第１８卷第６期 ２０１５年１１月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖ０１．１８，Ｎｏ．６ ＮＯＶ．，２Ｏ１５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１５．０６．００１ 三角函数的定积分 邱为钢，孙宇梁 （湖州师范学院理学院，浙江湖州３１３０００） 摘 要 利用围道积分和参数展开，得到了一类含三角函数定积分的值． 关键词 围道积分；参数展开；定积分 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１５）０６—０００１—０２ 中图分类号 Ｏ１７２ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ Ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＱＩＵ Ｗｅｉｇａｎｇ，ＳＵＮ Ｙｕｌｉａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ，ＨｕＺｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＨｕＺｈｏｕ ３１３０００，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｎｔｏｕｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｎｔｏｕｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ￣ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ 对计算难度大的含三角函数的定积分，可以采 由贝塔函数的定义［４ 用文献［１］中的傅里叶级数法，或者文献［２，３］中的 参数展开法和围道积分法．在此采用文献［２，３］的 方法，计算一些含三角函数的定积分．这些定积分， 常见的数学手册 １上没有收入，最新的数学软件也 没有给出解析表达式． 定义积分 ＇ｓ）一 一 ｚ ｄｚ（１） Ｂ（ａ， ）一ｌ（１一ｚ）ｒ ｄｚ 计算得到 Ｊ （ ，ｓ）＝＝＝ １（Ｂ（ ＋ １，－ｓ￣－ｔ－）一 Ｂ（件 １， 作代换 一一 ，第二部分是 Ｉ２（￡，５）一一ｅｘｐ（ｉｎ（ｓ一￡））× ）） （３） 其中参数Ｓ，ｔ为正实数．先在分段［一１，０］和 ［Ｏ，１］上计算这个定积分．第一部分是 ’『ｏ％／一１＋ｘ（ １一 ） ｘ ｓ－ ｄｘ （４） Ｊ１（ ， ） 一ｊ．１√ 利用 ／１一ｚ （ｚ～一ｚ）ｔｚ—ｔｄｚ （２） 利用 ／１＋ｚ一 １—９２ １一ｚ １＋ｚ 二—ｉ 式（４）化为 Ｉ２（￡，ｓ）一一ｅｘｐ（ｉ￣（ｓ一￡））Ｘ １＋ｚ √１一ｚ 式（２）化为 Ｉ（１＋ｚ）（１一Ｘ。） ｘｒ－ｔ－ ｄｘ √０ （５） １１（￡，ｓ）一ｒ（１一ｚ）（１一 ｚ）一１／ｚｘｒ一 ｄｚ 作替换ｚ一 ，式（２）化为 作替换ｚ一 ２，式（５）化为 （￡，ｓ）一一 １ ｅｘ ｚ７ｃ（ｓ一￡））× ｊ （ ，ｓ）一专』：（１一 ）（１～ ）ｔ－－ｌ／２ Ｌｕ（ｓ－ｔ）／２－１ｄｚ 收稿日期：２０１５－０１—０８ Ｉ（１＋√ ）（１一 ）ｔ－ｌ￣２ ‘ ，２一 ｄｘ 由贝塔函数的定义，计算得到 ｊ２（ ， ）一一 １ ｅｘ ｚ７ｃ（ｓ— ））× 基金项目：国家自然科学基金（１１４０５０５４）．高等学校数学物理方法 课程教学研究项目（ＪＺＷ一１５一ＳＬ一０３） 作者简介：邱为钢（１９７５一），男，江苏张家港人，博士，副教授，主要从 事数学物理的教学和研究．Ｅｍａｉ｜：ｗｇｑｉｕ＠ｈｕｔｃ．ｚｊ．ｃｎ （Ｂ（外 ， ）＋Ｂ（冲丢， ））㈣ ２ 高等数学研究 ２０１５年１１月 式（１）中的积分就是由式（３），（６）之和 （５ ＋１２７ｆ一１２１ｎ ２＋１２ｉ（２＋（７ｃ一２）ｌｎ２）） Ｉ（ｓ，￡）＝告（１～ｅｘｐ（ｉ￣（ｓ一￡）））Ｘ １ 再在ｔ一０，ｓ一０处展开式（１１），左边展开是 ｆ／ｔａｎ（Ｏ／２）ｄＯ（１＋￡ｌＤＳｉｎ ＋等２ １ｎ２ ｓｉ的…）× Ｂ（ ＋专， ）一号（１＋ｅｘｐ（ｉ丌（ｓ一￡）））× ＩＢ（件专， ） 再在上半单位圆周上计算式（１）中的定积分．令 —ｅｘｐ（ｉＳ），有 ２一一ｚ：２ｅｘｐ（－－ｉ￣／２）ｓｉｎＯ （８） √ ＝ｅｘｐ（’ ）￣／—ｔａｎ（—Ｏ／２）（９） 由式（８），（９），式（１）化为 Ｉ（ｔ， ）一一２ ｅｘｐ（ ７ｃ／４）ｅｘｐ（一ｉ￣ｔ／２）× Ｉ Ｊ—ｔａｎ（Ｏ—／２）ｔａｎ Ｏｅｘｐ（／ｓＯ）ｄＯ （１０） 对比式（１０），（７），得到 ｒＩ、 ｓｉｎ ０ｅｘｐ（ｉｓＯ）ｄＯ— Ｊ ０ ２一‘ ｅｘｐ ——ｉ￣／４）ｅｘｐ（ｉ￣ｔ／２）Ｘ ［（１＋ｅｘｐ（ 一）））Ｂ（件丢， ）一 （１一ｅＸｐ（ｉｎ（ｓ ））Ｂ（外 ， ）］（１１） 式（１１）的解析表达式，也得到数学软件数值计算结 果的验证．式（１１）左边中含有参数ｔ，ｓ，就能对这两 个参数作各种运算，特别是参数展开．作参数展开， 需要公式 ， 一 １。ｇｒ（ｓ 一ｌｏｇＰ（ａ） ＋ （．１） ｓ 其中泽塔函数８（ｋ；口）定义为 先在ｔ一０，ｓ一１处展开（１１）式，左边展开是 ｒ 丽ｅｘｐ（ ）× （１十 （ｓ一１）０一 ＋…） （１２） 对比式（１２）和式（１１）右边展开式（可以通过数学软 件计算），得到以下积分公式 ｒ 丽ｅｘｐ（／Ｏ）ｄＯ： √０ 一华（１一ｉ）７ｃ（７ｒ＋２＋２ｉｌｎ２） Ｊ ｅｘｐ（／０）ｄＯ＝－－０ 鲁（１ × （１＋ 一 ＋…）∞ （１３） 对比式（１３）和式（１１）右边展开（可以通过数学软件 计算），得到以下积分公式 Ｉ 丽ｌｎｓｉｎＯｄＯ一一 ７ｆｌｎ２ ｆ ￣／—ｔａｎ（—Ｏ／２）１１２．２ＳｉｎＯｄＯ一 ７ｒｌｎ２２＋ ７ｃ。 川 ｝０￣／ 而ｌｎｓｉｎ倘一一 （丌２＋２４１２ ｎ２２＋１２了ｃｌｎ２） ￣／—ｔａｎ（Ｏ—／２）１ｒｌ２ＳｉｎＯｄＯ一 ＋ ｎ２２＋ ０ ３４Ｚ ＋ ｎ２ ３） Ｊｒ０ ０ ２￣／—ｔａｎ（Ｏ—／２）１ｎｓｉｎＯｄＯ一 ～ ７６／２ ｃａｌｎ２一 兀 Ｉｎ ２＋２￣ｍ：ｌｎ。２一 ７ｃ （３） Ｊｆ ０ 民 Ｉｎｚ ｓｉｎＯｄＯ— ６０４２－２３７ｒｓ＋ ３√２ ｔ ｌｎ２＋ 兀 Ｉｎ ２＋ ７ｃ Ｉｎ。２一 丁ｃＩｎ ２＋ ３４２ √２导７ ｒ （３）＋５丌 ｌｎ２５（３） 以上积分公式都得到了数值计算结果的验证．展开 对比ｔ，ｓ更高阶系数，还能得到一系列定积分公式． 由此看来，参数展开法用来计算一些含三角函 数的定积分，具有强大的威力．不过，首先需要构造 积分函数和积分围道，这样才能得到含参数三角函 数定积分的解析表示． 参考文献 ［１３郑晨，邱为钢．基于傅里叶级数的定积分计算技巧［Ｊ］． 高等数学研究，２０１０，１３（３）：３１—３２． ［２］邱为钢，唐荣荣．对数三角函数的定积分［Ｊ］．大学数学， ２ｏ１１，２７（５）：１３４－１３７． ［３］邱为钢，倪仁兴．用参数展开法计算一类含对数函数的 定积分［Ｊ］．大学数学，２０１１，２７（６）：１７４—１７６． ［４］王竹溪，郭顿仁．特殊函数概论［Ｍ］．北京：北京大学出 版社，２０００． ［５］Ｉ Ｓ Ｇｒａｄｓｈｔｅｙｎ，Ｉ Ｍ Ｒｙｚｈｉｋ．积分、级数和乘积表［Ｍ］．７ 版．北京：世界图书出版公司，２００７．
