极点与系统稳定性

极点对系统性能影响

一．控制系统与极点

自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又 离叫散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统 续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。

系统的数学模型一般由系统传递函数表 。达

传递函数为零初始条件下线性系统响应 （即

输出） 量的拉普拉斯变换 （或 z 变换） 与激励 （即输入） 量的拉普拉斯变换之比。 记作 Φ（ s） =Xo （ s）/Xi （s），其中 Xo （s）、Xi （s）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，

n

n 1

,称为采样控制系统。连

s a1s a 1s a

n

n

0

特征方程的根称为极点。如试Φ﹙S﹚= C [ ∏ （ S-Pi）/∏ (S-Qi) ] 中 Q1 Q2 Q3 ⋯ ⋯ Qi ⋯ ⋯ 即为系统的极点。 二．极点对系统的影响

极点 --确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分别 进行分析：

⑴连续系统

理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式

设系统函数为：

将 H(S)进行部分分式展开：

.......

.......

系统冲激响应 H(S)的时域特性 h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数 置决定。每一个极点将决定

h(t)的一项时间函数。

H(S)的极点位

稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏ （ S-Pi） /(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S- τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+⋯ ⋯ + Ci/(S- τi)+ ⋯ ⋯

st

则时间响应为

s t

s t ⋯

n

y(t) C e

1

C e

2

C e ⋯

n

1 2

（1）只有一个实根： s

t

0 y(t)

时，

y(t ) Ce

0

（2）有一对复根： s

( j )t (

y(t ) C e C e

1

2

j

j )t

0 y(t)

时， 恒量 0 y(t) 时，

敛 0时，收

t

C e cos( t 1

)

0

时，等幅振荡 0时，发散

t

t

由于特征方程的根不止一个，

这时， 应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。

只要有一

个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因 ，此即所有的根都在复平面的左半平面。 通过复变函数幅角定理将 如果封闭曲线

特征方程所有根的实部都必须是负数，亦

S 由 G平面映射到 GH平面。

R为z 和 p 之差，即 R＝z－p。

F 内有 Z 个 F(s) 的零点，有 P 个 F(s) 的极点，则 s 沿 F 顺时针转一圈时，

在 F(s) 平面上， F(s) 曲线绕原点顺时针转的圈数 若 R为负 , 表示 F(s) 曲线绕原点逆时针转过的圈数。

F(s) 的分母是 G0(s) 的分母， 其极点是 G0(s) 的极点； 其分子是 ?(s) 的分母， 即 ?(s) 的特征 多项式，其零点是

?(s) 的极点。

取 D形曲线（ D围线）如图所示，是整个右半复平面。 且设D曲线不经过 F(s) 的任一极点或零点。 s 沿 D曲线顺时针变化一周，

F(s) 顺时针包围原点的周数为：

( 闭环传函在右半复平面极点数

)

)

( 开环传函在右半复平面极点数

n=z-p=F(s) 在右半复平面的零点数 -F(s) 在右半复平面的极点数 所以闭环系统稳定的充分必要条件是： n=- p =- 开环传函在右半复平面的极点数

.......

.......

因此：

反馈控制系统在 s右半平面的闭环极点个数

Z=P-2N ，式中，P 为 s 右半平面开环极点数，

N 为开环 Nyquist 曲线逆时针包围 (-1 ,j0) 点的圈数，且有 N=N+ －N- 其中 N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。 其中 N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。 正穿越：随着 负穿越：随着

的增大，开环 Nyquist 曲线逆时针穿越实轴区间 (- , -1) 。

(- , -1) 。 (- , -1) 。

=0＋时，幅值无穷大，而相角

的虚线圆

的增大，开环 Nyquist 曲线顺时针穿越实轴区间 (- , -1) 。

Nyquist 曲线在

半次正穿越：逆时针方向离开（或中止于）实轴区间 半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间 若开环传递函数有积分环节，开环 为 弧。

在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为

Nyquist 曲线的一部分。

。判断稳定性要求

=0 开始逆时针补半径为无穷大， 角度为

(-1,j0)

同样其他稳定性的判别由劳斯判据和赫尔维兹判据 程推出 S 根没有复实部。 总结：

波的图判据等原理相同。都是由特征方

1.如系统函数 H(s)的全部极点落于 S 域左半平面，则系统稳定。

2.如系统函数 H(s)有极点落于 S 右半平面， 或在虚轴上具有二阶以上的极点， 定。

3.若系统函数 H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳定。 4. 系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次

。

则该系统不稳

⑵离散系统

.......

.......

离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉 冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。

G( z)

r (t)

R( z)

c(t )

c

*

t ( )

c(t )

r

*

t ( )

G(s)

C( z)

离散时间序列 x(n) 的 Z 变换定义为

因此引入 Z 变换取代拉斯变换只适用与连续函数，

X(z) ＝Σx(n)z-n ，常用序列的 Z 变换中 z＝e，σ为实变数， ω为实变量， j＝，所以 z 是一 个幅度为 eб，相位为 ω 的复变量。 x(n)和 X(z) 构成一个 Z 变换时 。

理想的单位脉冲序列：

T

(t)

k

(t kT)

采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信 号，调制过程可以表示为：

*

x (t) x(t ) T (t) x(t )

k

(t kT)

则：

(t) x(t ) x

*

(t kT )

k 0

x( 0) (t ) x(T ) (t T) x (2T ) (t 2T) x (kT ) (t kT) x(kT ) (t kT ) k

Z 变换为：

0

x ( )

x t * t

*

( ) ( ) t KT x kT x t t KT

k 0

k 0

( ) ( * t )

t KT

x kT t KT

X ( ) [ ( )]

s L x t

*

k 0

sT

定义： z e

( ) kTs

x kT e

则：

X (z) X ( )

s

*

( ln ) X z

*

1

T

( ) x kT z

k

.......

.......

1 s T ln z

k 0

Z[ x(t)] Z[ (t )] X (z) x

k 0

0

1

*

x(kT )z x(0)

k

由以上定义得知 Z 变换，则如何从 S 平面映射到 Z 平面：

2

z x(T)z x(2T )z

.......

.......

z e

Ts

s

j z e

(

j

ee

T

j T

)T

z e

T

z T

当 ，则对应在 s左半平面，系统稳定映射到

位圆内，脉冲系统稳定；

Z 平面上

Z

z 1

对应在

Z 平面的单 Z 平面 对应在 Z

当 > ，则对应在 s 右半平面，系统不稳定，映射到 的单位圆外，脉冲系统不稳定；

平面上

z 1

对应在

当 ＝ ，则对应在 s 平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到 平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。

Z 平面上

z 1

j

Im

z平面 1

0

Re

将 Z 进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。

总结：

稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆（包含在单位圆内） 统函数，其极点不应分布在单位圆上！

。即稳定系统的系

1.若 H(Z) 的全部极点落在单位圆内，则系统稳定。

.......

.......

5.若 H(Z) 有极点落在单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统部稳定。 6.若 H(Z) 在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定 7.

。

.......