为什么复振幅模值的平方可以表示辐照度分布

特殊情况（平面波）

电磁场的电场，磁场矢量：

{𝑗(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0)} 𝐸=𝐸0𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0)⟺𝐸0𝑒𝑥𝑝⁡

𝐸0𝐸0{𝑗(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0)} 𝐻=𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0)⟺𝑒𝑥𝑝⁡𝜇𝜀𝜇𝜀√√电场的复振幅为：

{𝑗(𝑘𝑥+𝜑0)} 𝐸=𝐸0𝑒𝑥𝑝⁡

坡印廷矢量为：

2𝐸0𝑆=𝐸∙𝐻=𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0) √𝜇𝜀一个周期的能量为：

𝑊=∫𝑆𝑑𝑡=∫

02𝜋𝜔2𝜋𝜔222𝐸0𝜋𝐸0𝐸0

2

𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑0)𝑑𝑡=∝ 𝜔√𝜇𝜀𝜔√𝜇𝜀0

能量的平均值为：

2

𝑊𝐸02̅=𝑊=∝𝐸0 2𝜋2√𝜇𝜀𝜔复振幅的模值为：

2𝐸0

一般情况，假设电场矢量复振幅已知，为：

{𝑗(𝑎𝑥+𝑏)+(𝑐𝑥+𝑑)} 𝐸=𝐴𝑒𝑥𝑝⁡

作如下变换：

𝐸=𝐴𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑎+𝑏}=𝐴∙𝑒𝑥𝑝{(𝑐𝑥+𝑑)}∙𝑒𝑥𝑝{𝑗(𝑎𝑥+𝑏)} 电场，磁场矢量为：

𝐸=𝐴∙𝑒𝑥𝑝{(𝑐𝑥+𝑑)}∙𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥+𝑏+𝜔𝑡)

𝐴𝐻=∙𝑒𝑥𝑝{(𝑐𝑥+𝑑)}∙𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥+𝑏+𝜔𝑡) 𝜇𝜀√坡印廷矢量为：

𝐴2

𝑆=𝐸∙𝐻=∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)}∙𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑥+𝑏+𝜔𝑡) √𝜇𝜀一个周期内的能量为：

𝜋𝐴2𝐴2∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)}

𝑊=∫𝑆𝑑𝑡=∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)}∝ 𝜔𝜔𝜇𝜀√0

能量平均值为：

𝑊𝐴2

̅=𝑊=∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)}∝𝐴2∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)} 2𝜋2√𝜇𝜀𝜔复振幅的模值为：

𝐴2∙𝑒𝑥𝑝{2(𝑐𝑥+𝑑)} 2𝜋𝜔

一般平面情况 假设其复振幅为：

𝐸=𝑤(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦)} 作如下变换：

𝐸=𝑤(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{𝑣(𝑥,𝑦)}∙𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑢(𝑥,𝑦)} 电磁场矢量分别为：

𝐸=𝑤(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{𝑣(𝑥,𝑦)}∙cos{𝑗𝑢(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡} 𝑤(𝑥,𝑦)𝐻=∙𝑒𝑥𝑝{𝑣(𝑥,𝑦)}∙cos{𝑗𝑢(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡} 𝜀𝜇√坡印廷矢量为：

𝑤2(𝑥,𝑦)𝑆=∙𝑒𝑥𝑝{2𝑣(𝑥,𝑦)}∙𝑐𝑜𝑠2{𝑗𝑢(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡} √𝜀𝜇一个周期内的能量为：

𝑤2(𝑥,𝑦)2𝜋

𝑊=∫𝑆𝑑𝑡=∙𝑒𝑥𝑝{2𝑣(𝑥,𝑦)}∙ 𝜔2√𝜀𝜇0

能量的平均值为：

𝑊𝑤2(𝑥,𝑦)

̅=𝑊=∙𝑒𝑥𝑝{2𝑣(𝑥,𝑦)}∝𝑤2(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{2𝑣(𝑥,𝑦)} 2𝜋2√𝜀𝜇𝜔复振幅模的平方为：

𝑤2(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{2𝑣(𝑥,𝑦)}

由计算结果可得结论：电磁波（光波）的一个周期内的能量值与模值的平方除角频率的值成正比，能量的平均值与复振幅模值的平方成正比，可以拿复振幅的模值的平方表示能量分布。

两个波叠加过程用复振幅表示同样也可以用复振幅模值的平方表示复振幅分布 假设两个波复振幅分别为：

𝐸1=𝑢1(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑣1(𝑥,𝑦)} 𝐸2=𝑢2(𝑥,𝑦)∙𝑒𝑥𝑝{𝑗𝑣2(𝑥,𝑦)} 对应的函数分别为：

𝐸1=𝑢1(𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠{𝑣1(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡} 𝐸2=𝑢2(𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠{𝑣2(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡} 和函数为：

𝐸=𝐸1+𝐸2 𝐸𝐸1+𝐸2𝐻== √𝜀𝜇√𝜀𝜇坡印廷矢量为：

2𝜋𝜔1∙(𝐸1+𝐸2)2 √𝜀𝜇122=∙(𝐸1+𝐸2+2𝐸1𝐸2)2 √𝜀𝜇12(2(=∙{𝑢1𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠2[𝑣1(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]+𝑢2𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠2[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]√𝜀𝜇+2𝑢1(𝑥,𝑦)𝑢2(𝑥,𝑦)cos[𝑣1(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]cos[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]}

12(2(=∙{𝑢1𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠2[𝑣1(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]+𝑢2𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠2[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝜔𝑡]√𝜀𝜇+𝑢1(𝑥,𝑦)𝑢2(𝑥,𝑦)cos[𝑣1(𝑥,𝑦)+𝑣2(𝑥,𝑦)−2𝜔𝑡]cos[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝑣1(𝑥,𝑦)]}

一个周期内的能量为： 𝑆=

𝑊=∫𝑆𝑑𝑡=

02𝜋𝜔12𝜋2(2(∙∙{𝑢1𝑥,𝑦)+𝑢2𝑥,𝑦)+2𝑢1(𝑥,𝑦)𝑢2(𝑥,𝑦)cos[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝑣1(𝑥,𝑦)]} 2√𝜀𝜇𝜔

能量平均值为：

̅=𝑊

𝑊1

(𝑥,𝑦)+𝑢2=∙{𝑢212(𝑥,𝑦)+2𝑢1(𝑥,𝑦)𝑢2(𝑥,𝑦)cos[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝑣1(𝑥,𝑦)]} 2𝜋2√𝜀𝜇𝜔复振幅相加：

𝐸=𝐸1+𝐸2 =𝑢1(𝑥,𝑦)∙cos⁡[𝑣1(𝑥,𝑦)]+𝑢2(𝑥,𝑦)∙𝑐𝑜𝑠[𝑣2(𝑥,𝑦)]+j{𝑢1(𝑥,𝑦)∙𝑠𝑖𝑛[𝑣1(𝑥,𝑦)]

+𝑢2(𝑥,𝑦)∙𝑠𝑖𝑛[𝑣2(𝑥,𝑦)]} 复振幅模值的平方：

2(2(𝑢1𝑥,𝑦)+𝑢2𝑥,𝑦)+2𝑢1(𝑥,𝑦)𝑢2(𝑥,𝑦)cos[𝑣2(𝑥,𝑦)−𝑣1(𝑥,𝑦)]

当只进行线性运算时，利用复振幅表示波进行加减运算后的结果也满足复振幅模值的平方可以用来表示辐照度分布这一结论。