n2n2（3）抛物线解析式为y=-x+nx=-（x-）+，

242

nn2∴抛物线顶点坐标为（，），

24nn2在y=x中，当x=时，y=，

242

∴抛物线的顶点在函数y=x2的图象上运动；

（4）根据题意，得：当x=2时y＞3，当x=3时y＜2，

42n3 ， 即93n2解得：

711n． 23【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数的问题能力．

29．王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系可以表示为y121x+x2，铅球从出手到落地的路线如图所示． 243

（1）求铅球出手点的离地面的高度OA是多少米？铅球推出的水平距离OB是多少米？ （2）求铅球推出的水平距离是多少米时铅球到达最高点？

【答案】（1）铅球出手点离地面的高度是2米，铅球推出的水平距离DB是12米；（2）铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是

8米 3【分析】

（1）要求OA，只需求A点坐标，由点Azaiy轴上，x=0，可求；铅球推出的水平距离OB，求B点坐标，点B在x轴上，让y=0解之即可，

（2）把给的抛物线解析式配方变为顶点式即可．

【详解】

解：（1）当x0时，y2， ∴铅球出手点离地面的高度是2米． 令y0，即121xx20， 243解得x112，x24（不合题意，舍去）， ∴铅球推出的水平距离DB是12米． （2）y121xx2， 243182x4， 24383∴最高点坐标为4,，

答：铅球推出水平距离是4米时到达最高点，最高点是

8米． 3【点睛】

本题考查二次函数的实际问题，关键熟悉二次函数的知识，求轴上点的坐标方法，对称轴，顶点式，即顶点式中各代数式表示的意义．

30．弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面2m时，弹球与甲的水平距离为2m．弹球在B处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点C处．

（1）求弹球第一次着地前抛物线的解析式（不要求写出x的取值范围） （2）若不考虑筐的因素，求弹球第二次着地点到点O的距离．

（3）如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，那么甲能投球成功吗？若能，请说说理由；若不能，请移动筐使甲投球成功，求筐的移动方向及移动距离m的取值范围．

【答案】（1）y=－

1（x－2）2＋2；（2）弹球第二次着地点到点O的距离为（6＋22）m；（3）m的取值4范围为5－32＜m＜6－32 【分析】

（1）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可得到解答；

（2）同(1)可先求得第二段抛物线的解析式，从而可同函数图象的意义算得弹球第二次着地点到点 O 的距离；

（3）由（2）得到的抛物线解析式可以得到解答． 【详解】

（1）由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为（2，2）， 故可设抛物线的解析式为y=a（x－2）2＋2，

将A（0，1）代入，得a=－

1， 41（x－2）2＋2 4故弹球第一次着地前抛物线的解析式为y=－

（2）当y=0时，－

1（x－2）2＋2=0， 4得x1=2＋22，x2=2－22，

∴B（2＋22，0）．

由从点B弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为1，

故可设该抛物线的解析式为y=－

1（x－b）2＋1， 4将B（2＋22，0）代入，

得b1=22（舍），b2=4＋22，

∴y=－

1（x－4－22）2＋1，且对称轴为直线x=4＋22 4∴C（6＋22，0）即OC=（6＋22）m．

故弹球第二次着地点到点O的距离为（6＋22）m．

（3）当x=9时，y=－

1（9－4－22）2＋1≈－0.18﹤0，故甲不能投球成功． 4由上面的计算可得，筐要沿x轴向左移才能投进球．

当弹球恰好砸中筐的最左端时，－

1（9－m－4－22）2＋1=0.5， 4m2=5－2（舍）解得m1=5－32，，即当m=5－32时，弹球恰好砸中筐的最左端，又∵筐的直径为1m，5－32＋1=6－32，

∴当m=6－32时，弹球恰好砸中筐的最右端，

故m的取值范围为5－32＜m＜6－32． 【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握投球问题中球的运动轨迹及二次函数的图象和性质是解题关键．

31．一名男生推铅球，铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系为

y1225xx，铅球行进路线如图． 1233（1）求出手点离地面的高度． （2）求铅球推出的水平距离．

（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4m．

【答案】（1）

5米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米 3【分析】 (1)x=0得y5； 31225xx=0，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离; 12331225xx4，化简得x28x280，方程无解，即可求解. 1233(2)令y=0得： (3)把y=4代入，得【详解】

(1)把x=0代入y1225xx得： 12335y；

3答：出手点离地面的高度

5米 3（2）1225xx0， 1233解得x110,x22(舍去)

∴铅球推出的水平距离为10米． （3）把y=4代入，得1225xx4，化简得x28x280，方程无解， 1233∴铅球的行进高度不能达到4米． 【点睛】

本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的基础知识.

32．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A的水平距离为x米，与地面的距离为y米，运行时间为t秒，经过多次测试，得到如下部分数据：

t秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x米 0 4 8 10 12 16 20 … y米 2 4.56 5.84 6 5.84 4.56 2 … （1）当t为何值时，网球高度达到最大值？

（2）网球落在地面时，与端点A的水平距离是多少？

（3）网球落在地面上弹起后，y与x满足yax56①用含a的代数式表示k；

2k

②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A点，若有请求出a的值，若没有请说明理由．

【答案】（1）10；（2）1056米；（3）①k100a；②不存在，理由见解析

【分析】

（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；

（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A的水平距离； （3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可；

1x，②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为y若要击杀则有ax56102100a1x，10根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a的值，继而根据对应x的值取舍可得． 【详解】

（1）由表格中数据可得，t4（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；

（2）以A为原点，以球场中线所在直线为x轴，网球发出的方向为x轴的正方向，竖直运动方向为y方向，建立平面直角坐标系．

由表格中数据，可得y是x的二次函数，且顶点坐标为(10，6)， 可设ym(x10)6，

2将（0，2）代入，可得：m1， 25∴y1(x10)26， 25当y0，得x5610(负值舍去)，

∴网球落在地面上时，网球与端点A的距离为1056米；

0)代入yax56（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(1056，

2得k100a； k，

②不存在．

∵网高1.2米，球网到A的距离为

2412米， 2∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点，

∴扣杀路线在直线y1x上， 101x， 10令ax562100a整理得：ax10621x50a0， 10当0时符合条件，

21106a200a20，

10解得a12626，a2．

400400开口向下，a＜0， ∴a1，a2都可以，

将a1，a2分别代入ax56【点睛】

2100a1x，得到得解都是负数，不符合实际． 10本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．

33．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高

20m，与篮圈中心的水平9距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

【答案】（1）y=−

1(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 9【分析】

（1）根据题意可知：抛物线经过（0，

2020），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，）99代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；

（2）当x1时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】

解：由题意可知，抛物线经过（0，

20），顶点坐标是（4，4）． 9设抛物线的解析式是yax44，

2将（0，

20202a044 ）代入，得

99解得a1， 912x44； 9所以抛物线的解析式是y篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得y127443， 9∴这个点在抛物线上，

∴能够投中

答：能够投中．

（2）当x1时，y121443<3.1， 9所以能够盖帽拦截成功. 答：能够盖帽拦截成功. 【点睛】

此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.