Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理(参考模板)

Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理

魏婷婷

(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000)

摘要: 在Banach空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中hmin{1,b},初值问

LM题的解y(t)的变量t在t0htt0h上变化,把t的变化范围扩大为

t0bMtt0bM,为此给出t变化范围后的Banach空间中常微分方程解的存在唯一

性定理,并对定理给予明确的证明.

关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach空间

引言

常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为,还需满足L1,且解只在以y0为中心以为半径的闭球

B(y0)yXyy0存在唯一,其中X是Banach空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.

1 预备定理

我们给出Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下

设X是Banach空间, UX是一个开集. f:UX上关于y满足利普希茨

(Lipschitz)条件,即存在常数L0,使得不等式f(t,y1)f(t,y2)Ly1y2,对于所有y1,y2U都成立.取y0U,在U内,以y0为中心作一个半径为b的闭球

Bb(y0)yXyy0b,对所有的yBb(y0)都成立,且有f(y)M,取

hmin{1,b},则存在唯一的C1曲线y(t),使得在t0htt0h上满足yBb(y0),

LM并有yf(t,y),y(t0)y0.

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2 结果与证明

笔者通过改进对h的限制,即仅取hb进一步广泛.

M,预备定理仍然成立,从而使定理的应用

2.1改进条件后的定理

定理 假设条件同上预备定理,设初值为(t0,y0),则存在唯一的C1曲线y(t),对任意的t0bMtt0bM,满足yBb(y0),且使得yf(t,y),y(t0)y0.显然可有

M,t0bM],且hmin{1,b[t0h,t0h][t0bLM}.

2.2定理的证明

证明 证明过程中我们利用皮卡(Picard)逐步逼近法.为了简单起见,只就区间

t0bMtt0进行讨论,对于区间t0tt0bM的讨论完全一样.

2.2.1定理证明的思想

现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想. 首先证明条件yf(t,y),y(t0)y0等价于求积分方程

y(t)y0tt0f(t,y)dt.

(1)

再证明积分方程的解的存在唯一性.

任取一个y0(t)为连续函数,将它代入方程(1)的右端f(t,y),可得到函数

y1(t)y0tt0f(t,y0)dt,显然,y1(t)也为连续函数.若y1(t)y0(t),则可知y0(t)就是方程(1)的解.若不然,我们又把y1(t)代入积分方程(1)的右端f(t,y),可得到函数

y2(t)y0tt0f(t,y1)dt.若y2(t)y1(t),则可知y1(t)就是方程(1)的解.若不然,我们如此下去,可作连续函数,

yn(t)y0tt0f(t,yn1)dt. (2)

这样就得到连续函数列

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y0(t),y1(t),y2(t),,yn(t),

若yn1(t)yn(t),那么yn(t)就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数y(t),即limyn(t)y(t)存在,因而对(2)式两边

n取极限时,就得到

limyn(t)y0limtt0f(t,yn1)dty0tt0limf(t,yn1)dty0tt0f(t,y)dt,

nnn即y(t)y0tt0f(t,y)dt,这就是说,y(t)是积分方程的解.在定理的假设条件下,以上的步骤是可以实现的. 2.2.2定理证明的步骤

下面我们分五个命题来证明定理.

命题1 设yy(t)是yf(t,y)的定义于区间t0bMtt0上,满足初值条件

y(t0)y0 (3) 的解,则yy(t)是积分方程y(t)y0tt0f(t,y)dt定义于t0btt0上的连续解,反

M之亦然.

证明 因为yy(t)是方程yf(t,y)的解,故有

dy(t)f(t,y). dt对上式两边从t0到t取定积分得到

y(t)y(t0)tt0f(t,y)dt,t0bMtt0,

把(3)式代入上式,即有

y(t)y0tt0f(t,y)dt,t0btt0. (4)

M因此, yy(t)是(4)的定义于t0bMtt0上的连续解.

反之,如果yy(t)是(4)的连续解, y(t)y0tt0f(t,y)dt,t0btt0.

M微分之,得到

dy(t)f(t,y). dt又把tt0代入(4)式,得到y(t0)y0,因此, yy(t)是方程yf(t,y)的定义于区间

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t0bMtt0,且满足初值条件(3)的解.命题1证毕.

现在取y0(t)y0,构造皮卡逐步逼近函数序列如下

y0(t)y0  (5) tby(t)y0t0f(t,yn1)dt,t0tt0(n1,2,)Mn命题2 对于所有的n,(5)中函数yn(t)在t0b式yn(t)y0b.

证明 用数学归纳法可以证明,如下

yn(t)Bb(y0),对于任意nN,t0bMtt0上有定义,连续且满足不等

Mtt0,

当n1时, y1(t)y0tt0f(,y0)d,显然y1(t)在t0btt0上有定义,连续且有

My1(t)y0tt0f(,y0)dtt0f(,y0)dM(tt0)b.

Mtt0上有定义,连续且满足不等式

设当nk时有yk(t)Bb(y0),也即yk(t)在t0byk(t)y0b,这时

yk1(t)y0tt0f(,yk)d.

由假设,命题2当nk时成立,则可知yk1(t)在t0b当nk1时

yk1(t)y0Mtt0上有定义,连续且有

tt0f(,yk)dtt0f(,yk)dM(tt0)b,

即命题2当nk1时也成立,从而得知命题2对于所有的n均成立.命题2证毕.

命题3 函数序列{yn(t)}在t0b证明 我们考虑级数

y0(t)[yk(t)yk1(t)],t0bk1Mtt0上是一致收敛的.

Mtt0,

(6)

(6)式级数的部分和为y0(t)[yk(t)yk1(t)]yn(t),因此,要证明函数序列{yn(t)}在

k1nt0b

Mtt0上一致收敛,我们仅证明级数(6)在t0b4 / 114

Mtt0上一致收敛.因此,我

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们可进行如下计算,由

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y1(t)y0tt0f(,y0)dtt0f(,y0)dM(tt0), (7)

及y2(t)y1(t)tt0f(,y1)f(,y0)d,利用利普希茨(Lipschitz)条件及(7)式可知

y2(t)y1(t)Ltt0y1()y0()dLtt0 ML2M(t0)d(tt0)2!

MLn1(tt0)n成立. 对于任意的n为正整数,不等式yn(t)yn1(t)n!则由利普希茨条件,当t0bMtt0时,有

yn1(t)yn(t)tt0f(,yn)f(,yn1)dLtt0yn()yn1()dMLnn!tt0MLn(t0)d(tt0)n1(n1)!n为此,由数学归纳法可知,对于所有的正整数k,可有如下的式子成立,

MLk1yk(t)yk1(t)(tt0)k,t0btt0.

Mk!因此可有,当

MLk1MLk1bk(tt0)()k, (8) yk(t)yk1(t)Mk!k!MLk1b()k的一般项. (8)式右端为收敛的正项级数Mk!k1由魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法,级数(6)在t0b列{yn(t)}也在t0b现设

MMtt0上是一致收敛的,因此序

tt0上一致收敛,命题3证毕.

limyn(t)y(t),

n为此y(t)也在t0bMtt0上连续,且由命题2又可知

y(t)y0b,

命题4 y(t)是积分方程y(t)y0tt0f(t,y)dt的定义在区间t0btt0上的连

M续解.

证明 由利普希茨条件f(t,yn)f(t,y)Lyn(t)y(t)以及{yn(t)}在

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t0bMtt0上一致收敛于y(t),且函数列{yn(t)}逐项连续,即知序列{f(yn(t))}在t0bMtt0上一致收敛于f(y(t)).

因而对(5)式两边取极限,得到

limyn(t)y0limtt0f(,yn1)dy0tt0limf(,yn1)d

nnn即y(t)y0ttf(,y)d,这就是说, y(t)是积分方程y(t)y0ttf(t,y)dt的定义于

00t0bMtt0上的连续解.命题4证毕.

命题5 (证明解的唯一性)设x(t)是积分方程y(t)y0tt0f(t,y)dt定义于

t0bMtt0上的另一个连续解,则y(t)x(t),t0bMtt0.

证明 现在我们证明x(t)也是序列{yn(t)}的一致收敛极限函数.为此,从

y0(t)y0,yn(t)yt0t0f(,yn1)d. (n1),x(t)yt0t0f(,x)d,

可以进行如下的估计,

y0(t)x(t)tt0f(,x)dtt0f(,x)dM(tt0)

y1(t)x(t)tt0f(,y0)f(,x)dLtt0y0()x()d

MLtt(tdML00)!(tt0)22现在我们可以假设y)MLn1n!(ttnn1(t)x(t0),则有 yn(t)x(t)tt0f(,yn1)f(,x)dLtt0yn1()x()dMLntn

n!t0(tMLn0)d(n1)!(tt0)n1.故由数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式

y(t)x(t)MLnnn1)!(tt1(0)n,

于是我们可知在t0bMtt0上有

yMLnn(t)x(t)(n1)!(ttn1MLn0)(n1)!(bM)n1, (9) 6 / 116

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MLnbMLnbn1()是收敛级数的公项,且当n时, ()n10. (n1)!M(n1)!M因而{yn(t)}在t0by(t)x(t),t0bMtt0上一致收敛于x(t).根据极限的唯一性,即可知

Mtt0.命题5证毕.

综合命题1～5,即得到Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理的证明. 例题 求初值问题

dy22ty dty(1)0其中R:t2,0,y1,1的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.

解 Mmaxf(t,y)4

t,yR则利用本文的结果hbM1, 4在R上函数f(t,y)t2y2的利普希茨常数可取L2,因为

y0(t)0,

f2y2L. yy1(t)y2(t)t1t21(y0())d,

3322t1t3tt4t711(y1())d.

3918634222在本文的估计式(9)中令x(t)y(t),则有误差估计式

MLnMLnbn1yn(t)y(t)(tt0)()n1,

(n1)!(n1)!M从而可得

422131y2(t)y(t)()3!424.

利用本文结果,初值问题解的存在区间为t0b

Mtt0bM7 / 117

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为此将t01,bM153代入上式,可得解的存在区间为t; 444t3tt4t711第二次近似解为y2;

39186342在解的存在区间的误差估计为y2y1. 24结束语

在Banach空间中,通过运用皮卡的逐步逼近法,从证明解的存在性,到解的唯一性,采用严密的逻辑推理和理论证明,得到扩大解的存在区间后Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理,从而使定理更加实用.当然,展望未来,我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的可靠性依据.

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参考文献

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[6] 王声望,郑伟行,编.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,2005.

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致谢

在完成终稿的今天,在敲完最后一个句号的时刻,我的思想同周围凝固的热气一样停驻了,不知道是慰藉还是悲伤,大学四年的生活就这样结束了,而眼前的路还很长,虽然似乎有些迷茫,但我必须整理心情,背上行囊,坚定的踏上新的征程……

我要感谢,非常感谢我的指导老师何老师.在忙碌的教学工作中挤出时间来审查修改我的论文,循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.他为人随和热情﹑治学严谨细心﹑广博的学识﹑深厚的学术素养,在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求,从选题﹑定题﹑开始,一直到论文的反复修改,何老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导,帮助我开拓研究思路,精心点拨﹑热忱鼓励.正是何老师的无私帮助与热忱鼓励,我的毕业论文才能够得以顺利完成,谢谢何老师.

再次,我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学,你们对我的关心﹑帮助和支持是我不断前进的动力之一,我的大学生活因为有你们而更加精彩.

最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!

（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）

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