2021年中考数学复习讲义：第四章 全等三角形 模型(十六)——半角模型

模型（十六）——半角模型

模型讲解 一、正方形中的半角模型

【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45º）是另一个角（90º）的一半

【结论】①EF=BE+DF， ②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE，

③△EFC的周长等于正方形边长的2倍

④ 如图：AM=AB

⑤ 如图：∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC²

口诀 见半角，旋全角，盖半角，得半角。

【证明】①∶延长CB至点P，使得BP=DF 连接AP

第一次全等 第二次全等

在△ABP和△ADF中 在△AEP和△AEF中

AB=AD（正方形边长相等）

AP=AF

∠ABP=∠ADF=90º ∠PAE=∠FAE BP=DF（构造） AE=AE ∴ △ABP≌△ADF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS） ∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF ∵∠2+∠3=45º 即PB+BE=EF

∴∠1+∠3=45º, ∴DF+BE =EF ∴∠PAE=∠FAE

② 由①得：△AEP≌△AEF，则∠4=∠5，∠AFE=∠P

又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD ∴EA平分∠BEF，FA平分∠DFE

③ 由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF

=BC+DC， ∴△EFC的周长等于正方形边长的2倍

④ 过A作AM⊥EF，则∠AME=∠B=90º。由①得∠1=∠2，AE=AE，

∴△ABE≌△AME（AAS），∴AM=AB

⑤ 如图，过点A作AP⊥AF 且AP=AF.连接PE

∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2

第一次全等 第二次全等

在△ABP和△ACF中 在△AEP和△AEF中

AB=AC AP=AF

∠2=∠1 ∠PAE=∠FAE AP=AF AE=AE ∴ △ABP≌△ACF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）

∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45º ∴PE=EF

∵∠EAF=45º 在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²

∴∠1+∠3=45º, 即EF²=CF²+BE² ∴∠2+∠3 =45º

二、等腰三角形中的半角模型

【条件】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，

且∠BDC=120°，∠MDN=60º，

【结论】①MN= BM+CN;

②△MAN 的周长等于△ABC边长的 2 倍;

③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线

【证明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠DBC=30°.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°, ∴∠DBA= ∠DCA=90°.

延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF，如图.在△BDF 和△CDN 中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS）， ∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.

∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°， 即∠FDM=60°=∠MDN.

在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM, ∴△DMN≌△DMF（SAS），∴

MN=MF=BM+CN,

∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，

∴△AMN的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长.

三、对角互补且邻边相等的半角模型

【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD，

【结论】①EF=BE+FD;

②EA 是∠BEF的平分线，FA是∠DFE的平分线.

典例

典例秒杀 1 ☆☆☆☆☆

如图，已知正方形 ABCD 中，∠MAN=45º,则线段MN，BM与DN之间的关系是( )

A. MN= BM＋DN B.BM=MN＋DN B. DN=MN+BM D.无法确定 【答案】A

【解析】∵正方形 ABCD中，∠MAN=45°，根据半角模型结论可知 MN=BM＋DN.

故选 A.

典例2 ☆☆☆☆☆

如图，△ABC是边长为α的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以 D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB于占M，交 AC于点N，连接 MN，则△AMN 的周长是（ ）.

A.

a B.2a C. 3a D. 不能确定

【答案】B

【解析】△BDC是等腰三角形，观察图形，能发现图形为等腰三角形的半角模型，

根据半角模型结论可知，△AMN 的周长为△ABC边长的 2 倍，即为 2a.故选 B.

典例3 ☆☆☆☆☆

⑴如图1，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边 BC，

CD 上 的点，且∠EAF=∠BAD， 求证：EF =BE+FD.

⑵在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边 BC，CD上的点

12且∠EAF=∠BAD， （1）中的结论是否仍然成立？（不需要说明理由） ⑶如图 2，在四边形 ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边 BC，CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明;若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

1212

【解析】（1）如图，延长 EB到点G，使 BG=DF，连接 AG.

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠1=∠2.

∴∠1+∠3=∠2＋∠3=∠EAF=∠BAD， ∴∠GAE=∠EAF. 又 AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF. ∵EG=BE+BG,∴EF=BE＋FD.

（2）（1）中的结论 EF= BE＋FD仍然成立. （3）结论 EF=BE+FD不再成立，应当是 EF=BE－FD.

证明∶如图，在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG.

12

∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF＋∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF. 又∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∴∠BAG＋∠EAD= ∠DAF＋∠EAD=∠EAF=∠BAD, ∴∠GAE=∠EAF.

又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF ∵EG=BE－BG,:.EF=BE－FD.

12

小试牛刀 1.（★★☆☆☆）如图，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC= 120°.以 D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB 于点M，交 AC于点N，连接 MN，则△AMN 的周长为＿＿＿＿＿＿。

2.（★★★☆☆）如图，在 Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边 BC上两点，且 ∠DAE=45°.若 BE=4，CD=3，则 AB的长为＿＿＿＿＿＿。

3.（★★★★☆）如图，正方形 ABCD中，∠EAF=45°，连接对角线 BD交AE于点M，交 AF于点N.若 DN=1，BM=2，那么 MN=＿＿＿＿＿＿。

直击中考

1.如图，在正方形 ABCD中，E，F分别是 BC，CD上的点，且∠EAF=45°，AE，AF分别交 BD 于点 M，N，连接 EN，EF.有以下结论∶ ①AN=EN; ②当 AE=AF 时，④存在点 E，F，使得 NF＞DF. 其中正确的个数是（ ）

BE22 ; ③BE+DF=EF; EC

A.1 B.2 C.3 D.4

在中考考试中 ，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出观，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转 ，进行边角转化，就能很快地解决此类问题.

第四章.全等三角形

模型（16）——半角模型

答案：

小试牛刀

1. 答案 6

解析 ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60°，△ABC是边长

为 3 的等边三角形，

∴根据等腰三角形的半角模型结论可知，△AMN的周长是△ABC边长的2倍，即为 6.

2.答案 62

解析 如图，过点 B作 BC 的垂线，垂足为 B，并截取 BF=CD，连接 FE，AF.

∵∠FBE=90°,FB=3,BE=4,

∴在Rt△FBE中，FE²=FB²＋BE²=3²＋ 4²=5², ∴FE=5. ∵Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠FBA = ∠FBC－∠ABC = 90°- 45°=45°.

在△AFB与△ADC中， BF=CD,∠ABF=∠ACD=45°, AB=AC, ∴△AFB≌△ADC（SAS），∴∠2=∠3，AF=AD.

又∠1+∠EAD+∠2=90°，∠DAE=45°， ∴∠1+∠2=45°, ∴∠FAE=∠1+∠3=45°,∴∠FAE=∠DAE.

在△AFE与△ADE中，AF=AD, ∠FAE= ∠DAE, AE=AE,

∴△AFE≌△ADE(SAS), ∴FE=DE=5,

∴BC=BE+ED+DC=4+5+3=12. 又∵在 Rt△ABC中，AB =

22BC=12×=62 22【小结】熟练掌握半角模型的同学能一眼看到△AFE≌△ADE，

从而快速解题.

2. 答案 5

解析 如图，延长 CB 到点 G，使 BG= DF，连接 AG，在 AG上截取AH=AN，

连接 MH,BH.

∵四边形 ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=AD,∠4=∠5=45°, ∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°. 在△ABG和△ADF 中，AB=AD,∠ABG=∠ADF=90°, BG=DF, ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠1=∠2,∠7=∠G,AG=AF,

∴∠GAE=∠2＋∠3=∠1+∠3=∠BAD－∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF. 在△AMN 和△AMH中，AN=AH,∠MAN= ∠MAH=45°, AM==AM, ∴△AMN≌△AMH(SAS), ∴MN=MH. ∵AF=AG,AN=AH,

∴FN=AF－AN=AG－AH=GH.

在△DFN 和△BGH中，DF=BG, ∠7=∠G， FN=GH, ∴△DFN≌△BGH（SAS）， ∴∠6=∠4=45°,DN=BH.

∴∠MBH=90°-45°＋45°=90°， ∴BM²＋DN²=BM²＋BH²=MH²=MN². 又∵DN=1，BM=2， ∴2²＋1²=MN², MN=5

直击中考

1. 答案 B

解析 ①如图，∵四边形 ABCD是正方形，

∴∠EBM = ∠ADM =∠FDN=∠ABD=45°. ∵∠MAN=∠EBM=45°,

∴∠AMN=∠BME, ∴△AMN∽△BME,

AMMN BMEM又∵∠AMB=∠EMN， ∴△AMB≌△NME, ∴∠AEN=∠ABD=45° ∴∠NAE=∠AEN=45°,∴△AEN是等腰直角三角形， ∴AN=EN, 故①正确.

②∠ABE=∠ADF=90°,在 Rt△ABE和 Rt△ADF中， AB=AD, AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF. 又∵BC=CD， ∴CE=CF.

假设正方形 ABCD 的边长为1，设 CE=x，则 BE= 1-x. 如图，连接 AC，交 EF 于点 O.

∵AE=AF,CE=CF, ∴AC是EF 的垂直平分线， ∴AC⊥EF,OE=OF. 在Rt△CEF中，OC=EF=

122x， 2在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°= ∠BAE=22.5°, ∴OE=BE. 又∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL), ∴AO=AB=1. ∴AC=2=AO+OC, ∴1+∴

2x=2,解得 x=2 -2 2BE122=EC2221222=， 22 故②不正确.

③∵正方形 ABCD中，∠EAF=45°， ∴根据半角模型结论可知 EF=BE＋DF，故③正确.

④∵∠FND=∠ADN+∠NAD＞45°.而∠FDN=45°， ∴DF＞FN. 故不存在点 E，F，使得 NF＞DF，故④不正确. 因此，正确结论的个数是 2.故选 B.