三角函数的图像和性质题型归纳总结

题型归纳及思路提示

题型1 已知函数解析式确定函数性质

【思路提示】一般所给函数为y＝A sin(ω x＋φ)或y＝A cos(ω x＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y＝sin x，y＝cos x的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f(x)＝sin(x)（0≤<）是R上的偶函数，则等于（ ） B．

 C． D． 42【评注】由ysinx是奇函数，ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若yAsin(x)是奇函数，则k(kZ);(2)若yAsin(x)是偶函数，则k+2

(kZ);(3)若yAcos(x)是奇函数，则k2

(kZ);(4)若yAcos(x)是偶函数，则k(kZ);(5)若yAtan(x)是奇函数，则k(kZ).2

变式1.已知aR，函数f(x)sinx|a|为奇函数，则a等于（ ） B．1 C．1 D．1

变式2.设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的（ ）

A充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件 D．无关条件

变式3.设f(x)sin(x)，其中0，则f(x)是偶函数的充要条件是（ ）

A.f(0)1 B．f(0)0 C．f'(0)1 D．f'(0)0例2.设f(x)sin(2x)(xR)，则f(x)是( )2

A.最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为

的奇函数 D．最小正周期为的偶函数22

变式1.若f(x)sin2x1(xR)，则f(x)是( )

A.最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为2的奇函数 D．最小正周期为2的偶函数变式2.下列函数中，既在(0,)递增，又是以为周期的偶函数的是( )2

A.ycos2x B．y|sin2x| C．y|cos2x| D．y|sinx|二、函数的周期性



例3.函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期为( )66

A.

 B． C．2 D．24

【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：

(1)函数yAsin(x)b,yAcos(x)b,yAtan(x)b的周期分别为22,,.||||||

(2)函数y|Asin(x)|,y|Acos(x)|,y|Atan(x)|的周期均为.||

2.||

(3)函数y|Asin(x)b|(b0),y|Acos(x)b|(b0)的周期均为变式1.函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期和最大值分别为( )63

A.,1 B．,2 C．2,1 D．2,2

变式2.若f(x)sinx(sinxcosx),则f(x)的最小正周期是________.变式3.若f(x)sin3x|sin3x|则f(x)是( )A.最小正周期为3

的周期函数 B．最小正周期为2的周期函数 3C．最小正周期为2的周期函数 D．非周期函数三、函数的单调性

例4.函数ysin(2x)(x[0,])的递增区间是( )6 755] C．[,] D．[,]A.[0,] B．[,12123636

【评注】求三角函数的单调区间：

若函数yAsin(x)(A0,0)则

(1)函数的递增区间由2k(kZ)决定；23(2)函数的递减区间由2kx2k(kZ)决定；22(3)若函数yAsin(x)中A0,0，可将函数变为yAsin(x)2x2k

则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；(4)对于函数yAcos(x)和yAtan(x)单调性的讨论同上。

变式1.函数ysinxf(x)在[4,34]内单调递增，则f(x)可以是( )

A.1 B．cosx C．sinx D．cosx变式2.若f(x)sin(x

4)(0)在(2,)上单调递增，则的取值范围是（ A.[15132,4] B．[2,4] C．(0,12] D．(0,2] 变式3.已知函数f(x)3sinxcos(x)cos(x33)(0)(1)求f(x)的值域；(2)若f(x)的最小正周期为,x[0,2]，f(x)的单调递减区间. 2

）

四、函数的对称性（对称轴、对称中心）

例5.函数ysin(2x)图象的对称轴方程可能是( )3

A.x B．x C．x D．x126612

【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：

(1)函数ysinx的对称轴为xk2(kZ),对称中心(k,0)(kZ);(2)函数ycosx的对称轴为xk(kZ),对称中心(k(3)函数ytanx无对称轴，对称中心(k,0)(kZ);22,0)(kZ);(4)函数yAsin(x)b的对称轴的求法：令xk对称中心的求法:令xk(kZ)得x=k2k(kZ),得x=k2(kZ);k(5)函数yAcos(x)b的对称轴的求法：令xk(kZ),得x=(kZ);kk22对称中心的求法:令xk(kZ)得x=(kZ),对称中心为(,b)(kZ)2(kZ),对称中心为(,b)(kZ)；变式1.已知函数ysin(x)(0)的最小正周期为，则f(x)的图象( )3

A.关于点(,0)对称 B．关于直线x对称

34C．关于点(,0)对称 D．关于直线x对称43

变式2.函数ysin(x)的图象的一个对称中心是( )4 33,0) C．(,0) D．(,0)A.(,0) B．(442 2x2x变式3.函数f(x)sincos的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.55变式4.若函数ysinx3cosx的图象向右平移a个单位（a0）后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )A.

7 B． C． D．

263 6五、三角函数性质的综合

【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；

（）对称性1奇偶性：若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数；若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；TT(2)对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；22T相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；4(3)对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数f(x)单调；特殊的，若f(x)Asin(x),A0，0函数f(x)在[1,2]上单调，且0[1,2]设max{|1|,2}，则T。4例6.设f(x)asin2xbcos2x,ab0,若f(x)f()对任xR成立,则6117(1)f()0;(2)f()f();(3)f(x)不具奇偶性；121052(4)f(x)的单调递增区间是[k,k](kZ)；63(5)存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.以上结论中正确的是__________________.



例7.已知函数f(x)4cos(x)sinxcos(2x)(0)63(1)求f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[,]为增函数，求的最大值.

22



变式1.已知函数f(x)2sinx(0),若f(x)在[

24,3]上递增，求的取值范围.

例8.若f(x)sin(x)(0),f()f()且在(,)上有最小值无最大值，则=______.36363

题型2 根据条件确定解析式

方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。 【思路提示】

由图象求得y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为x0，第二点（即图象最高点）为x2，第三点（即图象下降时与横轴的交点）为x，第四点（即图象最低点）为x（即图象上升时与横轴的交点）为x2.。3，第五点2

例9.函数f(x)Asin(2x)(A,R)部分图象如下图所示，则f(0)（ ）

A.31 B．1 C． D．322 变式1.函数f(x)Asin(x)(A0,0)部分图象如下图所示，则f(0)________.

2变式2.f(x)Acos(x)部分图象如下图所示，f(),则f(0)________.23

例10.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)部分图象如下图所示，求f(x)的解析式。

2变式1.已知f(x)cos(x)（，为常数），如果存在正整数和实数使得函

数f(x)的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求的值.

y12

O1x

方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。

例11.已知函数f(x)sin(x)(0,0)为R上的偶函数，点(且函数在[0,]上单调，求函数f(x)的解析式。2

3,0)是其一对称中心，4变式1.已知函数f(x)4sin(x)(0,0且经过点(0,2)，求函数f(x)的解析式。

)图象的相邻两条对称轴的距离为，23

题型3：函数的值域（最值）

【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：

(1)yasinxbatb,sinxt[1,1];b(2)yasinxbcosxca2b2sin(x)c,tan;a(3)yasin2xbsinxcat2btc,sinxt[1,1];yacos2xbsinxcat2bt(ac),sinxt[1,1];yacos2xbsinxc2at2bt(ac),sinxt[1,1];t21(4)yacosxsinxb(sinxcosx)cabt(ac),sinxcosxt[2,2];21t2yacosxsinxb(sinxcosx)cabt(ac),sinxcosxt[2,2];2asinxbasinxb(5)y与y根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可csinxdccosxd用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意sinx、cosx的范围。例12.函数f(x)sinxcosx的最小值是( )11A.1B.C.D.1

22变式1.函数f(x)sinxcos(x)的值域为（ ）333

A.[2,2]B.[3,3]C.[1,1]D.[,]22变式2.函数f(x)sin2x3sinxcosx在区间[A.1B.132C.32D.13,]上的最大值为（ ）42

例13.函数f(x)4sin(x)3sin(x)的最大值为（ ）363 A.7B.23C.5D.42变式1.求函数f(x)cos(x2x)2cos2的值域.32

变式2.求函数f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)(x[,])的值域.344122



例14.求函数f(x)2cos2xsin2x4cosx的最值.

变式1.求函数f(x)cos2xsinx(|x|4)的最小值.

53变式2.求函数f(x)sin2xacosxa(0x)的最大值.822

变式3.若sin2xcosxa0有实数解，试确定a的取值范围.

变式4.若关于x的方程cos2xsinxa0在(0,5A.(,]4

B.(1,1]C.[1,1]25D.(1,]4]上有解，则a的取值范围是（ ）变式5.若关于x的不等式cos2xsinxa0在(0,]上恒成立，求a的取值范围.2



例15.对于函数f(x)sinx1(0x)，下列结论中正确的是( )sinxA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式1.求函数y

3cosx的值域.2sinx

变式2.若

4x2，求函数ytan2xtan3x的最大值.

题型4：三角函数图象变换 【思路提示】

由函数ysinx的图象变换为函数yAsin(x)b(A,0)的图象.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

y变为原来的A倍ysinxysin(x)ysin(x)向上平移b个单位yAsin(x)yAsin(x)b；向左平移个单位x变为原来的1途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

y变为原来的A倍ysinxsinxysin(x)x变为原来的1向左平移个单位向上平移b个单位yAsin(x)yAsin(x)b.平移口诀：左加右减，上加下减（不要管、、b的正负,注意先弄清楚由谁平移到谁）。例16.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）

变式1.为得到函数ycos(2x5个单位125C.向左平移个单位6A.向左平移3)的图象，只需将函数ysin2x的图象（ ）B.向右平移5个单位125D.向右平移个单位6变式2.已知f(x)sin(x),g(x)cos(x),则f(x)的图象（ ）22A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.是由g(x)的图象向左平移D.是由g(x)的图象向右平移



2个单位得到的个单位得到的2111例17.函数f(x)sin2xsincos2xcossin()(0),(,).22262(1)求的值;1(2)将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，2求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.4



变式1.已知向量m=sinx,1,n=3Acosx,Acos2xA>0，函数fx=mn的最大2值为6，（1）求A（2）将函数y=fx的图像向左平移横坐标缩短为原来的

个单位，再将所得图像上各点的1215倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图像，求gx在0,上242的值域.