第九章静电场(标准答案)

A

第九章真空中的静电场

选择题

[B ]1

图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，

电荷线密度分别

为+ （xv 0）和一（x> 0），贝U Oxy坐标平面上点（0, a）处的场强E为

(B)

—i

oa y水

(0, a)

(C)

4 oa

i - (D)

4 oa

i j

O

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在 （0, a）处产生的场强大小 E+、E-大小为:

—，方向如图。

o

x

，匚+ y

八一

血

(0, a) \\

'E合

X E-

- ------------------ >

a

矢量叠加后，合场强大小为:

+

E合

图。

，方向如

:B ] 2半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E与距轴线的距离r的关系曲线为:

【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆 柱面（半径为r,高度为L）为高斯面，据Guass 定理：

A

2 |

R时，有: Eg2 rL=

彗丄，即:

R时，有: Eg2 rL=

即:

g R21

，

A

[C ] 3如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的 的电场强度通量等于:

(A)

(B)

A角上，则通过侧面abed

12 o

(C)

24 0

(D)

48 o

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A处于大立方体的中

心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。 的电通量为 q。再据对称性可知，通过侧面

0

由Gauss定理知，通过该高斯面

abcd的电场强度通量等于

q

---- 。

24 0

，贝U M点的电势为

D : 4 (A)

在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点

(B)

q 4

0

q 8

0

a

a

+q

(C) q

(D)

0

8

4 a

P

o

a

q 8

0

【提示】：VM

v v

ME0

a

[C ] 5已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察 到一负

电荷从 M点移到N点•有人根据这个图作出下列几点结论, 其中哪点是正确的？

(A)电场强度 EMv EN. (B)电势UM V UN. (C)电势能 WMV WN . (D)电场力的功 A>0.

【提示】：静电力做负功，电势能增加。

二.填空题

1已知空气的击穿场强为 30 kV/cm，空气中一带电球壳直径为 势零点，则这球壳能达到的最高电势是 1.5 106V .

【提示】：球壳电势为：V —

1 m,以无限远处为电

4

球壳表面处的场强为:

0

R R2

A

2在点电荷+ q和一q的静电场中，作出如图所示的三个 闭合面Si、S2> S3 ,则通过这些闭合面的电场强度通量分别是：

q

3=

-

0

【提示】：直接由高斯定理得到。

3半径为R的半球面置于场强为 E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所 示•则通过该半球面的电场强度通量为

【提示】：

ES

R2E .

EgdS R2E

+ +2

4两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别 为+ 和+ 2 ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：

I

■

3

EA=

, EB=

2 0 2 0 2 0

3

, EC=

（设方向向右为正）•

ABC

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生 场强的矢量叠加。

5电荷分别为qi, q2, q3的三个点电荷分别位于同一圆周 的三个点上，如图所示.圆半径为 R,贝U b点处的电势 U =

1 _ -C2qi q2 8 0R

.._ ◎）.

【提示】：设无穷远处为电势零点， 则点电荷在空间任一点

产生的电势为：V

,8为点电荷q到场点P的距离。题中b点的电势为qi、q2、q3

4 08

在该点独自产生电势的代数和。

6真空中电荷分别为 qi和q2的两个点电荷，当它们相距为 用电势能 W=鱼坠.（设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零

r时，该电荷系统的相互作

）

4

0

r

q1,

【提示】：电荷系统的相互作用电势能，即建立该电荷系统，外力所作的功。固定

将q2从无限远处移到指定位置处，外力克服电场力所作的功为：

q2（V2 V ） q2（ 1

4 0r

q1 q1q2 0）也

4 0r

三.计算题

，四分之

A

1将一 “无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.

A

oo

OO

OO

oo

【解】：在0点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 Ao在0点产生的场强:

巳7

半无限长直线Bo在0点产生的场强：

o

R

E2

四分之一圆弧段在 0点产生的场强:

4 oR

E3

由场强叠加原理，0点合场强为:

o

R

Ei

E2

E3

2真空中一立方体形的高斯面 ，边长a = 0.1 m,位于图中所示位置.已知空间的场强分 常布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0. 量b= 1000 N/(C • m).试求通过该高斯面的电通量.

y A 1 E1

2 E2

2a

【解】：通过x= a处平面1的电场强度通量

1

= - E1 S1= - b a'

通过x = 2a处平面2的电场强度通量

= E2 S? = b a3

其它平面的电场强度通量都为零.因而通过该高斯面的总电场强度通量为 =1+ 2 = b a3- b a3 = b

2

a3 =1 N • m2/C

3带电细线弯成半径为 R的半圆形，电荷线密度为 径R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心

=0Sin，式中0为一常数， 为半

0处的电场强度.

A

【解】：在 处取电荷元，其电荷

为

dq = dl = oRsin d

它在0点产生的场强为

dq o si nd d E 2 4 oR 4 oR

在x、y轴上的二个分量

dEx= — dEcos dEy=

对各分量分别求和：

sin cos d 4 oR 0

Ey ——

y

4 oR o E Exi Eyj

si n2 d

o

8 oR

o .

8 oR

j

4如图所示，在电矩为 p的电偶极子的电场中，将一电荷为 q的点电荷从A点沿半径 为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合， R>>电偶极子正负电荷之间距离 ）移到B点，求此过 程中电场力所作的功.

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

U p r / 4 or3

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径. 于是知：A、B两点电势分别为

UA p/4 oR

2

UB p/ 4 oR2

p |p

q从A移到B电场力作功（与路径无关）为

A q UA U

B

qp/2 oR2

A

5图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为

，球层内表面

A

半径为Ri，外表面半径为R2 .设无穷远处为电势零点，求空腔内任 一点的电势.

【解】：由高斯定理可知空腔内E= 0,故带电球层的 空腔是等势区，

各点电势均为U。

在球层内取半径为r f r + dr的薄球层.其电荷为

dq = 4 r2dr

该薄层电荷在球心处产生的电势为

dU dq/ 4

0r r dr / 0

整个带电球层在球心处产生的电势为

R2

dUo

R

；

Ri

Ri2

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势

U Uo

2 o

R； R；

U为

若根据电势定义U E dl计算，也可

6图中所示为一沿x轴放置的长度为 l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为 o为一常量.取无穷远处为电势零点，求坐标原点 O处的电势.

o (x-a),

0 x a d x

dU —

4

1

°

x

l aln「 a

O点总电势

【解】：在任意位置x处取长度元 dx,其上带有电荷 dq= 0 (x- a)dx, U dU

x 它在O点产生的电势

dx

7 一球体内均匀分布着电荷体密度为

的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半

径为r的一个小球体,球心为O，两球心间距离 OO d ,如图所示.求:在球形空腔内，球心 O处的电场强度E。.在球体内P点处的电场强度 E .设O、O、P三点在同一直径上，且

OP d。

A

而另在挖去处放上电荷体密度为- 同样大小的球体，求出电场 E2，并令任意点的

场强为此二者的叠加，即可得：

E0 E1 E2

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面

S,可求出O与P处场强的大小。

1

J3 ：：4 d S E1 dS E1 3

Eio = EIP= E1 有:

方向分别如图所

示。

【解】：挖去电荷体密度为 的小球,

以形成球腔时的求电场问题， 可在不挖时求出电场 E1, 的

E20 =0

图⑻

图(c)

图(d)

在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在 O点 面E2=0.又以O为心，2d为半径作球 为高斯面S可求得P点场强E2P

E2 d S E2

E

2P

(2d)2 r3(

)/30

r 12 0d2

d

3

(1)求O点的场强

EO'.由图

(a)、(b)可得

EO' = E10 = -------

3 0

方向如图(c)所示。

⑵求P点的场强

EP .由图(a)、(b)可得

E

P

E

1P

E

2P

r 4d2

3

方向如(d)图所示.

8两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面， 知半径分别为 R1= 0.03 m和R2= 0.10 m.已 两者的电势差为 450 V，求内球面上所带的电荷. 【解】：设内球上所带电荷为 Q,则两球间的电场强度的大小为

A

Q

2

o

(Ri v r v R2 =

r

Q $ dr Q 4 0 R1 r2

-

两球的电势差

R2

U12

Edr

4

Ri R2

0 R1 R2U 12

R2 R1

=2.14 X 109 C

9在一个平面上各点的电势满足下式:

ax

U

b

(x2 y2) (x2 y2)4，x 和 y 为这点的

Ex和Ey两个分量。

直角坐标，a和

b为常数。求任一点电场强度的

［解］:根据E

U，知:

dU a(x2 y2) bx(x2 y2)'2

dx (x2 y2)2

dU y[2ax b(x2 y2)\"2]

石

选做题:

(x2 y2)2

如图所示，半径为 R的均匀带电球面，带有电荷 q.沿某一半径方向上有一均匀带电细 线，电

荷线密度为，长度为I，细线左端离球心距离为 ro.设球和线上的电荷分布不受相互 作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 (设无穷远处的电势 为零).

【解］:设x轴沿细线方向，原点在球心处，在

线元在带电球面的电场中所受电场力为：

x处取线元dx,其上电荷为dq d x，该

2

dF = q dx / (4 0 x)

整个细线所受电场力为:

A

r1

F q

4 0

o

dx

x

2

q i 4

r。

oro ro 1

方向沿x正方向.

电荷兀在球面电荷电场中具有电势能:

dW =(q dx) / (4

整个线电荷在电场中具有电势能：

0 x)

W q

4

ro 1

0

r

o

d x x q .ro —In -

r

4 o o